Тренажер на задание 16 ЕГЭ по информатике с ответами (функции)

Решается программно.

Задания 16 ЕГЭ по информатике из разных источников

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Статград. 16.12.2025

Функция $F(n),$ где $n$ — целое число, задаётся следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ если $n < 5000;$
$F(n) = n + F(n / 5),$ если $n \geqslant 5000$ и кратно $5;$
$F(n) = 117 + F(n-3),$ если $n \geqslant 5000$ и не кратно $5.$
Назовите минимальное значение $n\,$ для которого функция $F(n)$ определена и $F(n) > 100000.$

Решение:

Python


F = {n: n for n in range(5000)}

for n in range(5000, 1_000_000):
    x = n + F[n // 5] if n % 5 == 0 else 117 + F[n-3]
    F[n] = x
    if x > 100_000:
        print(n)
        break

Ответ: 79922

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. ЕГКР. 13.12.2025

Алгоритм вычисления функций $F(n)$ и $G(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = F(n-4) + 3580,$ если $n \geqslant 19;$
$F(n) = 6 \times \left( G(n-7) - 36 \right) ,$ если $n < 19;$
$G(n) = n / 20 + 28,$ если $n \geqslant 248045;$
$G(n) = G(n + 9) - 4,$ если $n < 248045.$
Чему равно значение функции $F(673)?$

Решение:

Python


G = {}
F = {}

for n in range(248100, 0, -1):
    if n >= 248045:
        G[n] = n / 20 + 28
    else:
        G[n] = G[n + 9] - 4
for n in range(8, 700):
    if n < 19:
        F[n] = 6 * (G[n-7] - 36)
    else:
        F[n] = F[n-4] + 3580
print(F[673])

Ответ: 47

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Демо

Алгоритм вычисления значения функций $F(n)$ и $G(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2 \times \left( G(n-3) + 8 \right);$
$G(n) = 2 \times n,$ если $n < 10;$
$G(n) = G(n-2) + 1,$ если $n \geqslant 10.$
Чему равно значение выражения $F(15~548)?$

Решение:

Python


G = {}
for n in range(15550):
    G[n] = G[n-2] + 1 if n >= 10 else 2 * n
F = {n: 2 * (G[n-3] + 8) for n in range(3, 15550)}
print(F[15548])

Ответ: 1588

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 20

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = 2,$ при $n = 2;$
$F(n) = n \cdot (n -1) + F(n-1) + F(n-2),$ если $n > 2.$
Чему равно значение выражения $F(2023) - F(2021) - 2 \cdot F(2020) - F(2019)?$

Решение:

Python


F = {1: 1, 2: 2}
for n in range(3, 2025):
    F[n] = n * (n - 1) + F[n - 1] + F[n - 2]
print(F[2023] - F[2021] - 2 * F[2020] - F[2019])

Ответ: 12259388

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 19

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n \leqslant 1;$
$F(n) = 3 + F(n -1) \cdot F(n -2) - F(n-1) - F(n-2),$ если $n > 1$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1),$ если $n > 1$ и при этом $n$ чётно.
Чему равно значение функции $F(12)?$

Решение:

Python


F = {0: 1, 1: 1}
for n in range(2, 15):
    F[n] = 3 + F[n - 1] * F[n - 2] - F[n - 1] - F[n - 2] if n % 2 \
           else 2 * F[n - 1]
print(F[12])

Ответ: 30830260

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 18

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = n^2 + F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $F(2023) - F(2019)?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 2025):
    F[n] = n**2 + F[n - 1]
print(F[2023] - F[2019])

Ответ: 16345854

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 17

$F(n) = 1,$ при $n \leqslant 1;$
$F(n) = 5 \cdot n + F(n-1) + F(2),$ если $n > 1$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 3 \cdot F(n-1),$ если $n > 1$ и при этом $n$ чётно.
Чему равно значение функции $F(23)?$

Решение:

Python


F = {0: 1, 1: 1}
for n in range(2, 25):
    F[n] = 5 * n + F[n-1] + F[2] if n % 2 else 3 * F[n - 1]
print(F[23])

Ответ: 2214271

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 16

$F(n) = 1,$ при $n < 3;$
$F(n) = F(n-1) - F(n-2),$ если $n > 2$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = \sum_{i=1}^{n-1} F(i),$ если $n > 2$ и при этом $n$ чётно.
Чему равно значение функции $F(39)?$

Решение:

Python


F = [1]*40
for n in range(3, 40):
    if n % 2:
        F[n] = F[n - 1] - F[n - 2]
    else:
        F[n] = sum(F[1:n])

print(F[39])

Ответ: 41518080

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 15

$F(n) = 1,$ при $n < 3;$
$F(n) = F(n-1) + F(n-2),$ если $n > 2$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = \sum_{i=1}^{n-1} F(i),$ если $n > 2$ и при этом $n$ чётно.
Чему равно значение функции $F(24)?$

Решение:

Python


F = [1]*30
for n in range(3, 30):
    if n % 2:
        F[n] = F[n - 1] + F[n - 2]
    else:
        F[n] = sum(F[1:n])

print(F[24])

Ответ: 887040

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 14

$F(n) = n,$ при $n < 3;$
$F(n) = 3 \times (n-1) + F(n-1) + 5,$ если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 3 \times (n +1) + F(n-2) - 2,$ если $n > 2$ и при этом $n$ нечётно.
Чему равно значение функции $F(35)?$

Решение:

Python


F = {0: 0, 1: 1, 2: 2}
for n in range(3, 40):
    F[n] = 3 * (n-1) + F[n - 1] + 5 if n % 2 == 0 \
           else 3 * (n + 1) + F[n - 2] - 2

print(F[35])

Ответ: 987

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 13

$F(n) = n,$ при $n < 3;$
$F(n) = 2 \times (n-1) + F(n-1) + 2,$ если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 2 \times (n +1) + F(n-2) - 5,$ если $n > 2$ и при этом $n$ нечётно.
Чему равно значение функции $F(32)?$

Решение:

Python


F = {0: 0, 1: 1, 2: 2}
for n in range(3, 40):
    F[n] = 2 * (n-1) + F[n - 1] + 2 if n % 2 == 0 \
           else 2 * (n + 1) + F[n - 2] - 5

print(F[32])

Ответ: 530

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 12

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = 2,$ при $n = 2;$
$F(n) = n \cdot (n -1) + F(n-1) - F(n-2),$ если $n > 2.$
Чему равно значение выражения $F(2024) + F(2020) - \cdot F(2019) ?$

Решение:

Python


F = {1: 1, 2: 2}
for n in range(3, 2025):
    F[n] = n * (n - 1) + F[n - 1] - F[n - 2]
print(F[2024] + F[2020] - F[2019])

Ответ: 4102638

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 11

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = 2,$ при $n = 2;$
$F(n) = n \cdot (n -1) + F(n-1)+ F(n-2),$ если $n > 2.$
Чему равно значение выражения $F(2024) - F(2022) - 2 \cdot F(2021) - F(2020) ?$

Решение:

Python


F = {1: 1, 2: 2}
for n in range(3, 2025):
    F[n] = n * (n - 1) + F[n - 1] + F[n - 2]
print(F[2024] - F[2022] - 2 * F[2021] - F[2020])

Ответ: 12271520

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 10

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 3,$ при $n = 1;$
$F(n) = 3n + 2 \cdot F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $F(2024) -4 \cdot F(2022) ?$

Решение:

Python


F = {1: 3}
for n in range(2, 2025):
    F[n] = 3 * n  + 2* F[n - 1]
print(F[2024] - 4 * F[2022])

Ответ: 18210

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 9

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 5,$ при $n = 1;$
$F(n) = 2n + 1 + F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $F(2024) - F(2022) ?$

Решение:

Python


F = {1: 5}
for n in range(2, 2025):
    F[n] = 2 * n + 1 + F[n - 1]
print(F[2024] - F[2022])

Ответ: 8096

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 8

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = n + F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $F(2025) - F(1000) ?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 2030):
    F[n] = n + F[n - 1]
print(F[2025] - F[1000])

Ответ: 1550825

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 7

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = n + F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $F(3000) - F(2000) ?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 3010):
    F[n] = n + F[n - 1]
print(F[3000] - F[2000])

Ответ: 2500500

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 6

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = n \cdot F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $\cfrac{\cfrac{F(3000)}{150} + F(2999)}{F(2998)} ?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 3010):
    F[n] = n * F[n - 1]
print((F[3000] // 150 + F[2999]) // F[2998])

Ответ: 62979

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 5

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ при $n = 1;$
$F(n) = n \cdot F(n-1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $\cfrac{\cfrac{F(2025)}{25} + F(2024)}{F(2023)} ?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 2026):
    F[n] = n * F[n - 1]
print((F[2025] // 25 + F[2024]) // F[2023])

Ответ: 165968

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 4

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ если $n < 10;$
$F(n) = n^3 + F(n-11),$ если $n \geqslant 10.$
Чему равно значение выражения $F(900) - F(856) ?$

Решение:

Python


F = {n: n for n in range(-10, 10)}
for n in range(10, 1020):
    F[n] = n**3 + F[n - 11]
print(F[900] - F[856])

Ответ: 2760145884

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 3

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ если $n < 10;$
$F(n) = n^3 + F(n-15),$ если $n \geqslant 10.$
Чему равно значение выражения $F(1000) - F(940) ?$

Решение:

Python


F = {n: n for n in range(-10, 10)}
for n in range(10, 1020):
    F[n] = n**3 + F[n - 15]
print(F[1000] - F[940])

Ответ: 3739328500

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(1) = 15;$
$F(n) = 2 \cdot F(n-1) - n,$ если $n \geqslant 2.$
Чему равно значение выражения $\cfrac{F(2025) - F(2023) - 2}{2^{2022}}?$

Решение:

Python


F = {1: 15}
for n in range(2, 2030):
    F[n] = 2 * F[n-1] - n
print((F[2025] - F[2023] - 2) // 2**2022)

Ответ: 36

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(1) = 2;$
$F(n) = 3 \cdot F(n-1) - n,$ если $n \geqslant 2.$
Чему равно значение выражения $\cfrac{F(2025) - F(2023) - 1}{3^{2022}}?$

Решение:

Python


F = {1: 2}
for n in range(2, 2030):
    F[n] = 3 * F[n - 1] - n

print((F[2025] - F[2023] - 1) // 3**2022)

Ответ: 6

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2026. Статград. 23.10.2025

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целок число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ при $n \leqslant 10,$
$F(n) = n - 12 + F(n-21),$ если $n > 10.$
Чему равно значение выражения $ ( F(224356) - F(224272)) / F(59)?$

Решение:

Python


F = {n: n for n in range(-20, 11)}
for n in range(11, 224360):
    F[n] = n - 12 + F[n-21]

print((F[224356] - F[224272]) / F[59])

Ответ: 12125

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Основная волна. Пересдача. 03.07.2025

