| Правило суммы | Правило произведения |
| Если события | |
| НЕ зависят друг от друга | зависят друг от друга |
| то количество способов выполнить | |
| ИЛИ первое, ИЛИ второе, …, ИЛИ n-ое событие | И первое, И второе, …, И n-ое событие |
| будет равно | |
| сумме | произведению |
| способов их выполнения | |
Подсказки для прототипа на составление чисел и слов:
| Условие |
Как влияет? |
| «Буква / цифра в слове встречается ровно один раз» |
Рассматриваем столько случаев, сколько длина слова / числа |
| «Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове не более одного раза» или «Все цифры различны» |
С каждой следующей позицией количество вариантов уменьшается на 1. Важно: не забывать, про буквы / числа, которые «стали снова доступны» («на первом месте не может быть буква Н») |
| Ноль – особое число |
Ноль – чётный С нуля числа не начинаются! |
| «Никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом» | Чётные и нечётные цифры чередуются. Рассматривается 2 случая |
Алгоритм решения прототипа задания №8 со списком слов:
1. Основание «системы счисления» равно числу различных букв
2. По порядку крайних первых букв в списке «слов» сопоставлять каждую букву с цифрой (первая –0,
вторая –1 и т. д.)
3. Если надо найти слово по положению – из порядкового номера вычитаем 1, переводим в выбранную СС
и переписываем в буквенном обозначении
4. Если необходимо найти положение «слова» в списке – переписываем его в выбранной СС, переводим в десятичную и прибавляем 1.
Пример программного решения прототипа на составление слов и чисел
Сколько существует восьмеричных пятизначных чисел, не содержащих в своей записи цифру 1, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?
from itertools import product
k = 0
for x in product('0234567', repeat=5):
if x[0] != '0' and len(set(x)) == len(x):
f = True
for i in range(len(x) - 1):
if int(x[i]) % 2 == int(x[i+1]) % 2:
f = False
if f:
k += 1
print(k)
Пример программного решения прототипа со списком слов
Все шестибуквенные слова, составленные из букв М, А, Н, Г, У, С, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:
1. АААААА
2. АААААГ
3. АААААМ
4. АААААН
5. АААААС
6. АААААТ
7. АААААУ
8. ААААГА
……
Под каким номером в списке стоит последнее слово, которое не начинается с буквы У, содержит только две буквы М и не более одной буквы Г?
from itertools import product # достаем функцию из библиотеки
number = 0 # переменная для номера слова
# перебираем комбинации из букв слова МАНГУСТ в алфавитном порядке
for x in product('АГМНСТУ', repeat=6):
number += 1 # увеличиваем номер слова
# проверяем условие задания
if x[0] != 'У' and x.count('М') == 2 and x.count('Г') <= 1:
print(number) # выводим номер подходящего слова
Прототипы с ЕГЭ
Задача №1 Все 4-буквенные слова, составленные из букв Д, Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка.
1. ДДДД
2. ДДДЕ
3. ДДДК
4. ДДДО
5. ДДДР
6. ДДЕД
…
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы K?
Ответ: 251
Задача №2 Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует трёхбуквенные слова, в которых могут быть только буквы Ш, К, О, Л, А, причём буква К появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?
Ответ: 48
Задача №3 Определите количество пятизначных чисел в шестнадцатеричной системе счисления, которые не оканчиваются чётными цифрами и не начинаются с цифры 1.
Ответ: 458752
Задача №4 Определите количество семизначных чисел, записанных в семеричной системе счисления, учитывая, что числа не могут начинаться с цифр 3 и 5 и не должны содержать сочетания цифр 22 и 44 одновременно.
Ответ: 466456
Задача №5 Все пятибуквенные слова, составленные из букв К, О, М, П, Ь, Ю, Т, Е, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:
1. ЕЕЕЕЕ
2. ЕЕЕЕК
3. ЕЕЕЕМ
4. ЕЕЕЕО
5. ЕЕЕЕП
6. ЕЕЕЕР
7. ЕЕЕЕТ
8. ЕЕЕЕЬ
Под каким номером в списке стоит последнее слово с нечётным номером, которое не начинается с буквы Ь и содержит ровно две буквы К?
Ответ: 58979
Задания уровня ЕГЭ
Задача №1 Катя составляет 5-буквенные слова из букв слова АПРЕЛЬ и упорядочивает их в обратном алфавитном порядке. Вот начало списка:
1. ЬЬЬЬЬ
2. ЬЬЬЬР
3. ЬЬЬЬП
4. ЬЬЬЬЛ
5. ЬЬЬЬЕ
6. ЬЬЬЬА
7. ЬЬЬРЬ
Сколько слов, оканчивающихся на Ь, запишет Катя, если заполнит список до 387 позиции (включительно)?
Ответ: 65
Задача №2 Петя составляет четырехбуквенные слова из символов КЕГЭ2023 и записывает их в алфавитном порядке в список. Вот начало списка
1. ГГГГ
2. ГГГЕ
3. ГГГК
4. ГГГЭ
5. ГГГ0
6. ГГГ2
7. ГГГ3
8. ГГЕГ
На какой позиции будет стоять первое слово, начинающееся с цифры, и не содержащее двух подряд идущих одинаковых символов?
Ответ: 1380
Задача №3 Сколько существует способов разместить на книжной полке шесть книг, среди которых имеются четыре тома романа «Война и мир», которые должны стоять рядом (но не обязательно по порядку)?
Ответ: 144
Задача №4 (5438) Оля составляет слова перестановкой букв слова СПОРТЛОТО. Отбросив одинаковые слова и слова начинающиеся и заканчивающиеся гласной Оля отсортировала их и пронумеровала начиная с 1. Под каким номером находится последнее слово?
Ответ: 126
