В ЕГЭ по профильной математике 2 типа заданий на решение уравнений - с кратким и с развернутым ответом. С кратким, естественно, проще. Собрали для вас прототипы таких заданий из банка ФИПи и с масегэ.
Все прототипы задания ЕГЭ с уравнениями первой части
Линейные уравнения
Найдите корень уравнения `2/9 x =−3 7/9`.
Решение:
-17
`2/9 x=−3 7/9`
`2/9 x=−34/9`
`x=−34/9:2/9=-34/9*9/2=-17`
Ответ: -17
Номер: AC087E
Найдите корень уравнения `(6x−13)^2=(6x−11)^2`.
Решение:
2
`(6x−13)^2=(6x−11)^2`
`36x^2-156x+13^2=36x^2−132*x+121`
`169-121=156x−132*x`
`48=24*x`
`x=2`
Ответ: 2
Номер: F69DFE
Найдите корень уравнения `x^2−8=(x−4)^2`.
Решение:
3
`x^2−8=x^2-8x+16`
`8x=16+8`
`8x=24`
`x=3`
Ответ: 3
mathege
Квадратные уравнения
Найдите корень уравнения `(x+9)^2=36x`.
Решение:
9
`x^2+18x+81=36x`
`x^2-18x+81=0`
`(x-9)^2=0`
`x=9`
Ответ: 9
Номер: B632F0
Найдите корень уравнения `x^2−17x+72=0`.
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение:
8
`x^2−17x+72=0`
`{(x_1+x_2=17),(x_1*x_2=72):}`
`x_1=8; x_2=9`
Ответ: 8
mathege
Найдите корень уравнения `2/15x^2=2 7/10`.
Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из корней.
Решение:
4.5
`2/15x^2=2 7/10`
`2/15x^2=27/10`
`x^2=27/10 * 15/2 = 81/4`
`x=± 9/2`
`x_1=4,5; x_2=-4,5`
Ответ: 4,5
mathege
Уравнения нечетных степеней
Найдите корень уравнения `(x+3)^9=512`.
Решение:
-1
`(x+3)^9=512`
`x+3=2`
`x=2-3=-1`
Ответ: -1
Номер: F1A1A3
Дробно-рациональные
Найдите корень уравнения `1/(3x−1)=5`.
Решение:
0.4
`1/(3x−1)=5`
`1=5(3x−1)`
`1+5=15x`
`6=15x`
`x=6/15=2/5=2/5*2/2=4/10=0,4`
Ответ: 0,4
Номер: 29F491
Найдите корень уравнения `9/(x^2−16)=1`.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение:
5
`9/(x^2−16)=1`
`(x^2−16)=1*9`
`x^2=16+9=25`
`x_1=5; x_2=-5`
Ответ: 5
mathege
Найдите корень уравнения `(25x)/(x^2+24)=1`.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение:
24
`(25x)/(x^2+24)=1`
`x^2+24=25x`
`x^2-25x=24`
`x_1=1; x_2=24`
Ответ: 24
mathege
Найдите корень уравнения `x=(6x−15)/(x−2)`.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение:
5
`x=(6x−15)/(x−2)`
`x(x-2)=1(6x−15)`
`x^2-2x=6x−15`
`x^2-8x+15=0`
`x_1=3; x_2=5`
Ответ: 5
mathege
Найдите корень уравнения `(x+8)/(5x+7)=(x+8)/(7x+5)`.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.
Решение:
1
`(x+8)/(5x+7)=(x+8)/(7x+5)`
`7x^2+5x+56x+40=5x^2+7x+40x+56`
`2x^2+14x-16=0` :2
`x^2+7x-8=0`
`x_1=-8; x_2=1`
Ответ: 1
mathege
Иррациональные уравнения
Найдите корень уравнения `sqrt(28−2x)=2`.
Решение:
12
`sqrt(28−2x)=2`
возведем в квадрат обе части
`28−2x=4`
`24=2x`
`x=12`
Ответ: 12
Номер: D6D480
Найдите корень уравнения `root(3)(x+3)=5`.
Решение:
122
`root(3)(x+3)=5`
возведем в куб обе части
`x+3=125`
`x=122`
Ответ: 122
Номер: 0DAFF4
Решите уравнение `sqrt(40+3x)=x`.
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение:
8
`sqrt(40+3x)=x`
`x^2-3x-40=0`
`x_1=8; x_2=-5`
x=-5 не подходит, так как корень квадратный не может быть равен отрицательному числу
Ответ: 8
Номер: 22809B
Найдите корень уравнения `sqrt(−72−17x)=−x`.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение:
-9
`sqrt(−72−17x)=−x`
возведем в квадрат обе части уравнения
`-72-17x=(-x)^2`
`x^2+17x+72=0`
`x_1=-8; x_2=-9`
Ответ: -9
mathege
Логарифмические
Найдите корень уравнения `log_27 3^(5x+5)=2`.
