Итак, ДЕМО версия ОГЭ по математике. Напоминаю, что нужно правильно решить минимум 2 задания из геометрии, иначе экзамен не засчитают.

Справочные материалы по математике

Справочные материалы с прошлых лет остались те же. К этим справочным данным будет доступ и у вас на ОГЭ, заучивать их не нужно, нужно уметь ими пользоваться.

Инструкция по выполнению работы

   Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом.
   На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
   Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
   Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. Если получилась обыкновенная дробь, ответ запишите в виде десятичной.
   Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
   Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.
   Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий, которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
   При выполнении части 1 все необходимые вычисления, преобразования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
   Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.
   При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами, выданными вместе с вариантом КИМ и линейкой.
   Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
   После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Часть 1

Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом является последовательность цифр, то запишите её без пробелов и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

                     Рис. 1                                     Рис. 2

Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). В приведённом примере ширина шины равна 195 мм, а высота боковины равна 65 % от 195, то есть 126,75 мм.
Буква обозначает тип конструкции шины. Буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в шине расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.
За буквой указан диаметр диска d в дюймах. На рисунке шина рассчитана на диск диаметром 15 дюймов. В одном дюйме 25,4 мм.
Таким образом, зная маркировку шины, можно найти общий диаметр колеса D.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки 165/70 R13.

1  Завод допускает установку шин разных размеров. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм) Диаметр диска (дюймы)
                              12           13           14
175                        175/70 175/65        —
185                          —      185/60         —
195                          —      195/60         —

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ:

195

 2  Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/65 R14?

Ответ:

107,25

 3  Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ:

549,8

 4  На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 185/60 R13 меньше, чем радиус колеса с шиной 175/65 R13?

Ответ:

2,75

 5  На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 175/65 R13? Результат округлите до десятых.

Ответ:

1,4

Задания 1-5

 6  Найдите значение выражения 

         1           
  1/30 + 1/42   

Ответ:

17,5

 7  Одно из чисел 5/9 ; 11/9; 13/9; 14/9  отмечено на прямой точкой.
                                                        А

Какое это число?

1) 5/9   2) 11/9     3)  13/9    4) 14/9

Ответ:

1

 8  Найдите значение выражения `1/(2+sqrt3)+1/(2-sqrt3)` .

Ответ:

4

 9  Решите уравнение 2x² − 3x + 1 = 0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.    .

Ответ:

0,5

 10  Симметричный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 3, 4 или 5».

Ответ:

0,25

 11  Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ
А) y = 2x ²+16x + 29
Б) y=`5/3 x +6`
В) y=−`4/x`

ГРАФИКИ
1)2)3)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

            А Б В
Ответ: 

Ответ:

132

 12  Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с вычисляется по формуле `E=(mv)^2/2` и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 240 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Ответ:

20

 13  Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1) x² −7x<0
2) x²−49>0
3) x² −7x>0
4) x² −49<0

Ответ:

3

 14  При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9°C . Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла −6°C .

Ответ:

−60

 15  В треугольнике ABC угол C равен 90° , sin B = 3/7, AB = 21. Найдите AC .

Ответ:

9

 16  Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72° . Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

36

  17  Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45° . Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 5.

Ответ:

3,5

 18  На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Ответ:

2

 19  Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

13 <или> 31

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

Часть 2

При выполнении заданий 20–25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.

 20  Решите систему уравнений
`{((x-6)(y-7)=0),((y-4)/(x+y-10)=3):}`

Решение:

Из первого уравнения получаем x = 6 или y = 7 .
При x = 6 второе уравнение принимает вид `(y-4)/(y-4)=3`. Решений нет.
При y = 7 второе уравнение принимает вид `3/(x-3)=3`, откуда x = 4.
Ответ: (4;7)

 21  Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?

