Среди задач на вычисление площади параллелограмма из открытого банка ФИПИ есть и е, на которые достаточно краткого ответа, и с развернутым ответом. И те, и другие, перед вами. Любое из них может вам попасться на экзамене в этом году.
Вспоминаем, что площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+7) * 4 = 40
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 40
E8FC9F
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+4) * 4 = 28
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 28
5AEBBA
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+2) * 4 = 20
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 20
460490
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+8) * 4 = 44
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 44
29D63A
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+3) * 5 = 75
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 75
D97D85
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+5) * 12 = 96
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 96
B08979
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+8) * 5 = 100
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 100
956EDE
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (5+5) * 12 = 120
Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.
Ответ: 120
66228A
Задания второй части ОГЭ с развернутым ответом
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{25-9}$ = 4
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 4.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{4+4+2BM+2MC}2\ast3=3\ast(4+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(3+4)\ast(BM+MC)=7\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{7\ast(BM+MC)}2=3\;\ast\;(\;4\;+\;B\;M\;+\;M\;C)\\7\ast(BM+MC)\;=\;6\;\ast\;(\;4\;+\;B\;M\;+\;M\;C)\\7\ast(BM+MC)\;=\;24\;+\;6\;\ast\;(B\;M\;+\;M\;C)\\7\ast(BM+MC)\;-\;6\;\ast\;(B\;M\;+\;M\;C)\;=\;24\\B\;M\;+\;M\;C\;=\;24\\\\\\$
То есть основание BC = 24.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(3+4)*24=168
Ответ: 168
701E1F
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{169-25}$ = 12
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{12+12+2BM+2MC}2\ast5=5\ast(12+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(6+5)\ast(BM+MC)=11\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{11\ast(BM+MC)}2=5\ast(12+BM+MC)\\11\ast(BM+MC)\;=\;10\ast(12+BM+MC)\\11\ast(BM+MC)\;=\;120\;+\;10\ast(BM+MC)\\11\ast(BM+MC)\;-\;10\;(BM+MC)\;=\;120\\B\;M+M\;C\;=\;120\\\\\\$
То есть основание BC = 120.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+6)*120=1320
Ответ: 1320
B520E8
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{169-25}$ = 12
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{12+12+2BM+2MC}2\ast5=5\ast(12+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(7+5)\ast(BM+MC)=12\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{12\ast(BM+MC)}2=5\ast(12+BM+MC)\\12\ast(BM+MC)\;=\;10\ast(12+BM+MC)\\12\ast(BM+MC)\;=\;120\;+\;10\ast(BM+MC)\\12\ast(BM+MC)\;-\;10\;(BM+MC)\;=\;120\\2\ast(BM+MC)\;=\;120\\BM+MC\;=\;60\\\\\\\\$
То есть основание BC = 60.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(7+5)*60=720
Ответ: 720
7AFAA8
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{169-25}$ = 12
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{12+12+2BM+2MC}2\ast5=5\ast(12+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(8+5)\ast(BM+MC)=13\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{13\ast(BM+MC)}2=5\ast(12+BM+MC)\\13\ast(BM+MC)\;=\;10\ast(12+BM+MC)\\13\ast(BM+MC)\;=\;120\;+\;10\ast(BM+MC)\\13\ast(BM+MC)\;-\;10\;(BM+MC)\;=\;120\\3\ast(BM+MC)\;=\;120\\BM+MC\;=\;40\\\\\\\\$
То есть основание BC = 40.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+8)*40=520
Ответ: 520
15838B
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{169-25}$ = 12
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{12+12+2BM+2MC}2\ast5=5\ast(12+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(9+5)\ast(BM+MC)=14\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{14\ast(BM+MC)}2=5\ast(12+BM+MC)\\14\ast(BM+MC)\;=\;10\ast(12+BM+MC)\\14\ast(BM+MC)\;=\;120\;+\;10\ast(BM+MC)\\14\ast(BM+MC)\;-\;10\;(BM+MC)\;=\;120\\4\ast(BM+MC)\;=\;120\\BM+MC\;=\;30\\\\\\\\$
