82

Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

По формуле находим:
`veca*vecb=(-13)·(-6)+4·1=82`
Ответ: 82

7,5

Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами

`veca*vecb=|3|*|5|*cos60°=15*1/2=7,5`
Ответ: 7,5

Умножение вектора на число: если `veca(2;3)`, то `2veca(4;6)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

`2vecb(-4;8)`
`veca+2vecb+vecc (0-4+4;3+8-1)`
`veca+2vecb+vecc (0;10)`

`|veca+2vecb+vecc|=sqrt(0^2+10^2)=10`
Ответ: 10

11

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Умножение вектора на число: если `veca(2;3)`, то `2veca(4;6)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

`veca(4-1;5-1)=(3;4)`
`vecb(5-3;2-3)=(2;-1)` ,
`4vecb (8;-4)`
Координаты искомого вектора будут равны сумме соответствующих координат:
`veca +4 vecb (x_1+x_2; y_1+y_2) = veca +4 vecb (3+8; 4-4) = veca  +4 vecb (11; 0)`

А теперь находим его длину
`|veca +4vecb|= sqrt(11^2+0^2)=11`
Ответ:  11

71

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Находим координаты вектора а, из координат его конца отнимаем координаты его начала
`veca (9-1;7-2)=(8;5)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца отнимаем координаты его начала
`vecb (8-1;4-1)=(7;3)`
Найдем скалярное произведение векторов
`veca*vecb=8·7+5·3=71`
Ответ: 71

10

Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

`|veca|=sqrt(6^2+8^2)=sqrt(36+64)=sqrt100=10`
Ответ: 10

40

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

При скалярном произведении векторов получается число, не зависящее от системы координат, в которых находятся исходные вектора. Результат является характеристикой длин векторов, составляющих произведение, и угла между ними.
Существует еще векторное произведение, представляющее собой результирующий вектор.

`veca (2;6)`
`vecb (8;4)`
`veca*vecb= 2*8+6*4=16+24=40`
Ответ: 40

3

Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами

Так как треугольник прямоугольный, то проекция АВ на ось абсцисс является фактически катетом АС, то есть АС=AB*cosα, 
cosα = AC/AB
Скалярное произведение векторов аb равно произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между ними:
`vec(AC)*vec(AB) = |AC|*|AB| * cos a = |AC|*|AB|*(AC)/(AB)=|AC|^2=sqrt(3)^2=3`
Ответ: 3

28

Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

`veca+vecb (1+3; 2-6)=(4;-4)`
`(veca+vecb)*vecc=4*4+(-4)*(-3)=16+12=28`
Ответ: 28 

-0.96

Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`
Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Формула вычисления угла между векторами
`cosφ = (veca*vecb)/(|veca|*|vecb|)`

Находим произведение векторов в координатах
`veca*vecb = 3*(-4)+4*(-3)=(-12)*(-12)=-24`

Найдем модули векторов, то есть их длины:
если построить вектор а на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = 3, по y = 4 при этом длина вектора `|veca| = sqrt(3^2+4^2) = sqrt25 = 5`

Если построить вектор b на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = -4, по y = -3 при этом длина вектора `|vecb| = sqrt(-4^2+(-3)^2) = sqrt25 = 5`

`cosφ = -24/(5*5) =-24/25 = -0,96`
Ответ: -0,96

6

Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами

`veca*vecb=|veca|*|vecb|*cos45º`
`cos45º= sqrt2/2`
`12=2sqrt2*|vecb|* sqrt2/2`
`12=2*|vecb|`
`|vecb| = 12/2= 6`
Ответ: 6

40

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

Координаты вектора `vec(AB)(8-2;6-4)=(6;2)`
Длина вектора `|vec(AB)|=sqrt(36+4)=sqrt(40)`
`vec(AB)^2 = sqrt(40)^2= 40
Ответ: 40

200

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

`veca (2;6)`
`vecb (8;4)`
`veca + vecb = vecc (10;10)`
`|vecc|=sqrt(10^2 +10^2)=sqrt(200)`
`vecc^2=200`
Ответ: 200

200

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`veca(4-2;10-4)=(2;6)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecb(10-2;6-2)=(8;4)`

