Ответы к странице 70

§9. Свойства степени с целым показателем

Вопросы

1. Сформулируйте свойства степени с целым показателем.

Решение:

1) $a^m * a^n = a^{m + n}$;
2) $(a^m)^n = a^{mn}$;
3) $(ab)^n = a^nb^n$;
4) $a^m : a^n = a^{m - n}$;
5) $(\frac{a}{n})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Упражнения

274. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниям:
1) $a^{-6} * a^{9}$;
2) $a^{5} * a^{-8}$;
3) $a^{-5} * a^{10} * a^{-12}$;
4) $a^{-2} : a^{6}$;
5) $a^{7} : a^{-3}$;
6) $a^{-3} : a^{-15}$;
7) $a^{12} * a^{-20} : a^{-9}$;
8) $(a^{-5})^{4}$;
9) $(a^{-6})^{-8}$;
10) $(a^{2})^{-4} * (a^{-3})^{-2} : (a^{-8})^3$;
11) $(a^{4}b^{-2}c^3)^{-10}$;
12) $(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}})^{-2}$.

Решение:

1) $a^{-6} * a^{9} = a^{-6 + 9} = a^{3}$

2) $a^{5} * a^{-8} = a^{5 - 8} = a^{-3}$

3) $a^{-5} * a^{10} * a^{-12} = a^{-5 + 10 - 12} = a^{-7}$

4) $a^{-2} : a^{6} = a^{-2 - 6} = a^{-8}$

5) $a^{7} : a^{-3} = a^{7 - (-3)} = a^{7 + 3} = a^{10}$

6) $a^{-3} : a^{-15} = a^{-3 - (-15)} = a^{-3 + 15} = a^{12}$

7) $a^{12} * a^{-20} : a^{-9} = a^{12 - 20 - (-9)} = a^{-8 + 9} = a^{1}$

8) $(a^{-5})^{4} = a^{(-5) * 4} = a^{-20}$

9) $(a^{-6})^{-8} = a^{-6 * (-8)} = a^{48}$

10) $(a^{2})^{-4} * (a^{-3})^{-2} : (a^{-8})^3 = a^{2 * (-4) + (-3) * (-2) - (-8) * 3} = a^{-8 + 6 + 24} = a^{22}$

11) $(a^{4}b^{-2}c^3)^{-10} = a^{4 * (-10)}b^{-2 * (-10)}c^{3 * (-10)} = a^{-40}b^{20}c^{-30}$

12) $(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}})^{-2} = \frac{a^{10 * (-2)}b^{-7 * (-2)}}{c^{6 * (-2)}d^{-14 * (-2)}} = \frac{a^{-20}b^{14}}{c^{-12}d^{28}} = a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28}$

275. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниями:
1) $a^{6} * a^{-10}$;
2) $a^{4} : a^{7}$;
3) $a^{-5} : a^{-9}$;
4) $(a^{-2})^6$;
5) $(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4}$;
6) $(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3}$;
7) $a^{-16} * a^8 : a^{-4}$;
8) $(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 * (a^{-7})^{-4}$.

Решение:

1) $a^{6} * a^{-10} = a^{6 - 10} = a^{-4}$

2) $a^{4} : a^{7} = a^{4 - 7} = a^{-3}$

3) $a^{-5} : a^{-9} = a^{-5 - (-9)} = a^{-5 + 9} = a^{4}$

4) $(a^{-2})^6 = a^{-2 * 6} = a^{-12}$

5) $(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4} = a^{-3 * (-4)}b^{-1 * (-4)}c^{7 * (-4)} = a^{12}b^{4}c^{-28}$

6) $(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3} = \frac{a^{2 * (-3)}}{b^{-3}c^{-1 * (-3)}} = \frac{a^{-6}}{b^{-3}c^{3}} = a^{-6}b^{3}c^{-3}$

7) $a^{-16} * a^8 : a^{-4} = a^{-16 + 8 - (-4)} = a^{-8 + 4} = a^{-4}$

8) $(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 * (a^{-7})^{-4} = a^{-3 * 8 - (-1) * 7 + (-7) * (-4)} = a^{-24 + 7 + 28} = a^{11}$

276. Найдите значение выражения:
1) $9^5 * 9^{-7}$;
2) $10^{-8} * 10^{12}$;
3) $3^{-18} : 3^{-21}$;
4) $2^{-9} * 2^{-12} : 2^{-22}$;
5) $(17^4)^{-12} * (17^{-6})^{-8}$;
6) $\frac{6^{-5} * (6^{-3})4}{(6^{-7})^2 * 6^{-3}}$;
7) $3^{-3} * (\frac{2}{3})^{-3}$;
8) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}}$.