Алгоритм вычисления значения функций $F(n)$ и $G(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = G(n-1);$
$G(n) = 3 \times n,$ если $n \leqslant 9;$
$G(n) = G(n-2) + 1,$ если $n >9.$
Чему равно значение выражения $F(47995)?$

Решение:

Python


G = {}

for n in range(1, 48000):
    G[n] = 3 * n if n <= 9 else G[n-2] + 1

print(G[47995 - 1])

Ответ: 24017

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Основная волна. Резерв. 23.06.2025

$F(n) = G(n-3);$
$G(n) = n,$ если $n \leqslant 20;$
$G(n) = G(n-2) + 1,$ если $n >20.$
Чему равно значение выражения $F(25000)?$

Решение:

Python


G = {}

for n in range(1, 25000):
    G[n] = n if n <= 20 else G[n-2] + 1

print(G[25000 - 3])

Ответ: 12508

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Основная волна. Резерв. 19.06.2025

Алгоритм вычисления значения функций $F(n)$ и $G(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = G(n-1) + G(n-3);$
$G(n) = 3 \times n,$ если $n \leqslant 9;$
$G(n) = G(n-4) + 2,$ если $n >9.$
Чему равно значение выражения $F(42999)?$

Решение:

Python


G = {n: 3 * n for n in range(10)}
for n in range(10, 43010):
    G[n] = G[n-4] + 2
print(G[42999 - 1] + G[42999 - 3])

Ответ: 43032

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Основная волна. 11.06.2025

$F(n) = 2 \times (G(n-3) + 8);$
$G(n) = 2 \times n,$ если $n <10;$
$G(n) = G(n-2) + 1,$ если $n \geqslant 10.$
Чему равно значение выражения $F(15548)?$

Решение:

Python


G = {n: 2 * n for n in range(1, 10)}
F = {}
for n in range(10, 15550):
    F[n] = 2 * (G[n-3] + 8)
    G[n] = G[n-2] + 1
print(F[15548])

Ответ: 15588

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Основная волна. 10.06.2025

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1;$
$F(n) = n^2 + F(n − 1)$ при $n > 1.$
Чему равно значение выражения $F(2025) − F(2022)?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 2026):
    F[n] = n**2 + F[n-1]
print(F[2025] - F[2022])

Ответ: 12289730

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Апробация. 14.05.2025-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 3$ при $n < 3;$
$F(n) = 2 \times n + 6 + F(n-2),$ если $n \geqslant 3.$
Чему равно значение выражения $F(3027) - F(3023)?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 3030):
    F[n] = 2 * n + 6 + F[n-2] if n >= 3 else 3

print(F[3027] - F[3023])

Ответ: 12116

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. ЕГКР. 19.04.2025

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n < 20;$
$F(n) = (n - 6) \cdot F(n – 7),$ если $n \geqslant 20.$
Чему равно значение выражения $(F(47872) - 290 \times F(47865)) / F(47858)?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(0, 47900):
    F[n] = n if n < 20 else (n-6) * F[n-7]
print((F[47872] - 290 * F[47865]) // F[47858])

Ответ: 2276939784

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Досрочный экзамен. 08.04.2025

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n \leqslant 5;$
$F(n) = n + F(n – 2),$ если $n > 5.$
Чему равно значение выражения $F(2126) – F(2122)?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 2130):
    F[n] = n + F[n-2] if n > 5 else 1
print(F[2126] - F[2122])

Ответ: 4250

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Апробация. 05.03.2025-2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1;$
$F(n) = (n - 1) \times F(n – 1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $(F(2024) + 2 \cdot F(2023)) / F(2022)?$

Решение:

Python


F = {1: 1}

for n in range(2, 2025):
    F[n] = (n - 1) * F[n-1]

print((F[2024] + 2 * F[2023]) // F[2022])

Ответ: 4094550

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Апробация. 05.03.2025

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1;$
$F(n) = n \times F(n – 1),$ если $n > 1.$
Чему равно значение выражения $(F(2024) / 4 + F(2023)) / F(2022)?$

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 2025):
    F[n] = n * F[n - 1]
print((F[2024] // 4 + F[2023]) // F[2022])

Ответ: 1025661

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 7.6.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 24$ при $n < 180;$
$F(n) = F(n-12) + 6$ при $n \geqslant 180.$
Чему равна сумма цифр значения выражения $F(80000)?$

Решение:

Python


F = {n: 24 for n in range(1, 180)}
for n in range(180, 80020):
    F[n] = F[n-12] + 6
print(sum(int(x) for x in str(F[80000])))

Ответ: 30

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 5.6.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n < 3000$
$F(n) = n + F(n / 7),$ если $n \geqslant 3000$ и кратно $7$
$F(n) = 29 + F(n - 3),$ если $n \geqslant 3000$ и не кратно $7.$
Назовите минимальное значение $n,$ для которого $F(n)$ определено и больше $100000.$

Решение:

Python


F = {n: n for n in range(3000)}
n = 2999
while F[n] <= 100000:
    n += 1
    F[n] = n + F[n // 7] if n % 7 == 0 else 29 + F[n-3]
    if F[n] > 100_000:
        print(n)

Ответ: 85726

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 3.6.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 100$ при $n > 80000;$
$F(n) = F(n+1) \cdot n,$ при $n \leqslant 80000.$
Чему равно значение выражения $(F(50) / 100 + F(53)) / F(55)?$

Решение:

Формально задачу можно решить на Python следующим образом:

Python


F = {}

for n in range(80010, 49, -1):
    F[n] = 100 if n > 80_000 else F[n + 1] * n

print((F[50] // 100 + F[53]) / F[55])

Однако для того, чтобы получить ответ, понадобится машина с большим объёмом памяти, намного большем, чем тот, который установлен на ЕГЭ-шных ноутбуках. К счастью задача легко решается вручную в исправленном автором варианте.

Последовательно получаем, что $$\frac{F(50)}{100} = \frac{50 \cdot F(51)}{100} = \frac{50 \cdot 51 \cdot F(52)}{100} = \frac{50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot F(53)}{100} = 51 \cdot 26 \cdot F(53)$$ $$\frac{\cfrac{F(50)}{100} + F(53)}{F(55)} = \frac{51 \cdot 26 \cdot F(53) + F(53)}{F(55)} = $$ $$= \frac{(51 \cdot 26 + 1) \cdot 53 \cdot 54 \cdot F(55)}{F(55)} = (51 \cdot 26 + 1) \cdot 53 \cdot 54 = 3797874$$

Ответ: 3797874

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 1.6.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 66$ при $n < 1000;$
$F(n) = F(n-5) + 100,$ при $n \geqslant 1000;$
Чему равно значение выражения $F(180000) - F(100000)?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 180020):
    F[n] = 66 if n < 1000 else F[n-5] + 100
print(F[180000] - F[100000])

Ответ: 1600000

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. Профиль. 12.05.2025-1

Обозначим через $a \% b$ остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b,$ а через $a//b$ – целую часть от деления $a$ на $b.$ Функция $F(n),$ где $n$ – неотрицательное целое число, задана следующими соотношениями:

$F(n) = 0,$ если $n = 0;$
$F(n) = F(n//9) + n \% 3,$ если $n > 0.$
Сколько существует таких натуральных чисел $n,$ что $10^8 \leqslant n \leqslant 2 \cdot 10^8$ и $F(n) = 0?$

Решение аналитическое:

Функция $F(n)$ считает сумму цифр в троичной записи числа, стоящих на нечётных позициях, если счёт ведётся справа налево и начинается с $1.$ Поэтому, если троичная запись числа состоит из нечётного числа цифр, то $F(n) \neq 0$ (по крайней мере старший разряд в троичной записи отличен от нуля и он находится на нечётном месте.) Теперь $$10^8 = 20222011112012201_3$$ Это — $17$-значное число. Старший ($17$-й) разряд равен $2.$ Поэтому $F(10^8) \neq 0.$ Далее $$2 \cdot 10^8 = 111221100001102102_3 .$$ Это — $18$-значное число. Расставим на нечётные позиции нули. Тогда любое число вида $$10x0x0x0x0x0x0x0x0_3 .$$ будет меньше чем $2 \cdot 10^.8.$ (Здесь под $x$ подразумевается любой символ из алфавита троичной СИ.) Для таких чисел $F(n) = 0.$ Всего этих чисел $3^9 = 19683.$
Ответ: 19683

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. База. 12.05.2025-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ – целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2025$ при $n > 10 000;$
$F(n) = F(3n + 1) + n + 1,$ если $n \leqslant 10~000$ и при этом нечётно;
$F(n) = F(n + 3) + 2n + 3,$ если $n \leqslant 10~000$ и при этом чётно.
Чему равно значение выражения $2 \cdot F(25) – F(238)?$

Решение:

Python


F = {}

for n in range(31000, 0, -1):
    if n > 10_000:
        F[n] = 2025
    elif n % 2:
        F[n] = F[3*n + 1] + n + 1
    else:
        F[n] = F[n + 3] + 2 * n + 3

print(2 * F[25] - F[238])

Ответ: 31675

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Демо-2025

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = (n - 1) \times F(n - 1)$, если $n > 1$.
Чему равно значение выражения $ (F(2024) + 2 \times F(2023)) / F(2022) $?

Решение:

Python


F = [1]*2025
for n in range(2, 2025):
    F[n] = (n - 1) * F[n-1]

print((F[2024] + 2 * F[2023]) // F[2022])

Ответ: 4094550

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 7.05.2025

(Л. Шастин) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n < 110;$
$F(n) = (n - 7) \times F(n - 8),$ если $n \geqslant 110.$
Чему равно значение выражения $(F(74914) - F(74898)) / (16 \times F(74890))?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 74920):
    if n < 110:
        F[n] = n
    else:
        F[n] = (n - 7) * F[n-8]

print((F[74914] - F[74898]) // (16 * F[74890]))

Ответ: 26260807145392

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 13.03.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 111$ при $n < 222;$
$F(n) = 2 \cdot (n + 4) + F(n - 3),$ если $n \geqslant 222.$
Чему равно значение выражения $F(55555) - F(55543)?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 55560):
    F[n] = 2 * (n + 4) + F[n - 3] if n >= 222 else 111
print(F[55555] - F[55543])

Ответ: 444436

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. ЕГКР. 21.12.2024

Алгоритм вычисления функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ если $n < 5;$
$F(n) = 2n \times F(n-4),$ если $n \geqslant 5.$
Чему равно значение функции $(F(13766) - 9 \times F(13762) ) / F(13758)?$

Решение:

Python


F = list(range(13770))

for n in range(5, 13768):
    F[n] = 2 * n * F[n-4]

print((F[13766] - 9 * F[13762]) // F[13758])

Ответ: 757543052

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. 01.04.2025-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1000$ при $n \leqslant 5;$
$F(n) = n + 3 + F(n – 2),$ если $n > 5.$
Чему равно значение выражения $3 \times F(53079) – (F(53077) + F(53075) + F(53073))?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 53085):
    F[n] = 1000 if n <= 5 else n + 3 + F[n-2]
print(3 * F[53079] - (F[53077] + F[53075] + F[53073]))

