Ответы к странице 210

Когда сделаны уроки

1. Какие из данных предложений являются высказываниями:
1) 5 > 5;
2) x < 5;
3) что больше, sin30° или cos45°;
4) если четырехугольник ABCD − параллелограмм, то AB = CD;
5) число 1 не является ни простым, ни составным;
6) неверно, что 5 − действительное число;
7) все кошки серые?

Решение:

Высказываниями являются предложения:
1, 4, 6.

2. Даны два высказывания:
A ≡ {5 < 6}, B ≡ {6 − простое число}.
Определите, истинным или ложным является высказывание:
1) A ∧ B;
2) A ∨ B;
3) A ⇒ B;
4) A ⇔ B;
5) $\overline{A}$;
6) $\overline{B}$.

Решение:

1) A ∧ B − ложное;
2) A ∨ B − истинное;
3) A ⇒ B − ложное;
4) A ⇔ B − ложное;
5) $\overline{A}$ − ложное;
6) $\overline{B}$ − истинное.

3. Составьте таблицу истинности для логического выражения:
1) $\overline{A} ⇒ B$;
2) (A ∨ B) ∧ C;
3) (A ∧ B) ⇒ C;
4) (A ⇒ B) ∧ (B ∨ C);
5) $(A ∧ \overline{C}) ⇒ B$.

Решение:

1) $\overline{A} ⇒ B$

A $\overline{A}$ B $\overline{A} ⇒ B$
1 0 1 0
0 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1

2)
(A ∨ B) ∧ C

A B C A ∨ B (A ∨ B) ∧ C
1 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0

3)
(A ∧ B) ⇒ C

A B C A ∧ B (A ∧ B) ⇒ C
1 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 0 1

4)
(A ⇒ B) ∧ (B ∨ C)

A B C A ⇒ B B ∨ C (A ⇒ B) ∧ (B ∨ C)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0

5)
$(A ∧ \overline{C}) ⇒ B$

A B C $\overline{C}$ $A ∧ \overline{C}$ $(A ∧ \overline{C}) ⇒ B$
1 1 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1

4. Докажите, что:
1) $\overset{=}{A} = A$;
2) A ∧ A = A;
3) A ∨ B = B ∨ A;
4) A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);
5) $\overline{A ∨ B} = \overline{A} ∧ \overline{B}$;
6) $(A ⇒ B) = \overline{B} ⇒ \overline{A}$.

Решение:

1) $\overset{=}{A} = A$

A $\overset{-}{A}$ $\overset{=}{A}$
0 1 0
1 0 1

2)
A ∧ A = A

A A A ∧ A
0 0 0
1 1 1

3)
A ∨ B = B ∨ A

A B A ∨ B B ∨ A
1 1 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0

4)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A B C B ∧ C A ∨ (B ∧ C)
1 1 1 1 1
1 1 0 0 1
1 0 1 0 1
1 0 0 0 1
0 1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0

A B C A ∨ B A ∨ C (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0

5)
$\overline{A ∨ B} = \overline{A} ∧ \overline{B}$

A B A ∨ B $\overline{A ∨ B}$
1 1 1 0
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1

A B $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{A} ∧ \overline{B}$
1 1 0 0 0
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1

6)
$(A ⇒ B) = \overline{B} ⇒ \overline{A}$

A B A ⇒ B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

A B $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{B} ⇒ \overline{A}$
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1