Решение:

1) $9^5 * 9^{-7} = 9^{5 - 7} = 9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$

2) $10^{-8} * 10^{12} = 10^{-8 + 12} = 10^4 = 10000$

3) $3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18 - (-21)} = 3^{-18 + 21} = 3^3 = 27$

4) $2^{-9} * 2^{-12} : 2^{-22} = 2^{-9 - 12 - (-22)} = 2^{-21 + 22} = 2^1 = 2$

5) $(17^4)^{-12} * (17^{-6})^{-8} = 17^{4 * (-12) + (-6) * (-8)} = 17^{-48 + 48} = 17^0 = 1$

6) $\frac{6^{-5} * (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 * 6^{-3}} = 6^{(-5 - 3 * 4) - (-7 * 2 - 3)} = 6^{(-5 - 12) - (-14 - 3)} = 6^{-17 - (-17)} = 6^{-17 + 17} = 6^0 = 1$

7) $3^{-3} * (\frac{2}{3})^{-3} = 3^{-3} * \frac{2^{-3}}{3^{-3}} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

8) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}} = \frac{(2 * 7)^{-5}}{7^{-5}} = \frac{2^{-5} * 7^{-5}}{7^{-5}} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

277. Найдите значение выражения:
1) $6^{-9} * 6^6$;
2) $7^{-16} : 7^{-18}$;
3) $5^{-7} : 5^{-6} * 5^3$;
4) $\frac{4^{-7} * (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7}$;
5) $0,8^{-4} * (1\frac{1}{4})^{-4}$;
6) $\frac{11^{-2}}{22^{-2}}$.

Решение:

1) $6^{-9} * 6^6 = 6^{-9 + 6} = 6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$

2) $7^{-16} : 7^{-18} = 7^{-16 - (-18)} = 7^{-16 + 18} = 7^2 = 49$

3) $5^{-7} : 5^{-6} * 5^3 = 5^{-7 - (-6) + 3} = 5^{-7 + 6 + 3} = 5^2 = 25$

4) $\frac{4^{-7} * (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7} = \frac{4^{-7 - 5 * 3}}{4^{-3 * 7}} = \frac{4^{-7 - 15}}{4^{-21}} = \frac{4^{-22}}{4^{-21}} = 4^{-22 - (-21)} = 4^{-22 + 21} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$

5) $0,8^{-4} * (1\frac{1}{4})^{-4} = (\frac{8}{10})^{-4} * (\frac{5}{4})^{-4} = (\frac{4}{5})^{-4} * (\frac{5}{4})^{-4} = \frac{4^{-4}}{5^{-4}} * \frac{5^{-4}}{4^{-4}} = 1$

6) $\frac{11^{-2}}{22^{-2}} = \frac{11^{-2}}{(2 * 11)^{-2}} = \frac{11^{-2}}{2^{-2} * 11^{-2}} = \frac{1}{2^{-2}} = 2^2 = 4$

278. Упростите выражение:
1) $3a^{-3} * 4a^{-4}$;
2) $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}}$;
3) $(2c^{-6})^{4}$;
4) $m^{-2}n * mn^{-2}$;
5) $abc^{-1} * ab^{-1}c$;
6) $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4}$;
7) $(c^{-6}d^2)^{-7}$;
8) $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} * \frac{6}{7}a^{7}b^{4}$;
9) $0,2c^{-3}d^5 * 1,5c^{-2}d^{-5}$;
10) $4x^8 * (-3x^{-2}y^4)^{-2}$;
11) $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} * \frac{27n}{26m^2}$;
12) $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6}$.

Решение:

1) $3a^{-3} * 4a^{-4} = 12a^{-3 - 4} = 12a^{-7}$

2) $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}} = \frac{2}{3b^{-1}} = \frac{2}{3}b$

3) $(2c^{-6})^{4} = 2^4c^{-6 * 4} = 16c^{-24}$

4) $m^{-2}n * mn^{-2} = m^{-2 + 1}n^{1 - 2}= m^{-1}n^{-1}$

5) $abc^{-1} * ab^{-1}c = a^{1 + 1}b^{1 - 1}c^{-1 + 1} = a^2b^0c^0 = a^2$

6) $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4} = \frac{1}{k^3p^{4 + 6}} = \frac{1}{k^3p^{10}}$

7) $(c^{-6}d^2)^{-7} = c^{-6 * (-7)}d^{2 * (-7)} = c^{42}d^{-14}$

8) $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} * \frac{6}{7}a^{7}b^{4} = (\frac{1}{3} * \frac{6}{7})a^{-3 + 7}b^{-6 * 4} = \frac{2}{7}a^4b^{-2}$

9) $0,2c^{-3}d^5 * 1,5c^{-2}d^{-5} = (0,2 * 1,5)c^{-3 - 2}d^{5 - 5} = 0,3c^{-5}d^{0} = 0,3c^{-5}$

10) $4x^8 * (-3x^{-2}y^4)^{-2} = 4x^8 * \frac{1}{(-3x^{-2}y^4)^2} = 4x^8 * \frac{1}{(-3)^2x^{-2 * 2}y^{4 * 2}} = 4x^8 * \frac{1}{9x^{-4}y^{8}} = \frac{4x^{8 - (-4)}}{9y^{8}} = \frac{4x^{8 + 4}}{9y^{8}} = \frac{4x^{12}}{9y^{8}}$

11) $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} * \frac{27n}{26m^2} = \frac{m^{-10}}{4n^{-8}} * \frac{9n}{2m^2} = \frac{n^{8}}{4m^{10}} * \frac{9n}{2m^2} = \frac{9n^{8 + 1}}{8m^{10 + 2}} = \frac{9n^{9}}{8m^{12}}$

12) $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6} = \frac{18p^{-6}k^2}{7} * \frac{p^6}{15k^{-2}} = \frac{18k^2}{7p^{6}} * \frac{k^{2}p^6}{15} = \frac{6k^2}{7} * \frac{k^{2}}{5} = \frac{6k^4}{35}$