Ответы к странице 143

569. Упростите выражение:
1) $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$;
2) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$;
3) $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}$.

Решение:

1) $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2 * 1 * \sqrt{2} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1$

2) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{2^2 + 2 * 2 * \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3}$

3) $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{5 + 6 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{30} + 6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 * 6} + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{6}| = \sqrt{5} + \sqrt{6}$

570. Упростите выражение:
1) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$;
2) $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}}$;
3) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$.

Решение:

1) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{7 + 1 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{7} + 1} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 2 * 1 * \sqrt{7} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = |\sqrt{7} + 1| = \sqrt{7} + 1$

2) $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}} = \sqrt{6 + 9 + 6\sqrt{6}} = \sqrt{6 + 6\sqrt{6} + 9} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2 * 3 * \sqrt{6} + 3^2} = \sqrt{(\sqrt{6} + 3)^2} = |\sqrt{6} + 3| = \sqrt{6} + 3$

3) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2 + 5 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{10} + 5} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2 * 5} + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2} = |\sqrt{2} + \sqrt{5}| = \sqrt{2} + \sqrt{5}$

571. Упростите выражение:
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$.

Решение:

$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} = \frac{1(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} + \frac{1(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} + \frac{1(\sqrt{4} - \sqrt{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3})(\sqrt{4} - \sqrt{3})} + \frac{1(\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4})(\sqrt{5} - \sqrt{4})} + ... + \frac{1(\sqrt{100} - \sqrt{99})}{(\sqrt{100} + \sqrt{99})(\sqrt{100} - \sqrt{99})} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} + \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4 - 3} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{5 - 4} + ... + \frac{\sqrt{100} - \sqrt{99}}{100 - 99} = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{4} + ... + \sqrt{100} - \sqrt{99} = -1 + 10 = 9$

572. Докажите, что:
$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{91} + \sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91} - 1}{2}$.

Решение:

$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{91} + \sqrt{89}} = \frac{1(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} + \frac{1(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{1(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} + ... + \frac{1(\sqrt{91} - \sqrt{89})}{(\sqrt{91} + \sqrt{89})(\sqrt{91} - \sqrt{89})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + ... + \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + ... + \sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{91}}{2} = \frac{\sqrt{91} - 1}{2}$

573. Докажите, что:
$\sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} * \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2$.

Решение:

$\sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} * \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}})(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}})} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{2}})^2} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{4 - 2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} * \sqrt{2 + \sqrt{2}} * \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} * \sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \sqrt{2} * \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} * \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} * \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$

574. Упростите выражение:
1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}}$;
2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}}$.

Решение:

1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2 + \sqrt{8 + 4\sqrt{2} + 1}}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2} + \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}} = \sqrt{10 + 8\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \sqrt{10 + 8(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{10 + 8\sqrt{2} + 8} = \sqrt{2(5 + 4\sqrt{2} + 4)} = \sqrt{2} * \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{2} * \sqrt{8 + 4\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} * \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} * (2\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{4} + \sqrt{2} = 2 * 2 + \sqrt{2} = 4 + \sqrt{2}$

2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{12 + \sqrt{16 * 3} + 1}}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3 + \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2}}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}} = \sqrt{22 + 6\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}} = \sqrt{22 + 6(\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{22 + 6\sqrt{3} + 6} = \sqrt{28 + 6\sqrt{3}} = \sqrt{27 + 6\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(3\sqrt{3} + 1)^2} = 3\sqrt{3} + 1$

575. Рабочий должен был изготовлять ежедневно по 12 деталей. Однако он изготовлял ежедневно по 15 деталей, и уже за 5 дней до окончания срока работы ему осталось изготовить 30 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Решение:

Пусть x (дней) − должен был работать рабочий по плану, тогда:
12x (деталей) − должен был изготовить рабочий;
x − 5 (дней) − работал рабочий фактически;
15(x − 5) (деталей) − изготовил рабочий фактически.
Так как, до окончания срока работы рабочему осталось изготовить 30 деталей, можно составить уравнение:
12x − 15(x − 5) = 30
12x − 15x + 75 = 30
−3x = 30 − 75
−3x = −45
x = 15 (дней) − должен был работать рабочий по плану, тогда:
12x = 12 * 15 = 180 (деталей) − должен был изготовить рабочий.
Ответ: 180 деталей

576. При распродаже цену на товар снизили на 20%. На сколько процентов нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной?

Решение:

Пусть x (руб.) − начальная цена товара, тогда:
x − 0,2x = 0,8x (руб.) − цена товара на распродаже;
$\frac{x}{0,8x} = \frac{1}{\frac{8}{10}} = \frac{10}{8} = 1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4} = 1,25$ (раза) − нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной;
(1,25 − 1) * 100% = 0,25 * 100% = на 25% − нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной.
Ответ: на 25%

577. Лодка проплыла 32 км по течению реки за 4 ч, а против течения − за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение:

1) 32 : 4 = 8 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
2) 32 : 8 = 4 (км/ч) − скорость лодки против течения реки;
3) 8 − 4 = 4 (км/ч) − удвоенная скорость течения реки;
4) 4 : 2 = 2 (км/ч) − скорость течения реки;
5) 8 − 2 = 6 (км/ч) − собственная скорость лодки.
Ответ: 6 км/ч − скорость лодки; 2 км/ч − скорость течения реки.

578. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля − в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде?

Решение:

Так как, Оля села в шестой вагон от хвоста поезда, то после вагона в который села Федя и Оля до хвоста поезда осталось
6 − 1 = 5 (вагонов)
Значит:
12 + (6 − 1) = 12 + 5 = 17 (вагонов) − было всего в поезде.
Ответ: 17 вагонов

579. Число a − положительное, а число b − отрицательное. Какое из данных выражений принимает наибольшее значение:
1) $a^2b$;
2) $-a^2b^2$;
3) $-ab^2$;
4) $ab$;
5) $-a^2b$?

Решение:

1) $a^2b < 0$, так как $a^2 > 0$, b < 0;
2) $-a^2b^2 < 0$, так как $-a^2 < 0$, $b^2 > 0$;
3) $-ab^2 < 0$, так как $-a < 0$, $b^2 > 0$;
4) $ab < 0$, так как a > 0, b < 0;
5) $-a^2b > 0$, так как $-a^2 < 0$, $b < 0$.
Ответ: любое положительное число больше отрицательного, а так как только пятое выражение положительное, значит оно принимает наибольшее значение.