Это задание 6 первой части ЕГЭ по профильной математике, с кратким ответом. У ФИПИ уже есть наработки прототипов нового задания, но их еще не разместили в открытом банке заданий, поэтому пока можно посмотреть и порешать у нас на ГДЗответ.ру
Варианты задания 6 ЕГЭ по математике
Задание 1 (задание аналогично варианту из демоверсии ЕГЭ)
Организаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:
| Выигрыш (в рублях) | 200 | 1 000 | 5 000 | 50 000 | 100 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число выигрышных билетов | 600 | 180 | 64 | 11 | 2 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Решение:
E(X) = 1/20000 · (200 · 600 + 1000 · 180 + 5000 · 64 + 50000 · 11 + 100000 · 2) = 1370000/20000 = 68,5.
Ответ: 68,5
Задание 2
В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 50 рублей. Всего билетов выпущено 800 штук. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание выигрыша?
| Выигрыш (руб.) | 20 | 70 | 300 | 4000 |
|---|---|---|---|---|
| Количество билетов | 777 | 14 | 6 | 3 |
Решение:
E(X) = 1/800 · (20 · 777 + 70 · 14 + 300 · 6 + 4000 · 3) = 30320/800 = 37,9.
Разность: 50 – 37,9 = 12,1.
Ответ: 12,1
Задание 3
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите E(X) — математическое ожидание этой случайной величины.
| Значения X | -3 | 2 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятности | 0,1 | 0,45 | 0,15 | 0,3 |
Решение:
E(X) = –3 · 0,1 + 2 · 0,45 + 6 · 0,15 + 8 · 0,3 = 3,9.
Ответ: 3,9
Задание 4
Случайная выборка из некоторой генеральной совокупности содержит 4 значения: 2, 4,9, 1 и 3,1. По этой выборке найдите несмещённую оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение:
Формула несмещённой дисперсии: S² = 1/(n-1) ∑(xi − x)².
Выборочное среднее: x = 2,75.
Квадраты отклонений от среднего:
(-0,75)² = 0,5625
2,15² = 4,6225
(-1,75)² = 3,0625
0,35² = 0,1225
Сложим их и разделим на n – 1 = 3:
S² = 8,37/3 = 2,79.
Ответ: 2,79
Задание 5
Игральный кубик бросают до тех пор, пока четвёрка не выпадет 3 раза, не обязательно подряд. Найдите математическое ожидание случайной величины «число сделанных бросков».
Решение:
Вероятность выпадения четвёрки p = 1/6. Матожидание числа бросков до одного успеха равно 1/p = 6.
Поскольку нам нужно дождаться 3 успехов, а результаты бросков не зависят друг от друга, умножаем на 3:
E(X) = 3 · 1/p = 3 · 6 = 18.
Ответ: 18
Задание 6
Монету подбрасывают до тех пор, пока орёл не выпадет 2 раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа бросков.
Решение:
Вероятность орла p = 1/2. Ожидаемое число бросков до первого успеха (орла) равно 1/p = 2.
Так как броски независимы, чтобы дождаться второго орла, нужно в среднем совершить ещё столько же бросков. Итого:
E(X) = 2 · 1/p = 2 · 2 = 4.
Ответ: 4
Задание 7
Про случайную величину X известно, что E(X) = 6 и D(X) = 1. Найдите оценку вероятности события «X ≤ 4 или X ≥ 8», которую даёт неравенство Чебышёва.
Решение:
Событие «X ≤ 4 или X ≥ 8» означает, что величина отдалилась от своего среднего (E(X) = 6) на 2 или более в обе стороны. То есть |X − 6| ≥ 2.
Неравенство Чебышёва:
P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ D(X)/ε²
Отклонение в данном случае ε = 2.
Подставляем: P ≤ 1/2² = 0,25.
Ответ: 0,25
Задание 8
На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт S. Точками изображены все элементарные события. Около каждой точки указано значение случайной величины X и вероятность этого элементарного события. Найдите вероятность события X = 6.
Решение:
Вероятность события равна сумме вероятностей соответствующих точек:
P(X = 6) = 0,2 + 0,2 = 0,4.
Ответ: 0,4
Задание 9
На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X. Найдите вероятность события X = 7.
Решение:
Всего 8 равновероятных исходов. Благоприятных (c X = 7) — две точки.
P(X = 7) = 2/8 = 0,25.
Ответ: 0,25
Задание 10
На рисунке показано дерево некоторого случайного эксперимента. Событию A благоприятствуют элементарные события a, b и c, а событию B благоприятствуют элементарные события b, c и d. Найдите P(A|B) — условную вероятность события A при условии B.
Решение:
Находим вероятности нужных исходов, перемножая числа на ветвях:
P(b) = 0.6 · 0.4 = 0.24
P(c) = 0.4 · 0.6 = 0.24
P(d) = 0.4 · 0.4 = 0.16
Событие B состоит из b, c, d:
P(B) = 0.24 + 0.24 + 0.16 = 0.64.
Пересечение A ∩ B состоит из b, c:
P(A ∩ B) = 0.24 + 0.24 = 0.48.
Формула условной вероятности:
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.48/0.64 = 0.75.
Ответ: 0,75