Ответ: 318484

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. 04.03.2025

Обозначим через $a \% b$ остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b,$ а через $a // b$ – целую часть от деления $a$ на $b.$

Функция $F(n),$ где $n$ – неотрицательное целое число, задана следующими соотношениями:

$F(n) = 0,$ если $n = 0;$
$F(n) = F(n//10) + n \% 10,$ если $n>0$ и $n$ чётно;
$F(n) = F(n // 10),$ если $n$ нечётно.
Сколько существует таких натуральных чисел $n,$ что $10^7 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^7$ и $F(n) = 0?$

Решение:

Функция $F(n)$ вычисляет сумму чётных цифр числа $n.$ Количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, тогда, равно $3 \cdot 6^7 = 839808.$
Ответ: 839808

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. 28.01.2025-1

Обозначим через $a\%b$ остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b,$ а через $a//b$ — целую часть от деления $a$ на $b.$ Функция $F(n),$ где $n$ — неотрицательное целое число, задана следующими соотношениями:

$F(n) = 0,$ если $n = 0;$
$F(n) = F(n//4) + n\%4,$ если $n>0$ и $n\%4 < 2;$
$F(n) = F(n//4) + n\%4 - 1,$ если $n\%4 \geqslant 2.$
Найдите минимальное $n,$ для которого $F(n) = 27,$ а $F(n + 1) = 16.$

Решение:

Нетрудно понять, что функция $F(n) = e + d + 2t,$ где $e, d, t$ количество единиц, двоек и троек в четверичной записи числа $n$ соответственно.Так как $27 - 16 = 11,$ то при добавлении единицы количество троек в четверичной записи должно уменьшится на $6,$ а седьмой справа разряд либо увеличиться с $0$ до $1$, либо с $2$ до $3$. Кроме того, сумма цифр старших разрядов начиная с седьмого справа для $n$ должна равняться $15,$ а для $(n + 1)$ равняться $16.$ С учётом минимальности такого числа (в таком числе должно быть как можно меньше разрядов) получаем, что это число $33333332333333_4 = 268431359.$

Программа для проверки наших рассуждений:

Python


def F(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n % 4 < 2:
        return F(n // 4) + n % 4
    return F(n // 4) + n % 4 - 1

n = int('3'*7 + '2' + '3' * 6, 4)
print(n, F(n), F(n + 1))

Ответ: 268431359

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. 17.12.2024

Функция $F(n),$ где $n$ – натуральное число, задана следующими соотношениями:

$F(n) = F(n/2) + 3,$ если $n$ чётно;
$F(n) = F(n/3) + 2,$ если $n$ нечётно и при этом кратно $3;$
$F(n) = 0,$ если $n$ нечётно и не кратно $3.$
Определите минимальное значение $n,$ для которого $F(n) = 70.$

Решение:

Python


def F(n):
    if n % 2 == 0:
        return F(n // 2) + 3
    elif n % 3 == 0:
        return F(n // 3) + 2
    return 0

print(F(2**22 * 3**2), 2**22 * 3**2)

Ответ: 37748736

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Статград. 24.10.2024-1

Функция $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задана следующими соотношениями:

$F(n) = n$, если $n < 3$;
$F(n) = (n – 1) \times F(n – 2),$ если $n \geqslant 3.$

Чему равно значение выражения $(F(2025) – F(2023)) / F(2021)$?

Решение:

Python


F = list(range(2026))

for n in range(3, 2026):
    F[n] = (n - 1) * F[n - 2]

print((F[2025] - F[2023]) // F[2021])

Ответ: 4090506

Задание 16. Информатика. ЕГЭ Шастин. 9.2.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 16,$ при $n > 2000$;
$F(n) =2 \cdot F(n + 3)$, если $n \leqslant 2000.$
Чему равно произведение ненулевых цифр значения выражения $F(50)/F(110)$?

Решение:

Python


F = {}
for n in range(2004, 40, -1):
    F[n] = 2 * F[n + 3] if n <= 2000 else 16
ns = str(F[50] // F[110]).replace('0', '')
pr = 1
for x in ns:
    pr *= int(x)
print(pr)

Ответ: 6720

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 19.01.2025

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан соотношениями:

$F((n) = 4$ при $n < 15;$
$F(n) = F(2 \cdot n / 3) + n - 1$ когда $n \geqslant 15$ и $n$ делится на $3$ нацело;
$F(n) = F(n - 1) + 3$ когда $n \geqslant 15$ и $n$ не делится на $3.$
Найдите максимальное значение $n,$ для которого $F(n)$ равно $251.$

Решение:

Python


F = [4]*10000
nmax = 0
for n in range(15, 10_000):
    if n % 3 == 0:
        F[n] = F[2 * n // 3] + n - 1
    else:
        F[n] = F[n-1] + 3
    if F[n] == 251:
        nmax = n
print(nmax)

Ответ: 96

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 18.12.2024

(Л. Шастин) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — заданное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n + 4$ при $n > 7000;$
$F(n) = 3 \cdot n + 5 + F(n+3),$ если $n \leqslant 7000.$
Чему равно значение выражения $F(707) - F(716)?$

Решение:

Python


F = [None] * 7010

for n in range(7001, 7010):
    F[n] = n + 4

for n in range(7000, 700, -1):
    F[n] = 3 *n + 5 + F[n+3]

print(F[707] - F[716])

Ответ: 6405

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 30.11.2024

(Л. Шастин) Алгоритм вычисления значения функции $F(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n^2$ при $n < 100;$
$F(n) = \cfrac{1}{2} \cdot F(n-1),$ если $n>99$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1),$ если $n>99$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение выражения $1000 \cdot F(16384) / F(7777)?$

Решение:

Python


F = [0] * 16400

for n in range(1, 100):
    F[n] = n**2
for n in range(100, 16400):
    if n % 2 == 0:
        F[n] = F[n-1] // 2
    else:
        F[n] = 2 * F[n-1]
print(1000 * F[16384] // F[7777])

Ответ: 500

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 6.11.2024

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n > 3000$;
$ F(n) = (2 \cdot n + 4) \cdot F(n + 2)$, если $n \leqslant 3000$.

Чему равна сумма цифр значения выражения $F(20) / F(28)$?

Решение:

Python


F = list(range(3010))

for n in range(3000, 18, -1):
    F[n] = (2 * n + 4) * F[n+2]

print(sum(int(x) for x in str(F[20] // F[28])))

Ответ: 21

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 18.10.2024

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n - 1$ при $n < 10$;
$F(n) = 3 \cdot n - 1 + F(n - 3)$, если $n \geqslant 10$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 5 \cdot n + 2 + F(n - 4)$, если $n \geqslant 10$ и при этом $n$ нечётно;

Чему равно значение выражения $F(4445) - F(4444)$?

Решение:

Python


F = [0] * 4446

for n in range(10):
    F[n] = n - 1

for n in range(10, 4446):
    if n % 2:
        F[n] = 5 * n + 2 + F[n-4]
    else:
        F[n] = 3 * n - 1 + F[n-3]

print(F[4445] - F[4444])

Ответ: 8896

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 4.10.2024

(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ при $n \geqslant 2010$;
$F(n) = F(n + 3) + F(n + 2) + F(n + 1),$ если $n < 2010.$

Чему равно значение выражения $(F(2000) - 2 \cdot (F(2002) + F(2003))) / F(2004)$?

Решение:

Python


F = list(range(2025))

for n in range(2009, 1900, -1):
    F[n] = F[n+3] + F[n+2] + F[n+1]

print((F[2000] - 2 * (F[2002] + F[2003])) // F[2004])

Ответ: 1

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 19.09.2024

(Л. Шастин) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 4^4,$ если $n < 5$;
$F(n) = 4 \cdot F(n - 4) + 4,$ если $n > 4.$

Чему равно значение выражения $F(4048) / F(4036)$?

Решение:

Python


F = [4**4]*4049

for n in range(5, 4049):
    F[n] = 4 * F[n-4] + 4

print(F[4048] // F[4036])

Ответ: 64

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 29.08.2024

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – целое число, задан следующими соотношениями:

$F (n) = n$ при $n > 400$;
$F(n)= n + 6 + F(n + 12)$, если $n \leqslant 400$.

Чему равно значение выражения $F(72) − F(108)$?

Решение:

Python


F = list(range(420))
for n in range(400, 70, -1):
    F[n] = n + 6 + F[n+12]
print(F[72] - F[108])

Ответ: 270

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7562

(ЕГЭ-2024) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n=1$;
$F(n) = (n + 1) \times F(n-1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024) + 3 \times F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [1]* 2025

for n in range(2, 2025):
    F[n] = (n + 1) * F[n-1]

print((F[2024] + 3 * F[2023]) // F[2022])

Ответ: 4104672

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7561

$F(n) = 1$, при $n = 1$;
$F(n) = (n + 1) \cdot F(n - 1)$ при $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024) - 3 \cdot F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [0]*2025
F[1] = 1
for i in range(2, 2025):
    F[i] = (i + 1) * F[i-1]

print((F[2024] - 3 * F[2023]) // F[2022])

Ответ: 4092528

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7524

(ЕГЭ-2024) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$, при $n = 1$;
$F(n) = 2 \cdot n \cdot F(n - 1)$ при $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024)/16 - F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [0]*2025
F[1] = 1
for i in range(2, 2025):
    F[i] = 2 * i * F[i-1]

print((F[2024] // 16 - F[2023]) // F[2022])

Ответ: 1019592

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7488

$F(n) = 1$, при $n = 1$;
$F(n) = 3 \cdot n \cdot F(n - 1)$ при $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024)/6 + F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [0]*2025
F[1] = 1
for i in range(2, 2025):
    F[i] = 3 * i * F[i-1]

print((F[2024] // 6 + F[2023]) // F[2022])

Ответ: 6147897

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7483

$F(n) = 1$ при $n=1$;
$F(n) = n \times F(n-1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(2 \times F(2024) + F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [1] * 2025

for n in range(2, 2025):
    F[n] = n * F[n-1]

print((2*F[2024] + F[2023]) // F[2022])

Ответ: 8191127

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7482

$F(n) = 1$, при $n = 1$;
$F(n) = 2 \cdot n \cdot F(n - 1)$ при $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024) - 4·F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [0]*2025
F[1] = 1
for i in range(2, 2025):
    F[i] = 2 * i * F[i-1]

print((F[2024] - 4 * F[2023]) // F[2022])

Ответ: 16362024

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7426

(Е. Джобс) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 7$ при $n < 7$;
$F(n) = 5 - F(n - 1)$, если $n \geqslant 7$ и значение $n$ не кратно $3$.
$F(n) = 3 + F(n - 1)$, если $n \geqslant 7$ и значение $n$ кратно $3$.

Чему равно значение $F(3015)$?

