1. В основании прямой призмы АВСDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=5  и ВС=3. Точка М делит ребро A₁D₁ в отношении A₁М :MD₁ = 2 : 3, а точка K – середина ребра DD₁.
a) Докажите, что плоскость МКС параллельна прямой BD.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью МКС и плоскостью основания призмы, если ∠МКС=90⁰ , ∠ADС =60⁰.

2. Дана прямая призма ABCA1B1C1, в основании которой лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP: PB = 3:1.
Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA₁ = 5, AB = 12, cos ∠ABС=3/5.

3. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP: PB =1:3, а точка Q– середина ребра A₁C₁. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро АС пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок A₁C₁, считая от точки А₁, если известно, что AB = AA₁ , AB: BC = 2:7

4. В основании прямой призмы АВСDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60⁰ при вершине А. На ребрах А₁В₁, В₁С₁ и ВС отмечены точки М, К и N соответственно так, что четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка М – середина ребра А₁В₁.
б) Найдите высоту призмы, если ее объем равен 16 и известно, что точка К делит ребро В₁С₁ в отношении В₁К : КС₁ = 1: 3

5. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка М является серединой ребра ВВ₁, а точка N – середина ребра А₁С₁. Плоскость α, параллельная прямым АМ и B₁N,
проходит через середину отрезка MN.
a) Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B₁M.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α , если все ребра призмы имеют длину 4.