Решение:
0,2
`log_27 3^(5x+5)=2`
`27^2=3^(5x+5)`
`(3^3)^2=3^(5x+5)`
`3^6=3^(5x+5)`
`6=5x+5`
`6-5=5x`
`1=5x`
`x=1/5=0,2`
Ответ: 0,2
Номер: C62378
Решите уравнение `log_(x−1) 81=2`.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
10
`log_(x−1) 81=2`
`(x−1)^2 = 81`
`x−1 = 9` или `x−1 = -9`
`x =10` `x =-8` не соответствует ОДЗ логарифма!
Ответ: 10
ЕГЭ 2017
Найдите корень уравнения `log_7(1−x)=log_7 5`.
Решение:
-4
`log_7(1−x)=log_7 5`
`1-x=5`
`1-5=x`
`x=-4`
Ответ: -4
Номер: 586EF2
Найдите корень уравнения `log_2(7−x)=5`.
Решение:
-25
`log_2(7−x)=5`
`2^5=7-x`
`32=7-x`
`x=7-32`
`x=-25`
Ответ: -25
Номер: 5CD57D
Найдите корень уравнения `lg(x+11)=1`.
Решение:
-1
`lg_10 (x+11)=1`
`10^1=x+11`
`10-11=x`
`x=-1`
Ответ: -1
Номер: A31BC8
Решите уравнение `log_x 32=5`.
Решение:
2
`log_x 32=5`
`x^5=32`
`x^5=2^5`
`x=2`
Ответ: 2
ЕГЭ 2019
Найдите корень уравнения `log_(1/7)(7−x)=−2`.
Решение:
-42
`log_(1/7)(7−x)=−2`
`(1/7)^-2=7-x`
`7^2=7-x`
`49=7-x`
`x = 7-49`
`x = -42`
Ответ: -42
mathege
Найдите корень уравнения `log_5(5−x)=2log_5 3`.
Решение:
-4
`log_5(5−x)=2log_5 3`
`log_5(5−x)=log_5 3^2`
`5−x=9`
`5−9=x`
`x=-4`
Ответ: -4
mathege
Найдите корень уравнения `log_5(7−x)=log_5(3−x)+1`.
Решение:
2
`log_5(7−x)=log_5(3−x)+1`
`log_5(7−x)=log_5(3−x)+log_5 5`
`log_5(7−x)=log_5(15−5x)`
`7−x=15−5x`
`5x−x=15−7`
`4x=8`
`x = 2`
Ответ: 2
mathege
Показательные уравнения
Найдите корень уравнения `7^(−6−x)=343`.
Решение:
-9
`7^(−6−x)=343`
`7^(−6−x)=7^3`
`−6−x=3`
`x=−6−3`
`x=−9`
Ответ: -9
Номер: 7377CE
Найдите корень уравнения `3^(2x−16)=1/81`.
Решение:
6
`3^(2x−16)=1/81`
`3^(2x−16)=1/(3^4)`
`3^(2x−16)=3^-4`
`2x−16=-4`
`2x=12`
`x=6`
Ответ: 6
Номер: A1ADF2
Найдите корень уравнения `36^(x−5)=1/6`.
Решение:
4.5
`36^(x−5)=1/6`
`(6^2)^(x−5)=1/6^1`
`6^(2x−10)=6^-1`
`2x−10=-1`
`2x=10-1`
`2x=9`
`x = 4,5`
Ответ: 4,5
Номер: 40B30A
Найдите корень уравнения `(1/2)^(x−6)=8^x`.
Решение:
1.5
`(1/2)^(x−6)=8^x`
`(1/2^1)^(x−6)=(2^3)^x`
`(2^-1)^(x−6)=2^(3x)`
`2^(-x+6)=2^(3x)`
`-x+6=3x`
`6=4x`
`x=1,5`
Ответ: 1,5
Номер: C36F5E
Найдите корень уравнения `3^(log_9(4x+1))=9`.
Решение:
20
`3^(log_9(4x+1))=9`
`3^(log_9(4x+1))=3^2`
`log_9(4x+1)=2`
`4x+1=9^2`
`4x=81-1`
`4x=80`
`x=20`
Ответ: 20
Номер: 036C77
Найдите корень уравнения `5^(log_25(2x−1))=3`.
Решение:
5
`5^(log_25(2x−1))=3`
`5^(log_25(2x−1))=5^(log_5 3)`
`log_25(2x−1)=log_5 3`
`log_(5^2)(2x−1)=log_5 3`
`1/2 log_5 (2x−1)=log_5 3`
`log_5 (2x−1)^1/2=log_5 3`
`(2x−1)^1/2= 3` *2
`2x−1= 9`
`2x= 10`
`x=5`
Ответ: 5
ЕГЭ 2013, 2016
Найдите корень уравнения `9^(2+5x)=1,8*5^(2+5x)`.