Решение:

Python


F = [7] * 3016

for n in range(7, 3016):
    if n % 3:
        F[n] = 5 - F[n-1]
    else:
        F[n] = 3 + F[n-1]

print(F[3015])

Ответ: 3016

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7425

*(А. Минак) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2$, при $n > 2024$;
$F(n) = 1$, при $n = 2024$;
$F(n) = n \cdot (n + 1) + F(n + 1) - F(n + 2)$, если $n < 2024$.

Чему равно значение выражения $F(100) - F(10) + F(2020)$?

Решение:

Python


F = [2] * 2026
F[2024] = 1

for n in range(2023, -1, -1):
    F[n] = n * (n + 1) + F[n+1] - F[n+2]

print(F[100] - F[10] + F[2020])

Ответ: 4084141

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7389

$F(1) = F(2) = 1$,
$F(n) = 3 \cdot F(n - 2) + F(n - 1)$, если $n > 2$.

Чему равно значение выражения $F(20000024) / F(20000020)$? Запишите в ответе только целую часть числа.

Решение:

Напишем на Python эту функцию:


def F(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, 3 * a + b
    return a

Функция $F(n)$ растёт очень быстро. При $n \geq 10~000$ произойдёт переполнение буфера. Однако, нам не нужны значения самой функции. Нужно лишь отношения её значений, для аргументов, отстоящих друг от друга на $4$. Попробуем увидеть к чему стремится это отношение для небольших значений аргумента. Например, от $300$ до $500$.


for n in range(300, 500):
    print(F(n+4) / F(n))

Получается одно и то же число $28.11942946412396$. Изменения будут заметны только для очень маленьких разрядов. Поэтому, целая часть предела, куда стремится это отношение, равно $28$.

Ответ: 28

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7388

(А. Минак) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 6$, если $n = 1$,
$F(n) = 3 \cdot n + 2 + F(n - 1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $F(2024) - F(2020)$?

Решение:

Python


F = [6] * 2025

for n in range(2, 2025):
    F[n] = 3 * n + 2 + F[n-1]

print(F[2024] - F[2020])

Ответ: 24278

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7251

*Обозначим через $a \, \% \, b$ остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b$, а через $a \, // \, b$ – целую часть от деления $a$ на $b$. Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 100) \cdot (n \, \% \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 100)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9$, для которых $F(n) = 21$.

Решение:

Реализация функции на Python


def F(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n % 2:
        return F(n // 100) * (n % 10)
    return F(n // 100)

Целочисленное деление на $100$ отбрасывает две последние цифры числа. Остаток от деления на $10$ — это последняя цифра числа. В указанном в задаче диапазоне чисел используются $10$ цифр для их записи. Таким образом, в формировании ответа участвуют только цифры, стоящие на чётных позициях. На нечётных могут стоять любые цифры от $0$ до $9$, кроме первой позиции. Здесь могут по условию задачи находиться только цифры от $1$ до $5$. (Число $6~000~000~000$ не даст в ответ $21$, поэтому мы его не рассматриваем.) Т.о., мы имеет $5 \cdot 10^4$ различных вариантов для цифр, расположенных на нечётных позициях. На чётных, теперь, должны располагаться одна цифра $3$, одна цифра $7$ и на оставшихся трёх позициях могут быть только чётные цифры $0, \, 2, \, 4, \, 6, \, 8$ или цифра $1$. Пусть $abc$ — это набор наших цифр на чётных позициях из $6$ разрешённых. Всего получаем $216$ разных вариантов. Теперь добавить цифру $3$ мы можем четырьмя разными способами $3abc$, $a3bc$, $ab3c$ и $abc3$. В каждый такой набор, аналогично, мы можем $5$-ю различными способами добавить $7$. Т.о., имеем $4 \cdot 5 \cdot 216$ вариантов размещения цифр на чётных позициях. Всего, значит, будет $4 \cdot 5 \cdot 216 \cdot 5 \cdot 10^4$ различных чисел из указанного диапазона, при котором в ответе получим $21$.

Ответ: 216000000

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7250

$F(n) = 1$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 8) \cdot (n \, \% \, 8)$, если $n > 0$ и n нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}$, для которых $F(n) = 25$.

Решение:

Будем рассматривать числа в $8$-ричной системе счисления. Тогда $8^9 = 1~000~000~000_8$, $8^{10} = 10~000~000~000_8$. Т.е., все наши числа $10$-значные в этой системе счисления (за исключением правой границы $8^{10}$; но это число не даст в ответе $25$, поэтому его мы не будем рассматривать). Чтобы получилось $25$, необходимо, чтобы в записи числа присутствовали две $5$, а остальные цифры — это $0$, $1$, $2$, $4$, $6$ (всего их $5$, назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять $0$, зато может быть $5$. Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из четырёх чисел $1$, $2$, $4$, $6$. На оставшихся размещаются две $5$ и допустимые числа (вакантных позиций $7$). Разместить две пятёрки по девяти позициям можно $C^2_9 = 36$ способами. Т.о., получаем $ 4 \cdot 36 \cdot 5^7$ вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит $5$. Тогда на оставшихся девяти находится одна $5$ и допустимые цифры. Всего $9 \cdot 5^8$ вариантов. Итого $ 4 \cdot 36 \cdot 5^7 + 9 \cdot 5^8$ вариантов.
Ответ: 14765625

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7249

$F(n) = 1$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 8) \cdot (n \, \% \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $8^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 8^9$, для которых $F(n) = 35$.

Решение:

Будем рассматривать числа в $8$-ричной системе счисления. Тогда $8^9 = 1~000~000~000_8$, $6 \cdot 8^9 = 6~000~000~000_8$. Т.е., наши числа все $10$-значные в этой системе счисления. Чтобы получилось $35$, необходимо, чтобы в записи числа присутствовала одна $5$, одна $7$, а остальные цифры — это $0$, $1$, $2$, $4$, $6$ (всего их $5$, назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять $0$, а также $6$ (число $6~000~000~000_8$ не даст в ответе $35$, а других чисел, начинающихся на $6$ в нашей задаче нет). Также на первой позиции может быть $5$, тогда на оставшихся девяти позициях должна присутствовать только одна $7$ и допустимые числа. Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из трёх чисел $1$, $2$, $4$. На оставшихся размещаются одна $5$, одна $7$ и пять допустимых чисел. Т.о., получаем $ 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 5^7$ вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит $5$. Тогда на оставшихся девяти находится $7$ и допустимые цифры. Всего $9 \cdot 5^8$ вариантов. Итого $ 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 5^7 + 9 \cdot 5^8$ вариантов.
Ответ: 20390625

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7248

*Обозначим через $a \,\% \, b$ остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b$, а через $a \, // \, b$ – целую часть от деления $a$ на $b$. Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 10) \cdot (n \, \% \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 10^{10}$, для которых $F(n) = 49$.

Решение:

Все наши числа $10$-значные (за исключением правой границы $10^{10}$; но это число не даст в ответе $49$, поэтому его мы не будем рассматривать). Чтобы получилось $49$, необходимо, чтобы в записи числа присутствовали две $7$, а остальные цифры — это $0$, $1$, $2$, $4$, $6$, $8$ (всего их $6$, назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять $0$, зато может стоять $7$. Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из пяти чисел $1$, $2$, $4$, $6$, $8$. На оставшихся размещаются две $7$ и допустимые числа (вакантных позиций $7$). Разместить две семёрки по девяти позициям можно $C^2_9 = 36$ способами. Т.о., получаем $ 5 \cdot 36 \cdot 6^7$ вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит $7$. Тогда на оставшихся девяти находится одна $7$ и допустимые цифры. Всего $9 \cdot 6^8$ вариантов. Итого $ 5 \cdot 36 \cdot 6^7 + 9 \cdot 6^8$ вариантов.
Ответ: 65505024

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7247

$F(n) = 1$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 10) \cdot (n \, \% \,10)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9$, для которых $F(n) = 15$.

Решение:

Все наши числа $10$-значные. Чтобы получилось $15$, необходимо, чтобы в записи числа присутствовала одна $5$, одна $3$, а остальные цифры — это $0$, $1$, $2$, $4$, $6$, $8$ (всего их $6$, назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять $0$, а также $6$ (число $6~000~000~000$ не даст в ответе $15$, а других чисел, начинающихся на $6$ в нашей задаче нет). Также на первой позиции может быть $5$ или $3$, тогда на оставшихся девяти позициях должны присутствовать только $3$ или $5$ соответственно и допустимые числа. Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из трёх чисел $1$, $2$, $4$. На оставшихся размещаются одна $5$, одна $3$ и шесть допустимых чисел. Т.о., получаем $ 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6^7$ вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит $5$ или $3$. Тогда на оставшихся девяти находится $3$ или $5$ соответственно и допустимые цифры. Всего $2 \cdot 9 \cdot 6^8$ вариантов. Итого $ 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6^7 + 2 \cdot 9 \cdot 6^8$ вариантов.
Ответ: 90699264

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7246

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 8) + n \, \% \, 8$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}$, для которых $F(n) = 1$.

Решение:

Будем рассматривать числа в $8$-ричной системе счисления. Тогда $8^9 = 1~000~000~000_8$ и $8^{10} = 10~000~000~000_8$. Значение функции $F(n)$ равно $1$, если в записи числа присутствует одна цифра $1$, а все остальные — четные (в $8$-ричной системе счисления это цифры $0$, $2$, $4$, $6$). Заметим, что права граница нашего диапазона чисел $8^{10} = 10~000~000~000_8$ удовлетворяет этому условию. Далее, все остальные числа — десятизначные. Посчитаем количество таких чисел. Здесь возможны два случая. Первый — первая цифра $1$. Тогда на оставшихся девяти позициях могут располагаться только чётные цифры, которых у нас $4$. Т.о., для этого случая количество вариантов будет $4^9$. Второй случай — на первой позиции стоят чётные цифры. Так как $0$ не может находиться на этой позиции, мы имеем только три альтернативы. Среди оставшихся девяти цифр одна обязательно должна быть $1$, а все остальные — чётные. Значит, имеется ещё $3 \cdot 9 \cdot 4^8$ вариантов. Итого $1 + 4^9 + 3 \cdot 9 \cdot 4^8$ вариантов.
Ответ: 2031617

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7245

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 8) + n \, \% \, 8$, если $n > 0$ и $n$ чётно;
$F(n) = F(n \, // \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно.

Определите количество значений $n$, таких что $8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}$, для которых $F(n) = 2$.