Решение:

Пусть концентрация кислоты в первом сосуде равна c₁%, а во втором — c₂%.
Получаем систему уравнений:
`{((10c_1 +16c_2)/26=55),((c_1 +c_2)/2=61):}`
`{(10c_1 +16c_2=1430),(c_1 +c_2=122):}`
откуда c₁ = 87, c₂ = 35 .
Ответ: 87

 22  Постройте график функции `у=((x^2+3x)*|x|)/(x+3)` Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Преобразуем выражение:
`((x^2+3x)*|x|)/(x+3)=x|x|`
при условии, что x ≠ − 3.
Построим график функции y = − x² при x < − 3
и − 3 < x < 0 и график функции y = x² при x ≥ 0 .
Прямая y = m не имеет с графиком ни одной
общей точки при m = − 9.
Ответ: m = − 9

Примечание ГДЗответ.ру: к заданиям 23,24 и 25 рисунок на ОГЭ не прилагается, вам нужно сделать его в ходе решения.

 23  Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB =14, DC = 42 , AC = 52 .

Решение:

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC (см. рис.), углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам. Значит,
AM/MC=AB/CD=14/42=1/3
Cледовательно,
AC = AM + MC = 1/3 MC + MC = 4/3 MC ,
откуда MC = 3AC/4 = 39
Ответ: 39

 24  На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Проведём через точку E высоту KN трапеции.

По теореме Фалеса средняя линия разделит высоту пополам.
Пусть EK = EN = h. Тогда сумма площадей треугольников BEC и AED равна
`h*(BC)/2+h*(AD)/2=h*(BC+AD)/2`
При этом площадь трапеции равна `2h*(BC+AD)/2`, что как раз вдвое больше найденной суммы площадей треугольников.

 25  В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC . Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC . Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

Решение:

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон AB, BC и AC в точках L , M и K соответственно (см. рис.), H — проекция точки O на прямую AD (точка H может лежать либо на стороне AD, либо на её продолжении). Тогда OM = OK = 3, точки O , M и H лежат на одной прямой, HM — высота параллелограмма ABCD, HM = OM +OH = 3 + 4 = 7 .
Из прямоугольного треугольника AOK находим, что
`AK = sqrt(OA^2 −OK^2) = 4`
Пусть p и S — полупериметр и площадь треугольника ABC , r = 3 — радиус окружности, вписанной в него. Обозначим BC = x . Тогда
p = AK +CM + BL = AK +CM + BM = AK + BC = 4 + x ,
S = 1/2 BC ⋅ HM = 1/2 x * 7 = 3,5 x ,   S = p ⋅ r = 3( 4 + x ).
Из уравнения 3,5x = 3( 4 + x ) находим, что BC = x = 24. Следовательно,
S _ABCD = 2S = 2 pr =168.
Ответ: 168

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.

ВСЕ задания

Система оценивания ОГЭ по математике 9 класс

Часть 1

За правильный ответ на каждое из заданий 1–19 ставится 1 балл.

Критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Часть 2

Задание 20.

Обоснованно получен верный ответ 2
Решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Максимальный балл 2

Задание 21. 

Ход решения задачи верный, получен верный ответ - 2 балла
Верно составлена математическая модель задачи (в алгебраической или иной форме), однако решение до конца не доведено или содержит ошибки
ИЛИ
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Максимальный балл 2

Задание 22. 

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра - 2 балла
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Максимальный балл 2

Задание 23.  

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ - 2 балла
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Максимальный балл 2

Задание 24.

Доказательство верное, все шаги обоснованы - 2 балла
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Максимальный балл - 2

Задание  25.

Ход решения верный, получен верный ответ - 2 балла
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Максимальный балл - 2

Баллы и оценка по пятибалльной системе

19 заданий с кратким ответом - по 1 баллу за каждое.
6 заданий с развернутым ответом, по 2 балла максимум за каждое.
Всего за тестовую часть можно получить 19 баллов, за развернутую - 12.

0-7 баллов - оценка 2
8-14 баллов (из них минимум 2 балла по геометрии) - оценка 3
15-21 балл (из них минимум 2 балла по геометрии) - оценка 4
22-31 (из них минимум 2 балла по геометрии) - оценка 5

То есть по факту на оценку 4 можно правильно выполнить всего 15 заданий тестовой части, из них 2 задания по геометрии, правда, в профильный класс с таким результатом не возьмут.

Рекомендуемы порог приема в профильные классы для физико-математического профиля - 19 баллов, из них не менее 7 по геометрии (это хотя бы по 1 баллу за каждое задание, ведь их всего 7).

Уже сдали ОГЭ по математике? Пишите в комментариях, какие у вас были задания!