Ответы к странице 67

267. Дима ходит из дома на стадион пешком со скоростью 4 км/ч. Если он поедет на стадион на велосипеде со скоростью 12 км/ч, то приедет на 20 мин раньше, чем обычно. На каком расстоянии от дома Димы находится стадион?

Решение:

20 (мин) = $\frac{20}{60}$ (ч) = $\frac{1}{3}$ (ч)
Пусть x (ч) − идет Дима из дома на стадион, тогда:

v, км/ч t, ч S, км
Пешком 4 x 4x
На велосипеде 12 $x - \frac{1}{3}$ $12(x - \frac{1}{3})$
Зная, что и пешком и на велосипеде Дима преодолеет одно и то же расстояние, можно составить уравнение:
$4x = 12(x - \frac{1}{3})$
4x = 12x − 4
4x − 12x = −4
−8x = −4
x = 0,5 (ч) − идет Дима из дома на стадион;
4x = 4 * 0,5 = 2 (км) − расстояние от дома Димы до стадиона.
Ответ: 2 км

268. Упростите выражение
$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2}$.

Решение:

$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2} = \frac{2a^2 + 2}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3(a - 1)}{2(a + 1)} = \frac{2(2a^2 + 2) - 2(a + 1)^2 + 3(a - 1)^2}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a^2 + 4 - 2(a^2 + 2a + 1) + 3(a^2 - 2a + 1)}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a^2 + 4 - 2a^2 - 4a - 2 + 3a^2 - 6a + 3}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a^2 - 10a + 5}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5(a^2 - 2a + 1)}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5(a - 1)^2}{2(a - 1)(a + 1)} = \frac{5(a - 1)}{2(a + 1)}$

269. Можно ли утверждать, что при любом натуральном n значение выражения $(5n + 6,5)^2 - (2n + 0,5)^2$ кратно 42?

Решение:

$(5n + 6,5)^2 - (2n + 0,5)^2 = (5n + 6,5 - (2n + 0,5))(5n + 6,5 + 2n + 0,5) = (5n + 6,5 - 2n - 0,5)(7n + 7) = (3n + 6)(7n + 7) = 3(n + 2) * 7(n + 1) = 21(n + 2)(n + 1)$
Из двух множителей (n + 2) и (n + 1) один обязательно является четным, а значит будет кратен 2. А так как 21 * 2 = 42, значит можно утверждать, что при любом натуральном n значение данного выражения кратно 42.
Ответ: да, можно.

270. Представьте в виде степени с основанием a выражение:
1) $a^7 * a^5$;
2) $a^7 : a^5$;
3) $(a^7)^5$;
4) $\frac{(a^3)^6 * a^4}{a^{16}}$.

Решение:

1) $a^7 * a^5 = a^{7 + 5} = a^{12}$

2) $a^7 : a^5 = a^{7 - 5} = a^{2}$

3) $(a^7)^5 = a^{7 * 5} = a^{35}$

4) $\frac{(a^3)^6 * a^4}{a^{16}} = \frac{a^{3 * 6} * a^4}{a^{16}} = \frac{a^{18} * a^4}{a^{16}} = \frac{a^{18 + 4}}{a^{16}} = \frac{a^{22}}{a^{16}} = a^{22 - 16} = a^6$

271. Упростите выражение:
1) $-4m^3n^5 * 5m^4n^2$;
2) $(-2m^7n^2)^4$;
3) $8x^3y^4 * (-\frac{1}{2}x^2y^5)^3$.

Решение:

1) $-4m^3n^5 * 5m^4n^2 = (-4 * 5)m^{3 + 4}n^{5 + 2} = -20m^7n^7$

2) $(-2m^7n^2)^4 = (-2)^4m^{7 * 4}n^{2 * 4} = 16m^{28}n^{8}$

3) $8x^3y^4 * (-\frac{1}{2}x^2y^5)^3 = 8x^3y^4 * (-\frac{1}{2})^3x^{2 * 3}y^{5 * 3} = 8x^3y^4 * (-\frac{1}{8})x^{6}y^{15} = -x^{3 + 6}y^{4 + 15} = -x^{9}y^{19}$

272. Найдите значение выражения:
1) $\frac{3^{10} * 27^3}{9^9}$;
2) $(5\frac{1}{3})^7 * (\frac{3}{16})^8$.

Решение:

1) $\frac{3^{10} * 27^3}{9^9} = \frac{3^{10} * (3^3)^3}{(3^2)^9} = \frac{3^{10} * 3^9}{3^{18}} = \frac{3^{19}}{3^{18}} = 3$

2) $(5\frac{1}{3})^7 * (\frac{3}{16})^8 = (\frac{16}{3})^7 * (\frac{3}{16})^8 = \frac{16^7}{3^7} * \frac{3^8}{16^8} = \frac{3}{16}$

№273. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причем у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Может ли взрослых быть больше, чем детей?

Решение:

Супружеская пара - это двое взрослых (мама и папа).
Так как у каждого мальчика есть сестра, значит у каждой пары взрослых минимум двое детей.
Так как мальчиков больше, чем девочек, то в каких-то семьях детей больше двух.
Значит, взрослых не может быть больше, чем детей.
Ответ: не может.