Решение:

Будем рассматривать числа в $8$-ричной системе счисления. Тогда $8^9 = 1~000~000~000_8$ и $8^{10} = 10~000~000~000_8$. Чтобы в результате вычисления функции $F(n)$ получить $2$, необходимо, чтобы в записи числа присутствовала только одна $2$, а все остальные были либо $0$, либо нечётные $1$, $3$, $5$, $7$ (назовём такие числа допустимыми). Число $8^{10} = 10~000~000~000_8$ такому условию не удовлетворяет, а все остальные числа — десятизначные в $8$-ричной системе счисления. Рассмотрим эти десятизначные числа. Первый случай: число начинается с $2$. Тогда все остальные девять цифр должны быть допустимыми. Т.о. имеем $5^9$ вариантов. Второй случай: число начинается с ненулевого допустимого числа. Всего таких чисел $4$. Тогда на оставшихся девяти позициях должна находиться одна $2$, а все остальные — это допустимые числа. Здесь имеем $4 \cdot 9 \cdot 5^8$ вариантов. Итого $5^9 + 4 \cdot 9 \cdot 5^8$ вариантов.
Ответ: 16015625

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7244

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 8) + n \, \% \, 8$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}$, для которых $F(n) = 0$.

Решение:

В $8$-ричной системе счисления $8^9 = 1~000~000~000_8$ и $8^{10} = 10~000~000~000_8$. Значение функции $F(n)$ равно нулю для чисел, в записи которых нет нечётных цифр. Чётные цифры в $8$-ричной системе счисления — это $0$, $2$, $4$, $6$. Число $8^{10} = 10~000~000~000_8$ имеет в своей записи нечётную цифру. Остальные числа из условия задачи десятизначные. Учитывая, что на первом месте в записи числа не может стоять ноль, получаем всего $3 \cdot 4^9$ вариантов чисел, для которых значение функции равно нулю.
Ответ: 786432

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7243

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 8) + n \, \% \, 8$, если $n > 0$ и $n$ чётно;
$F(n) = F(n \, // \, 8)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно.

Определите количество значений $n$, таких что $8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}$, для которых $F(n) = 0$.

Решение:

В $8$-ричной системе счисления $8^9 = 1~000~000~000_8$ и $8^{10} = 10~000~000~000_8$. Значение функции $F(n)$ равно нулю для чисел, в записи которых есть только нечётные цифры и $0$. Нечётные цифры в $8$-ричной системе счисления — это $1$, $3$, $5$, $7$. Число $8^{10} = 10~000~000~000_8$ удовлетворяет этому требованию. Остальные числа из условия задачи десятизначные. Учитывая, что на первом месте в записи числа не может стоять ноль, получаем всего $4 \cdot 5^9 + 1$ вариантов чисел, для которых значение функции равно нулю.
Ответ: 7812501

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7242

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 10) + n \, \% \, 10$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9$, для которых $F(n) = 1$.

Решение:

Значение функции $F(n)$ равно $1$ для чисел, в записи которых имеется ровно одна цифра $1$, а остальные чётные. Все числа из условия задачи десятизначные. Имеется два варианта чисел, удовлетворяющих условию задачи. Первый вариант: число начинается на $1$. Тогда на оставшихся девяти позициях должны стоять только чётные цифры. Получаем всего $5^9$ вариантов таких чисел. Второй вариант: число начинается с чётной цифры. Это не может быть $0$, но это не может быть и $6$, т.к. единственное число, начинающееся на $6$ — $6~000~000~000$ не подходит нам, так как в его записи нет $1$. Поэтому имеем только два варианта: это либо $2$, либо $4$. На оставшихся позициях должна находится ровно одна $1$. Остальные цифры — чётные. Получаем $2 \cdot 9 \cdot 5^8$ вариантов. Итого $5^9 + 2 \cdot 9 \cdot 5^8$ вариантов.
Ответ: 8984375

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7241

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 10) + n \, \% \, 10$, если $n > 0$ и $n$ чётно;
$F(n) = F(n \, // \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9$, для которых $F(n) = 2$.

Решение:

Числа, для которых значение функции $F(n)$ равно $2$ должны в своей записи иметь только одну цифру $2$, остальные — это либо нечётные цифры, либо цифра $0$. Все числа из условия задачи десятизначные. Если число начинается на $2$, то на остальных позициях могут стоять $6$ различных цифр (нечётные или ноль). Т.о. имеем $6^9$ вариантов. Если число начинается с нечётной цифры — то это или $1$, или $3$, или $5$. На оставшихся позициях находится одна двойка и нечётные плюс ноль. Всего $3 \cdot 9 \cdot 6^8$ вариантов. Итого $6^9 + 3 \cdot 9 \cdot 6^8$ вариантов.
Ответ: 55427328

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7240

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 10) + n \, \% \, 10$, если $n > 0$ и $n$ нечётно;
$F(n) = F(n \, // \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ чётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9$, для которых $F(n) = 0$.

Решение:

Все числа из условия задачи десятизначные. Кроме того в их записи должны применяться только чётные цифры. Число может начинаться с $2$ или $4$. Тогда на оставшихся девяти позициях стоят любые чётные цифры, всего их $5$. Т.о. имеем $2 \cdot 5^9$ вариантов. Кроме того, правая граница нашего отрезка $6 \cdot 10^9$ также удовлетворяет указанным требованиям. Итого получаем $2 \cdot 5^9 + 1$ вариант.
Ответ: 3906251

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7239

$F(n) = 0$, если $n = 0$,
$F(n) = F(n \, // \, 10) + n \, \% \, 10$, если $n > 0$ и $n$ чётно;
$F(n) = F(n \, // \, 10)$, если $n > 0$ и $n$ нечётно.

Определите количество значений $n$, таких что $10^9 \leqslant n \leqslant 5 \cdot 10^9$, для которых $F(n) = 0$.

Решение:

Все числа из условия задачи десятизначные. Числа, для которых функция $F(n)$ равна нулю, должны в своей записи иметь только нечётные цифры или ноль. Правая граница отрезка наших чисел $5 \cdot 10^9$ подходит под это требование. Далее, число может начинаться также с $1$ или с $3$. На оставшихся девяти позициях могут стоять любые нечётные цифры или ноль (таких цифр $6$). Итого имеем $2 \cdot 6^9 + 1$ вариант.
Ответ: 20155393

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7238

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$, если $n \geqslant 5000$,
$F(n) = n \cdot F(n + 1)$, если $n < 5000$ и $n$ не делится на $5$;
$F(n) = n \cdot F(n + 2) / 5$, если $n < 5000$ и $n$ делится на $5$.

Чему равно значение выражения $F(4975) / F(4978)$?

Решение:

Python


F = {5000: 5000, 5001: 5001}

for n in range(4999, 4974, -1):
    if n % 5:
        F[n] = n * F[n+1]
    else:
        F[n] = n * F[n+2] // 5

print(F[4975] // F[4978])

Ответ: 4952115

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7237

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$, если $n \geqslant 1900$,
$F(n) = n \cdot F(n + 1)$, если $n < 1900$ и $n$ не делится на $3$;
$F(n) = n \cdot F(n + 2) / 3$, если $n < 1900$ и $n$ делится на $3$.

Чему равно значение выражения $F(1875) / F(1880)$?

Решение:

Python


F = {1900: 1900, 1901: 1901}

for n in range(1899, 1874, -1):
    if n % 3:
        F[n] = n * F[n+1]
    else:
        F[n] = n * F[n+2] // 3

print(F[1875] // F[1880])

Ответ: 734376250

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7236

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$, если $n \geqslant 1300$,
$F(n) = n \cdot F(n + 1)$, если $n < 1300$ и $n$ – нечётное;
$F(n) = n \cdot F(n + 2) / 4$, если $n < 1300$ и $n$ – чётное.

Чему равно значение выражения $F(1286) / F(1290)$?

Решение:

Python


F = {1300: 1300, 1301: 1301}

for n in range(1299, 1285, -1):
    if n % 2:
        F[n] = n * F[n+1]
    else:
        F[n] = n * F[n+2] // 4

print(F[1286] // F[1290])

Ответ: 103523

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7235

(М. Паршиков) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$, если $n \geqslant 3000$,
$F(n) = n + 2x + F(n + 2)$, если $n < 3000$.

При каком целом значении $x$ выполняется равенство $F(28) - F(34) = 324$?

Решение:

Python


for x in range(100):
    F = list(range(3003))
    for n in range(2999, 27, -1):
        F[n] = n + 2 * x + F[n+2]
    if F[28] - F[34] == 324:
        print(x)
        break

Ответ: 39

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7077

(PRO100-ЕГЭ) Алгоритм вычисления функций $F(n)$ и $G(n),$ где $n$ — целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = G(n – 1)$,
$G(n) = n,$ если $n < 10,$
$G(n) = G(n – 2) + 1,$ если $n \geqslant 10.$
Определите количество значений $n$ на отрезке $[1, \, 100],$ для которых значение функции $F(n)$ будет полным квадратом некоторого натурального числа.

Решение:

Python


G = {}
for n in range(110):
    G[n] = n if n < 10 else G[n-2] + 1
q = 0
for n in range (2, 101): #F[1] = G[n-1] = 0, а 0 не натуральное число
    q += int(G[n-1] ** 0.5)** 2 == G[n-1]
print(q)

Ответ: 12

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-6888

(Н. Сафронов) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1,$ если $n = 1$;
$F(n) = n + F(n - 1)$, если $n > 1$.
Определите количество значений $n$ на отрезке $[1, \, 100],$ для которых значение выражения $F(2023) // F (n)$ будет четным. Здесь $//$ обозначает целочисленное деление.

Решение:

Python


F = {1: 1}
for n in range(2, 2024):
    F[n] = n + F[n-1]
print(sum(F[2023] // F[n] % 2 == 0 for n in range(1, 101)))

Ответ: 50

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-6830

(А. Богданов) Обозначим частное от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b$ как $a // b$, а остаток как $a\%b.$ Алгоритм вычисления функции $F(n),$ где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n,$ если $n < 2$;
$F(n) = F(n // 2) + F(n \% 2)$, если $n \geqslant 2$.
Определите количество значений $n < 2^{30}$, для которых функция $F(n) = 27$.

Решение:

Функция $F(n)$ вычисляет сумму цифр в двоичной записи числа $n$, или, что то же самое, количество единиц в бинарном представлении $n.$ Поэтому, количество значений $n < 2^{30}$, для которых функция $F(n) = 27$ это в точности количество чисел, в двоичной записи которых не больше $30$ цифр, причём $27$ из них — единицы. Т.е. это $$ C^{27}_{30} = \frac{30!}{27! \cdot 3!} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{6} = 4060.$$
Ответ: 4060

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-6756

(ЕГЭ-2023) Алгоритм вычисления функции $F(n),$ где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 3,$ если $n < 3,$
$F(n) = 2n + 5 + F(n-2),$ если $n \geqslant 3.$
Чему равно значение выражения $F(3027) – F(3023)?$

Решение:

Python


F = {}
for n in range(1, 3030):
    F[n] = 3 if n < 3 else 2 * n + 5 + F[n-2]
print(F[3027] - F[3023])

Ответ: 12114

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-5173

(Е. Джобс) Алгоритмы вычисления функций $F(n)$ и $G(n),$ где $n$ – целое число, заданы следующими соотношениями:

$F(n) = G(n) = 1,$ если $n < 3$
$F(n) = G(n) + F(n - 1),$ если $n > 2$ и $n$ чётно,
$F(n) = F(n - 2) - 2 \cdot G(n + 1),$ если $n > 2$ и $n$ нечётно,
$G(n) = F(n - 3) + F(n - 2),$ если $n > 2$ и $n$ чётно,
$G(n) = F(n + 1) - G(n - 1),$ если $n > 2$ и $n$ нечётно
Вычислите значений функции $G(120).$

Решение:

Python


F = {}
G = {}
F[0] = F[1] = F[2] = 1
G[0] = G[1] = G[2] = 1

for i in range(2, 61):
    n = 2 * i
    G[n] = F[n-3] + F[n-2]
    F[n-1] = F[n-3] - 2 * G[n]
    F[n] = G[n] + F[n-1]
    G[n-1] = F[n] - G[n-2]

print(G[120])

Ответ: 118

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2024. Пересдача. 04.07.2024

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n=1$;
$F(n) = (n - 1) \times F(n-1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024) / 7 - F(2023)) / F(2022)$?