Решение:
-0.2
`9^(2+5x)=1,8*5^(2+5x)` :`5^(2+5x)`
`(9^(2+5x))/(5^(2+5x))=1,8`
`(9/5)^(2+5x)=(9/5)^1`
`2+5x=1`
`5x=-1`
`x=-1/5*2/2=-2/10=-0,2`
Ответ: -0,2
mathege
Тригонометрические
Найдите корень уравнения `sin(п(4x−3))/4=1`.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение:
-0.75
`sin(п(4x−3))/4=1`
`(п(4x−3))/4=(1п)/2+2пn`
`(4x−3)/4=1/2+2n`
`4x−3=2+8n`
`4x=5+8n`
`x=1,25+2n`
Если
n = 0, то x = 1,25
n = -1, то x = 1,25-2=-0.75
n = -2, то x = 1,25-4=-2,75
Ответ: -0,75
mathege
Найдите корень уравнения `sin(п(x−3))/4=sqrt2/2`.
В ответе запишите наименьший положительный корень.
Решение:
4
`sin(п(x−3))/4=sqrt2/2`
| `(п(x−3))/4=п/4+2пn` `(x−3)/4=1/4+2n` `x−3=1+8n` `x=4+8n` Если n = 0, то x = 4 n = -1, то x = -4 n = 1, то x = 12 |
`(п(x−3))/4=(3п)/4+2пn` `(x−3)/4=3/4+2n` `x−3=3+8n` `x=6+8n` Если n = 0, то x = 6 n = -1, то x = -2 n = 1, то x = 14 |
Ответ: 4
mathege
Найдите корень уравнения `cos(п(x−7))/3=1/2`.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение:
-4
`cos(п(x−7))/3=1/2`
| `(п(x−7))/3=п/3+2пn` `(x−7)/3=1/3+2n` `x−7=1+6n` `x=8+6n` Если n = 0, то x = 8 n = -1, то x = 2 n = -2, то x = -4 n = -3, то x = -10 |
`(п(x−7))/3=-п/3+2пn` `(x−7)/3=-1/3+2n` `x−7=-1+6n` `x=6+6n` Если n = 0, то x = 6 n = -1, то x = 0 n = -2, то x = -6 n = -3, то x = -12 |
Ответ: -4
mathege
Найдите корень уравнения `cos(п(x−7))/3=1/2`.
В ответе запишите наименьший положительный корень.
Решение:
2
`cos(п(x−7))/3=1/2`
| `(п(x−7))/3=п/3+2пn` `(x−7)/3=1/3+2n` `x−7=1+6n` `x=8+6n` Если n = 0, то x = 8 n = -1, то x = 2 n = -2, то x = -4 n = -3, то x = -10 |
`(п(x−7))/3=-п/3+2пn` `(x−7)/3=-1/3+2n` `x−7=-1+6n` `x=6+6n` Если n = 0, то x = 6 n = -1, то x = 0 n = -2, то x = -6 n = -3, то x = -12 |
Ответ: 2
mathege
Найдите корень уравнения `(tg(п(x+2)))/3=−sqrt3`.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение:
-3
`(tg(п(x+2)))/3=−sqrt3`
`(п(x+2))/3=−п/3 + пn`
`(x+2)=−1 + 3n`
`x=−3 + 3n`
Если
n = 0, то x = -3
n = -1, то x = -6
n = 1, то x = 0
Ответ: -3
mathege
Найдите корень уравнения `(tg(п(x+6)))/3=sqrt3`.
В ответе запишите наименьший положительный корень.
Решение:
1
`(tg(п(x+6)))/3=sqrt3`
`(x+6)/3=1/3+n`
`x+6=1+3n`
`x=-5+3n`
Если
n = 0, то x = -5
n = 1, то x = -2
n = 2, то x = 1
n = 3, то x = 4
Ответ: 1
mathege
2023-24 год
Впишите правильный ответ. Найдите корень уравнения `(1/7)^(x+4 )=49` .
Решение:
`(1/7)^(x+4 )=49`
`7^(-x-4 )=7^2`
`-x-4=2`
`x=-4-2`
`x=-6`
Ответ: -6
Номер: 4CBD4E
Впишите правильный ответ. Найдите корень уравнения `(1/6)^(x−3) =1/36`.
Решение:
`(1/6)^(x−3) =1/36`
`(1/6)^(x−3) =(1/6)^2`
`x−3=2`
`x=5`
Ответ: 5
Номер: B05656
Впишите правильный ответ. Найдите корень уравнения `3^(x + 6) =9^(2x)`.
Решение:
`3^(x + 6) =9^(2x)`
`3^(x + 6) =(3^2)^(2x)`
`3^(x + 6) =3^(4x)`
`x+6=4x`
`3x=6`
`x=2`
Ответ: 2
Номер: 19FBCF
Впишите правильный ответ. Найдите корень уравнения `(x+4)^3 =− 125`.
Решение:
`(x+4)^3 =− 125`
`(x+4)^3 =−5^3`
`x+4=−5`
`x=−9`
Ответ: -9
Номер: 885E9A
Найдите корень уравнения `1/(2x−5)=1/(4x+13)`.
Решение:
`1/(2x−5)=1/(4x+13)`
x≠5/2; x≠-13/4
можно приравнять знаменатели
`2x−5=4x+13`
`2x-4x=13+5`
`-2x=18`
`x=-9, подходит под ОДЗ
Ответ: -9
Номер: DA8C42