Квадрат длины вектора a+b равен сумме квадратов его координат, то есть
`veca (2;6) + vecb (8;4) = vecc (10;10)`
c²=10² +10²
c²=200
Ответ: 200

40

Умножение вектора на число: если `veca(2;3)`, то `2veca(4;6)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

Находим координаты вектора а, из координат его конца отнимаем координаты его начала, тогда
`vecа(4-2;10-4)=(2;6)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecb(10-2;6-2)=(8;4)`

Найдем координаты `veca-vecb`, то есть разность соответствующих координат
`veca-vecb(2-8;6-4)=(-6;2)`
Длина вектора `|veca-vecb|=sqrt((-6)^2+2^2)=sqrt40`
`|veca-vecb|^2=40`
Ответ: 40

5

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Условно примем за начало координат точку А, тогда можно будет уйти от целочисленных координат векторов, получаем значения концов вектора
`vec(AB)(4;3)`
`vec(AC)(2;-1)`
Умножение векторов производим по формуле `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`, где берем сумму произведений соответствующих координат
`veca*vecb=4*2+3*(-1)=8*(-3)=5`
Ответ: 5

11

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`

У нас есть векторы с целочисленными координатами, теперь переходим к координатам каждого из векторов по следующему алгоритму: 

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecа(5-1;8-2)=vecа(4;6)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecb(11-5;2-4)=vecb(6;-2)`
Находим координаты вектора c, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecc(10-9;5-9)=vecc(1;-4)`

Координаты искомого вектора будут равны сумме соответствующих координат:
`vecа+vecb+vecc(x_1+x_2+x_3; y_1+y_2+y_3) = vecа+vecb+vecc(4+6+1; 6-2-4) = vecа+vecb+vecc(11; 0)`

А теперь находим его длину
`|vecа+vecb+vecc|= sqrt(11^2+0^2) =11`
Ответ: 11

18

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Умножение вектора на число: если `veca(2;3)`, то `2veca(4;6)`
Сложение векторов: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca+vecb=(x_1+x_2;y_1+y_2)`
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Вычитание  векторов производим, вычитая соответствующие координаты между собой. Так как векторы имеют целочисленные координаты найдем их упрощенные координаты.

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecа(3-1;3-2)=vecа(2;1)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecb(2-3;8-4)=vecb(-1;4)`
Находим координаты вектора c, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecc(9-4;4-5)=vecc(5;-1)`

`veca-vecb =veca+(-vecb)(2+1;1-4)=veca-vecb(3;-3)`

Умножение векторов производим по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2, где берем сумму произведений соответствующих координат

`(veca-vecb)*vecс=3*5+(-3)*(-1)=15+3=18`
Ответ: 18

-4

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Сначала необходимо найти координаты векторов по целочисленным координатам.
Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecа(1-2;3-3)=vecа(-1;0)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecb(6-2;1-3)=vecb(4;-2)`

`veca*vecb=(-1)*4+0*(-2) = -4`
Ответ: -4

0,96

Координаты вектора: если `A(x_1;y_1)` и `B(x_2;y_2)`, то `vecAB(x_2-x_1;y_2-y_1)`
Длина вектора: если `veca(x;y)`, то `|veca|=sqrt(x^2+y^2)`
Скалярное произведение `veca*vecb=|veca|*|vecb|*cosφ`, где φ - угол между векторами
Скалярное произведение в координатах: если `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecа(4-1;4-8)=vecа(3;-4)`
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
`vecb(6-2;1-4)=vecb(4;-3)`

Произведение векторов находим по формуле `veca(x_1;y_1)` и `vecb(x_2;y_2)`, то `veca*vecb=x_1*x_2 + y_1*y_2`
`veca*vecb = 3*4+(-4)*-3=12+12=24`

Найдем модули векторов, то есть их длины.
Если построить вектор а на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = 3, по y = -4 при этом длина вектора
`|veca| = sqrt(3^2+(-4)^2) = sqrt25 = 5`

Если построить вектор b на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = 4, по y = -3 при этом длина вектора
`|vecb| = sqrt(4^2+(-3)^2) = sqrt25 = 5`

`cosφ = 24/(5*5) =24/25= 0,96`
Ответ: 0,96