Решение:

Python


F = [1] * 2025

for n in range(2, 2025):
    F[n] = (n - 1) * F[n-1]

print((F[2024] // 7 - F[2023]) // F[2022])

Ответ: 582336

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2024. Крылов-4

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$, при $n=1$;
$F(n) = 2$, при $n=2$;
$F(n) = n \cdot (n-1) + F(n-1) - F(n-2)$, если $n > 2$.

Чему равно значение выражения $F(2024) + F(2020) - F(2019)$?

Решение:

Python


a = [0]*2025

a[1] = 1
a[2] = 2

for n in range(3, 2025):
    a[n] = n * (n-1) + a[n-1] - a[n-2]

print(a[2024] + a[2020] - a[2019])

Ответ: 4102638

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2024. Крылов-3

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$, при $n=1$;
$F(n) = 2$, при $n=2$;
$F(n) = n \cdot (n-1) + F(n-1) + F(n-2)$, если $n > 2$.

Чему равно значение выражения $F(2024) - F(2022) - 2 \cdot F(2021) - F(2020)$?

Решение:

Python


a = [0]*2025

a[1] = 1
a[2] = 2

for i in range(3, 2025):
    a[i] = i * (i-1) + a[i-1] + a[i-2]

print(a[2024] - a[2022] - 2 * a[2021] - a[2020])

Ответ: 12271520

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2024. Крылов-2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 3$, при $n=1$;
$F(n) = 3n + 2 \cdot F(n-1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $F(2024) - 4 \cdot F(2022)$?

Решение:

Python


a = [0]*2025

a[1] = 3

for n in range(2, 2025):
    a[n] = 3 * n + 2 * a[n-1]

print(a[2024] - 4 * a[2022])

Ответ: 18210

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2024. Крылов-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 5$, при $n=1$;
$F(n) = 2n + 1 + F(n-1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $F(2024) - F(2022)$?

Решение:

Python


a = [0]*2025

a[1] = 5

for n in range(2, 2025):
    a[n] = 2 * n + 1 + a[n-1]

print(a[2024] - a[2022])

Ответ: 8096

Задание 16. Информатика. ЕГЭ 2024. Лещинер-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующим образом:
$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n + F(n-1)$, если $n$ — чётно;
$F(n) = 2 \times F(n-2)$, если $n > 1$ и при этом $n$ — нечётно.
Чему равно значение функции $F(15)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n % 2 == 0:
        return n + F(n - 1)
    else:
        return 2 * F(n - 2)


print(F(15))

Ответ: 128

Задание 16. Информатика. Демо 2024

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$ F(n) = n $ при $n >2024$;
$ F(n) = n \times F(n+1)$, если $ n \leq 2024 $.

Чему равно значение выражения $ F(2022) / F(2024) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n > 2024:
        return n
    else:
        return n * F(n+1)
    
print(F(2022) // F(2024))

Ответ: 4090506

Задание 16. Информатика. Апробация 10.03.2023

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2$ при $n < 3$;
$F(n) = F(n-2) - F(n-1) + 2$ если $n > 2$ и $n$ чётно;
$F(n) = F(n-1) - F(n-2) + 2$, если $ n > 2$ и $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(29)$?

Решение:

Python


def F(n:int) -> int:
    if n < 3:
        return 2
    elif n % 2 == 0:
        return F(n-2) - F(n-1) + 2
    else:
        return F(n-1) - F(n-2) + 2

    
print(F(29))

Ответ: 2

Задание 16. Информатика. Статград 2023-2-2

Обозначим частное от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b$ как $a \,\, \mathrm{div} \,\, b$, а остаток как $ a \,\, \mathrm{mod} \,\, b$. Например, $ 13 \,\, \mathrm{div} \,\, 3 = 4$, $ 13 \,\, \mathrm{mod} \,\, 3 = 4$.

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$ , где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(0) = 0$;
$F(n) = F( n \,\, \mathrm{div} \,\, 10) + (n \,\, \mathrm{mod} \,\, 10)$.

Укажите количество таких $n$ из интервала $$ 765~432~015 \leqslant n \leqslant 1~542~613~239, $$ для которых $F(n) > F(n+1)$.

Решение:

Функция $F(n)$ вычисляет сумму цифр, из которых состоит число $n$. Понятно, что $F(n) > F(n+1)$ будет для таких $n$, которые оканчиваются на $9$. Количество таких чисел подсчитать не сложно:

Python


(1_542_613_239 - 765_432_019) // 10 + 1

Ответ: 77718123

Задание 16. Информатика. Статград 2023-2-1

$F(0) = 0$;
$F(n) = F( n \,\, \mathrm{div} \,\, 10) + (n \,\, \mathrm{mod} \,\, 10)$.

Укажите количество таких $n$ из интервала $$ 237~567~892 \leqslant n \leqslant 1~134~567~009, $$ для которых $F(n) > F(n+1)$.

Решение:

Python


(1_134_567_009 - 237_567_899) // 10 + 1

Ответ: 89699912

Задание 16. Информатика. Фоксфорд 2023-4

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 6$ при $n=1;$
$F(n) = 3n + F(n-1),$ если $n>1$.

Чему равно значение выражения $F(2023) - F(1984)$?

Решение:

При $n>1$ функцию $F(n)$ можно представить в виде $$ F(n) = 6 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + \cdots + 3 \cdot n $$ Значит, $$ F(2023) - F(1984) = 3 \cdot 1985 + 3 \cdot 1986 + \cdots + 3 \cdot 2023 = 3 \sum_{i = 1985}^{2023} i $$

Python


3*sum(range(1985, 2024))

Эту же задачу можно также решить "в лоб" с помощью динамического программирования.

Python


arr = [None, 6]
for i in range(2, 2024):
    arr.append(3*i + arr[i-1])

print(arr[2023]-arr[1984])

Ответ: 234468

Задание 16. Информатика. Фоксфорд 2023-3

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 5$ при $n=1;$
$F(n) = 2n + F(n-1),$ если $n>1$.

Чему равно значение выражения $F(2048) - F(1024)$?

Решение:

При $n>1$ функцию $F(n)$ можно представить в виде $$ F(n) = 5 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + 2 \cdot n $$ Значит, $$ F(2048) - F(1024) = 2 \cdot 1025 + 2 \cdot 1026 + \cdots + 2 \cdot 2048 = 2 \sum_{i = 1025}^{2048} i $$

Python


2*sum(range(1025, 2049))

Ответ: $3146752$

Эту же задачу можно также решить "в лоб" с помощью динамического программирования.

Python


arr = [None, 5]
for i in range(2, 2049):
    arr.append(2*i + arr[i-1])

print(arr[2048]-arr[1024])

Ответ: 3146752

Задание 16. Информатика. Статград 2023-1-2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(0) = 0;$
$F(n) = F(n-1) + n.$

Укажите количество таких чисел $n$ из интервала $ 765~432~010 \leq n \leq 1~542~613~234$, для которых $F(n)$ не делится без остатка на $3$.

Решение:

Очевидно, что $F(n)$ — это сумма всех чисел от $1$ до $n$. Как известно, остаток суммы равен сумме по модулю остатков остатков. Для последовательности чисел $$ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \,\ldots $$ последовательность их остатков при делении на $3$ будет $$ 1, \, 2, \, 0, \, 1, \, 2, \, \ldots . $$ Поэтому, последовательность остатков сумм всех чисел от $1$ до $n$ при делении на $3$ будет $$ 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, \ldots. $$ Таким образом, сумма чисел от $1$ до $n$ не делится на $3$ только , если остаток от деления на $3$ числа $n$ равен $1$. Заметим также, что остаток от деления на $3$ числа $765~432~010$ равен $1$.

Python


len(range(765_432_010, 1_542_613_235, 3))

Ответ: 259060409

Задание 16. Информатика. Статград 2023-1-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(0) = 0;$
$F(n) = F(n-1) + n.$

Укажите количество таких чисел $n$ из интервала $ 237~567~892 \leq n \leq 1~134~567~004$, для которых $F(n)$ не делится без остатка на $3$.

Решение:

Python


len(range(237_567_892, 1_134_567_005, 3))

Ответ: 298999705

Задание 16. Информатика. 2023-20

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = 2$ при $n = 2$;
$F(n) = \left[ \dfrac{8 \cdot n + F(n-3)}{9} \right]$, если $ n > 2$ и при этом если $n$ чётно;
$F(n) = \left[ \dfrac{4 \cdot n + F(n-1) + F(n-2)}{7} \right]$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно;

Чему равно значение функции $F(52)$?

Примечание. Квадратные скобки в записи $[x]$ применяются для обозначения целой части числа $x$.

Решение:

Python


def F(n):
    if n in (1, 2):
        return n
    if n % 2 == 0:
        return int((8*n + F(n-3)) / 9)
    else:
        return int((4*n + F(n-1) + F(n-2)) / 7)

print(F(52))

Ответ: 50

Задание 16. Информатика. 2023-19

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = 2$ при $n = 2$;
$F(n) = \left[ \dfrac{7 \cdot n + F(n-3)}{9} \right]$, если $ n > 2$ и при этом если $n$ чётно;
$F(n) = \left[ \dfrac{5 \cdot n + F(n-1) + F(n-2)}{7} \right]$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно;

Чему равно значение функции $F(50)$?

Примечание. Квадратные скобки в записи $[x]$ применяются для обозначения целой части числа $x$.

Решение:

Python


def F(n):
    if n in (1, 2):
        return n
    if n % 2 == 0:
        return int((7*n + F(n-3)) / 9)
    else:
        return int((5*n + F(n-1) + F(n-2)) / 7)

print(F(50))

Ответ: 43

Задание 16. Информатика. 2023-18

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = 2$ при $n = 2$;
$F(n) = n \cdot (n-1) + F(n-1) - F(n-2)$, если $ n > 2$.

Чему равно значение функции $F(2023) - F(2021) + 2 \cdot F(2020) - F(2019)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n in (1, 2):
        return n
    a = [None]*(n+1)
    a[0] = 0
    a[1] = 1
    a[2] = 2
    for i in range(3, n+1):
        a[i] = i * (i-1) + a[i-1] - a[i-2]
    return a[n]
    

print(F(2023) - F(2021) + 2 * F(2020) - F(2019))

Ответ: 4094548

Задание 16. Информатика. 2023-17

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n^2 + F(n-1)$, если $ n > 1$.

Чему равно значение функции $F(2023) - F(2019)$?

Решение:

Функция $F(n)$ представляет собой сумму квадратов натуральных чисел от $1$ до $n$: $$ F(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2. $$ Поэтому $$ F(2023) - F(2019) = 2020^2 + 2021^2 + 2022^2 + 2023^2. $$

Python


print(2020**2 + 2021**2 + 2022**2 + 2023**2)

Ответ: 16345854

Задание 16. Информатика. 2023-16

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = 1$ при $n = 2$;
$F(n) = 3 + F(n-1)$ при $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 2 \cdot n + F(n-2)$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(42)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n in (1, 2):
        return 1
    if n > 2 and n % 2 == 0:
        return 3 + F(n-1)
    return 2 * n + F(n-2)

print(F(42))

Ответ: 884

Задание 16. Информатика. 2023-15

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = 1$ при $n = 2$;
$F(n) = 2 + F(n-1)$ при $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 3 \cdot n + F(n-2)$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(43)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n in (1, 2):
        return 1
    if n > 2 and n % 2 == 0:
        return 2 + F(n-1)
    return 3 * n + F(n-2)

print(F(43))

Ответ: 1450

Задание 16. Информатика. 2023-14

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = 2$ при $n = 2$;
$F(n) = n \cdot (n-1) \cdot F(n-1)$, если $ n > 2$.

Чему равно значение функции $F(123) / F(120)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    return n * (n-1) * F(n-1)

print(F(123) // F(120))

Ответ: 3216449665440

Задание 16. Информатика. 2023-13

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n \cdot F(n-1)$, если $ n > 1$.

Чему равно значение функции $F(446) / F(443)$?

Решение:

Функция $F(n)$ представляет собой рекурсивный вариант вычисления факториала числа. Поэтому $$ \frac{F(446)}{F(443)} = \frac{446!}{443!} = 444 \cdot 445 \cdot 446 . $$

Python


444 * 445 * 446

Ответ: 88120680

Задание 16. Информатика. 2023-12

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n + F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = F(n-1) + 2 \cdot F(n-2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(19)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n % 2 == 0:
        return n + F(n-1)
    return F(n-1) + 2 * F(n-2)

print(F(19))

Ответ: 49197

Задание 16. Информатика. 2023-11

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n + F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1) + F(n-2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(20)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n % 2 == 0:
        return n + F(n-1)
    return 2 * F(n-1) + F(n-2)

print(F(20))

Ответ: 78731

Задание 16. Информатика. 2023-10

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n + 3 \cdot F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 2 + 2 \cdot F(n-2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(23)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n % 2 == 0:
        return n + 3 * F(n-1)
    return 2 + 2 * F(n-2)

print(F(23))

Ответ: 6142

Задание 16. Информатика. 2023-9

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;
$F(n) = n + 2 \cdot F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 1 + 3 \cdot F(n-2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(17)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n % 2 == 0:
        return n + 2 * F(n-1)
    return 1 + 3 * F(n-2)

print(F(17))

Ответ: 9841

Задание 16. Информатика. 2023-8

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2$ при $n \leqslant 1$;
$F(n) = 1 + F(n-1) \cdot F(n-2) - F(n-1) - F(2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ чётно.

Чему равно значение функции $F(12)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 2:
        return 2
    if n > 1 and n % 2:
        return 1 + F(n-1) * F(n-2) - F(n-1) - F(n-2)
    return 2 * F(n-1)

print(F(12))

Ответ: 13441735782

Задание 16. Информатика. 2023-7

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n \leqslant 1$;
$F(n) = 3 + F(n-1) \cdot F(n-2) - F(n-1) - F(2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ чётно.

Чему равно значение функции $F(12)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 2:
        return 1
    if n > 1 and n % 2:
        return 3 + F(n-1) * F(n-2) - F(n-1) - F(n-2)
    return 2 * F(n-1)

print(F(12))

Ответ: 30830260

Задание 16. Информатика. 2023-6

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n \leqslant 1$;
$F(n) = 4 \cdot n + F(n-1) - F(2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 3 \cdot F(n-1)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ чётно.

Чему равно значение функции $F(35)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 2:
        return 1
    if n > 1 and n % 2:
        return 4 * n + F(n-1) - F(2)
    return 3 * F(n-1)

print(F(35))

Ответ: 968551148

Задание 16. Информатика. 2023-5

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n \leqslant 1$;
$F(n) = 5 \cdot n + F(n-1) + F(2)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 3 \cdot F(n-1)$, если $ n > 1$ и при этом $n$ чётно.

Чему равно значение функции $F(23)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 2:
        return 1
    if n > 1 and n % 2:
        return 5 * n + F(n-1) + F(2)
    return 3 * F(n-1)

print(F(23))

Ответ: 2214271

Задание 16. Информатика. 2023-4

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n < 3$;
$F(n) = F(n-1) - F(n-2)$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = \sum_{i=1}^{n-1} F(i)$, если $ n > 2$ и при этом $n$ чётно.

Чему равно значение функции $F(39)$?

Решение:

Python


from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def F(n):
    if n < 3:
        return 1
    if n > 2 and n % 2:
        return F(n-1) - F(n-2)
    t = 0
    for i in range(1, n):
        t += F(i)
    return t

print(F(39))

Ответ: 41518080

Задание 16. Информатика. 2023-3

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n < 3$;
$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = \sum_{i=1}^{n-1} F(i)$, если $ n > 2$ и при этом $n$ чётно.

Чему равно значение функции $F(24)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 3:
        return 1
    if n > 2 and n % 2:
        return F(n-1) + F(n-2)
    t = 0
    for i in range(1, n):
        t += F(i)
    return t

print(F(24))

Ответ: 887040

Задание 16. Информатика. 2023-2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n < 3$;
$F(n) = 2 \times (n-1) + F(n-1) + 5$, если $ n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 2 \times (n+1) + F(n-2) - 2$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(32)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 3:
        return n
    if n > 2 and n % 2 == 0:
        return 3 * (n-1) + F(n-1) + 5
    return 3 * (n+1) + F(n-2) - 2


print(F(35))

Ответ: 987

Задание 16. Информатика. 2023-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n < 3$;
$F(n) = 2 \times (n-1) + F(n-1) + 2$, если $ n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 2 \times (n+1) + F(n-2) - 5$, если $ n > 2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(32)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 3:
        return n
    if n > 2 and n % 2 == 0:
        return 2 * (n-1) + F(n-1) + 2
    else:
        return 2 * (n+1) + F(n-2) - 5

print(F(32))

Ответ: 530

Задание 16. Информатика. ЕГЭ-2022. 1 вариант

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n < 3$;
$F(n) = F(n − 1) + n − 1$, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = F(n − 2) + 2 \times n − 2$, если $n > 2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение функции $F(34)$?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 3:
        return 1
    if n > 2 and n % 2 == 0:
        return F(n-1) + n - 1
    else:
        return F(n-2) + 2*n - 2


print(F(34))

Ответ: 578

Задание 16. Информатика. Досрочный экзамен 2022

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2$ при $ n < 3$;
$ F(n) = F(n-1) + F(n-2) -n $, если $n > 2$ и $n$ — чётно;
$F(n) = F(n-2) - F(n-1) + 2n $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(30) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n < 3:
        return 2
    elif n % 2 == 0:
        return F(n-1) + F(n-2) - n
    else:
        return F(n-2) - F(n-1) + 2 * n


print(F(30))

Ответ: 58

Задание 16. Информатика. Статград-22-4-2

Обозначим частное от деления целочисленного натурального числа $a$ на натуральное число $b$ как $ a\, \mathrm{div} \, b$, а остаток как $ a \bmod b$. Например, $ 13 \, \mathrm{div} \, 3 = 4$, $ 13 \bmod 3 = 1$.

Алгоритм вычисления значения функции $ F(a, \, b)$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, задан следующими соотношениями:

$ F(0, \, b) = b$;
$ F(a, \, b) = F(a \, \mathrm{div} \, 10, \, 10 b + (a \bmod 10 ))$, если $a > 0$.

Укажите наименьшее значение $a$, для которого $ F(a, \, 0) = 1392781243 $.

Решение:

Наивный перебор чисел для поиска ответа приведет к большим вычислениям. Заметим, однако, что функция $F(a, \, 0)$ записывает число $a$ в обратном порядке. В этом легко убедиться, запуская код, например, для чисел вида $1234$ (на выходе будет 4321). Кроме того, $ F(12340, 0) = F(1234000, 0) = 4321 $.

Python


def F(a, b):
    if a == 0:
        return b
    else:
        return F(a // 10, 10*b+a%10)

print(F(3421872931, 0))

Ответ: 3421872931

Задание 16. Информатика. Статград-22-4-1

$ F(0, \, b) = b$;
$ F(a, \, b) = F(a \, \mathrm{div} \, 10, \, 10 b + (a \bmod 10 ))$, если $a > 0$.

Укажите наименьшее значение $a$, для которого $ F(a, \, 0) = 1248163264 $.

Решение:

Python


def F(a, b):
    if a == 0:
        return b
    else:
        return F(a // 10, 10*b+a%10)

print(F(4623618421, 0))

Ответ: 4623618421

Задание 16. Информатика. 2022-20

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = 2^n + F(n-1) $, если $n$ чётно;
$F(n) = n + F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(14) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return 2 ** n +  F(n-1)
    else:
        return n + F(n-2)

print(F(14))

Ответ: 16433

Задание 16. Информатика. 2022-19

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = n + 2 \cdot F(n-1) $, если $n$ чётно;
$F(n) = 2^n + F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(16) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return n + 2 * F(n-1)
    else:
        return 2 ** n + F(n-2)

print(F(16))

Ответ: 87394

Задание 16. Информатика. 2022-18

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 0$ при $ n = 1$;
$F(n) = 1$ при $ n = 2$;
$ F(n) = \left[ \dfrac{n \cdot F(n-1)}{2} \right] $, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = \left[ \dfrac{n \cdot (F(n-1) + F(n-2))}{3} \right] $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(12) $?

Примечание. Квадратные скобки в записи $[x]$ применяются для обозначения целой части числа $x$.

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 0
    elif n == 2:
        return 1
    elif not n % 2:
        return (n * F(n-1)) // 2
    else:
        return (n * (F(n-1) + F(n-2))) // 3

print(F(12))

Ответ: 91080

Задание 16. Информатика. 2022-17

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 1$ при $ n = 2$;
$ F(n) = \left[ \dfrac{n \cdot F(n-1)}{2} \right] $, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = \left[ \dfrac{n \cdot (F(n-1) + F(n-2))}{3} \right] $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(13) $?

Примечание. Квадратные скобки в записи $[x]$ применяются для обозначения целой части числа $x$.

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    elif not n % 2:
        return (n * F(n-1)) // 2
    else:
        return (n * (F(n-1) + F(n-2))) // 3

print(F(13))

Ответ: 930930

Задание 16. Информатика. 2022-16

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 2$ при $ n = 2$;
$ F(n) = \left[ \dfrac{8 \cdot n + F(n-3)}{9} \right] $, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = \left[ \dfrac{4 \cdot n + F(n-1) + F(n-2)}{7} \right] $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(52) $?

Примечание. Квадратные скобки в записи $[x]$ применяются для обозначения целой части числа $x$.

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif not n % 2:
        return (8 * n + F(n-3)) // 9
    else:
        return (4 * n + F(n-1) + F(n-2)) // 7

print(F(52))

Ответ: 50

Задание 16. Информатика. 2022-15

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 2$ при $ n = 2$;
$ F(n) = \left[ \dfrac{7 \cdot n + F(n-3)}{9} \right] $, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = \left[ \dfrac{5 \cdot n + F(n-1) + F(n-2)}{7} \right] $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(50) $?

Примечание. Квадратные скобки в записи $[x]$ применяются для обозначения целой части числа $x$.

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif not n % 2:
        return (7 * n + F(n-3)) // 9
    else:
        return (5 * n +F(n-1) + F(n-2)) // 7

print(F(50))

Ответ: 43

Задание 16. Информатика. 2022-14

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 2$ при $ n = 2$;
$ F(n) = F(n-2) + F(n-3) + 10$, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = F(n-1) + F(n-2) $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(21) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif not n % 2:
        return F(n-2) + F(n-3) + 10
    else:
        return F(n-1) + F(n-2)

print(F(50))

Ответ: 6646

Задание 16. Информатика. 2022-13

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 1$ при $ n = 2$;
$ F(n) = F(n-2) + F(n-3) + 10$, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = F(n-1) + F(n-2) $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(22) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    elif not n % 2:
        return F(n-2) + F(n-3) + 10
    else:
        return F(n-1) + F(n-2)

print(F(22))

Ответ: 6144

Задание 16. Информатика. 2022-12

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 1$ при $ n = 2$;
$ F(n) = 3 + F(n-1)$, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 2 \cdot n + F(n-2) $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(42) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    elif not n % 2:
        return 3 + F(n-1)
    else:
        return 2 * n + F(n-2)

print(F(42))

Ответ: 884

Задание 16. Информатика. 2022-11

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$F(n) = 1$ при $ n = 2$;
$ F(n) = 2 + F(n-1)$, если $n > 2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n) = 3 \cdot n + F(n-2) $, если $ n > 2$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(43) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    elif not n % 2:
        return 2 + F(n-1)
    else:
        return 3 * n + F(n-2)

print(F(43))

Ответ: 1450

Задание 16. Информатика. 2022-10

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = 3 \cdot F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(25) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return 3 * F(n-1)
    else:
        return 2 * F(n-2)

print(F(25))

Ответ: 4096

Задание 16. Информатика. 2022-9

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = 2 \cdot F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 3 \cdot F(n-2) - 1 $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(18) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return 2 * F(n-1)
    else:
        return 3 * F(n-2) - 1

print(F(18))

Ответ: 6562

Задание 16. Информатика. 2022-8

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = n + F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = F(n-1) + 2 \cdot F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(19) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return n + F(n-1)
    else:
        return F(n-1) + 2 * F(n-2)

print(F(19))

Ответ: 49197

Задание 16. Информатика. 2022-7

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = n + F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1) + F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(20) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return n + F(n-1)
    else:
        return 2 * F(n-1) + F(n-2)

print(F(20))

Ответ: 78731

Задание 16. Информатика. 2022-6

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = n + 3 \cdot F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 2 + 2 \cdot F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(23) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif not n % 2:
        return n + 3 * F(n-1)
    else:
        return 2 + 2 * F(n-2)

print(F(23))

Ответ: 6142

Задание 16. Информатика. 2022-5

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n = 1$;
$ F(n) = n + 2 \cdot F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 1 + 3 \cdot F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(17) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n == 1:
        return 1 
    elif not n % 2:
        return n + 2 * F(n-1)
    else:
        return 1 + 3 * F(n-2)

print(F(17))

C++


#include<iostream>
using namespace std;

int F(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    else if (n % 2 == 0)
            return n + 2 * F(n-1);
         else
            return 1 + 3 * F(n-2);
}

int main() {
    cout << F(17) << endl;
    return 0;
}

Java


public class z16_5 {

    static int F(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        else if (n % 2 == 0)
                return n + 2 * F(n-1);
             else
                return 1 + 3 * F(n-2);
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(F(17));
    }
}

Ответ: 9841

Задание 16. Информатика. 2022-4

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 2$ при $ n \leqslant 1$;
$ F(n) = 1 + F(n-1) \cdot F(n-2) - F(n-1) - F(n-2)$, если $ n > 1 $ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ чётно.

Чему равно значение функции $ F(12) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n <= 1:
        return 2
    elif n % 2:
        return 1 + F(n-1) * F(n-2) - F(n-1) - F(n-2)
    else:
        return 2 * F(n-1)

print(F(12))

Ответ: 13441735782

Задание 16. Информатика. 2022-3

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n \leqslant 1$;
$ F(n) = 3 + F(n-1) \cdot F(n-2) - F(n-1) - F(n-2)$, если $ n > 1 $ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 2 \cdot F(n-1) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ чётно.

Чему равно значение функции $ F(12) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n <= 1:
        return 1
    elif n % 2:
        return 3 + F(n-1) * F(n-2) - F(n-1) - F(n-2)
    else:
        return 2 * F(n-1)

print(F(12))

Ответ: 30830260

Задание 16. Информатика. 2022-2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n \leqslant 1$;
$ F(n) = 4 \cdot n + F(n-1) - F(2)$, если $ n > 1 $ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 3 \cdot F(n-1) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ чётно.

Чему равно значение функции $ F(35) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n <= 1:
        return 1
    elif n % 2:
        return 4 * n + F(n-1) - F(2)
    else:
        return 3 * F(n-1)

print(F(35))

Ответ: 968551148

Задание 16. Информатика. 2022-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $ n \leqslant 1$;
$ F(n) = 5 \cdot n + F(n-1) + F(2)$, если $ n > 1 $ и при этом $n$ нечётно;
$F(n) = 3 \cdot F(n-1) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ чётно.

Чему равно значение функции $ F(23) $?

Решение:

Python


def F(n):
    if n <= 1:
        return 1
    elif n % 2:
        return 5 * n + F(n-1) + F(2)
    else:
        return 3 * F(n-1)

print(F(23))

Ответ: 2214271

Задание 16. Информатика. Демо-2022

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$ F(n) = 1 $ при $ n = 1$;
$F(n) = n + F(n-1)$, если $n$ чётно;
$F(n) = 2 \times F(n-2) $, если $ n > 1$ и при этом $ n $ нечётно.

Чему равно значение функции $ F(26)$?

Решение:

...
Ответ: 4122

Задание 16. Информатика. Статград-22-3-2

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $ n $ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$ F(0) = 0$;
$ F(n) = F(n-1) + 1$, если $n$ нечётно;
$ F(n) = F(n/2)$, если $ n >0$ и при этом $ n $ чётно.

Укажите количество таких значений $ n < 1~000~000~000$, для которых $ F(n) = 3$.

Решение:

Python

На Пайтоне указанный алгоритм можно записать так.

Однако выполняться такой алгоритм при больших $n$ будет очень долго. Значит для решения этой задачи нужны другие соображения. Легко заметить, что функция $ F(n)$ есть ни что иное, как подсчёт числа единиц в двоичной записи числа. Поэтому задачу решает более простой цикл:

Эту же задачу можно решить и не особо программируя. В командной строке Пайтона определяем разрядность числа $ 1~000~000~000$ в двоичной записи.

Осталось определить, сколькими способами можно разместить три единицы по тридцати позициям: $$ C^2_{30} = \frac{30!}{3! \, 27!} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{6} = 4060. $$

Ответ: 4060

Задание 16. Информатика. Статград-22-3-1

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $ n $ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$ F(0) = 0$;
$ F(n) = F(n-1) + 1$, если $n$ нечётно;
$ F(n) = F(n/2)$, если $ n >0$ и при этом $ n $ чётно.

Укажите количество таких значений $ n < 1~000~000~000$, для которых $ F(n) = 2$.

Решение:

Python

На Пайтоне указанный алгоритм можно записать так.

Осталось определить, сколькими способами можно разместить две единицы по тридцати позициям: $$ C^2_{30} = \frac{30!}{2! \, 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 435. $$

Ответ: 435

Задание 16. Информатика. Статград-22-2-2

Обозначим остаток от деления натурального числа $ a $ на натуральное число $b$ как $ a \mod b$.

Алгоритм вычисления значения функции $ F(n) $, где $ n $ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$ F(0) = 0;$
$ F(n) = F(n-1) + 1, $ если $ n>0$ и при этом $ n\mod 3 = 2$;
$ F(n) = F((n - n \mod 3) / 3), $ если $ n > 0 $ и при этом $ n \mod 3 < 2 $.

Укажите наименьшее возможное $ n $, для которого $ F(n) = 5 $.

Решение:

...
Ответ: 242

Задание 16. Информатике. Статград-22-2-1

Обозначим остаток от деления натурального числа $ a $ на натуральное число $b$ как $ a \mod b$.

Алгоритм вычисления значения функции $ F(n) $, где $ n $ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$ F(0) = 0;$
$ F(n) = F(n-1) + 1, $ если $ n>0$ и при этом $ n\mod 3 = 2$;
$ F(n) = F((n - n \mod 3) / 3), $ если $ n > 0 $ и при этом $ n \mod 3 < 2 $.

Укажите наименьшее возможное $ n $, для которого $ F(n) = 6 $.

Решение:

...
Ответ: 728

Задание 16. Информатика. Статград-22-1-2

Алгоритм вычисления значения функции $ F(n) $, где $ n $ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$ F(0) = 0;$
$ F(n) = F(n/2), $ если $ n>0$ и при этом $ n $ чётно;
$ F(n) = 1 + F(n-1), $ если $ n $ нечётно.

Сколько существует таких чисел $ n $, что $ 1 \leqslant n \leqslant 900 $ и $ F(n) = 9 $?

Решение:

...
Ответ: 3

Задание 16. Информатика. Статград-22-1-1

Алгоритм вычисления значения функции $ F(n) $, где $ n $ — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$ F(0) = 0;$
$ F(n) = F(n/2), $ если $ n>0$ и при этом $ n $ чётно;
$ F(n) = 1 + F(n-1), $ если $ n $ нечётно.

Сколько существует таких чисел $ n $, что $ 1 \leqslant n \leqslant 500 $ и $ F(n) = 8 $?

Решение:

...
Ответ: 5

: Обновлено: 20 декабря 2025

ЕГЭ по информатике 2026. Теория и задания ФИПИ с ответами