То есть основание BC = 30.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+9)*30=420
Ответ: 420
221DAD
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{625-49}$ = 24
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{24+24+2BM+2MC}2\ast7=7\ast(24+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(13+7)\ast(BM+MC)=20\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{20\ast(BM+MC)}2=7\ast(24+BM+MC)\\20\ast(BM+MC)\;=\;14\ast(24+BM+MC)\\20\ast(BM+MC)\;=\;336\;+\;14\ast(BM+MC)\\20\ast(BM+MC)\;-\;14\;(BM+MC)\;=\;336\\6\ast(BM+MC)\;=\;336\\BM+MC\;=\;56\\\\\\\\$
То есть основание BC = 56.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(13+7)*56=1120
Ответ: 1120
716CE8
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{625-49}$ = 24
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{24+24+2BM+2MC}2\ast7=7\ast(24+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(14+7)\ast(BM+MC)=21\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{21\ast(BM+MC)}2=7\ast(24+BM+MC)\\21\ast(BM+MC)\;=\;14\ast(24+BM+MC)\\21\ast(BM+MC)\;=\;336\;+\;14\ast(BM+MC)\\21\ast(BM+MC)\;-\;14\;(BM+MC)\;=\;336\\7\ast(BM+MC)\;=\;336\\BM+MC\;=\;48\\\\\\\\$
То есть основание BC = 48.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(14+7)*48=1008
Ответ: 1008
A4192E
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{625-49}$ = 24
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{24+24+2BM+2MC}2\ast7=7\ast(24+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(15+7)\ast(BM+MC)=22\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{22\ast(BM+MC)}2=7\ast(24+BM+MC)\\22\ast(BM+MC)\;=\;14\ast(24+BM+MC)\\22\ast(BM+MC)\;=\;336\;+\;14\ast(BM+MC)\\22\ast(BM+MC)\;-\;14\;(BM+MC)\;=\;336\\8\ast(BM+MC)\;=\;336\\BM+MC\;=\;42\\\\\\\\$
То есть основание BC = 42.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(15+7)*42=924
Ответ: 924
2E555E
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{625-49}$ = 24
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{24+24+2BM+2MC}2\ast7=7\ast(24+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(17+7)\ast(BM+MC)=24\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{24\ast(BM+MC)}2=7\ast(24+BM+MC)\\24\ast(BM+MC)\;=\;14\ast(24+BM+MC)\\24\ast(BM+MC)\;=\;336\;+\;14\ast(BM+MC)\\24\ast(BM+MC)\;-\;14\;(BM+MC)\;=\;336\\10\ast(BM+MC)\;=\;336\\BM+MC\;=\;33,6\\\\\\\\$
То есть основание BC = 33,6.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(17+7)*33,6=806,4
Ответ: 806,4
DFC86B
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:
AK=$\sqrt{AO^2+ОК^2}=\;\sqrt{625-49}$ = 24
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
$Sabc=\frac{AB+BC+CA}2\ast OK=\frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2\ast OK=\frac{24+24+2BM+2MC}2\ast7=7\ast(24+BM+MC)$
* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
$Sabcd=MH\ast BC=(MO+OH)\ast(BM+MC)=(19+7)\ast(BM+MC)=26\ast(BM+MC)$
Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:
$\frac{26\ast(BM+MC)}2=7\ast(24+BM+MC)\\26\ast(BM+MC)\;=\;14\ast(24+BM+MC)\\26\ast(BM+MC)\;=\;336\;+\;14\ast(BM+MC)\\26\ast(BM+MC)\;-\;14\;(BM+MC)\;=\;336\\12\ast(BM+MC)\;=\;336\\BM+MC\;=28\\\\\\\\$
То есть основание BC = 28.
Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(19+7)*28=728
Ответ: 728
1D6569
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=7.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=7.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(7+7)=19*14=266.
Ответ: 266
97C87B
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=3.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=3.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =11*(3+3)=11*6=66.
Ответ: 66
F8A0E6
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=9.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=9.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =12*(9+9)=12*18=216.
Ответ: 216
67503F
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=10.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=10.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(10+10)=19*20=380.
Ответ: 380
D60F99
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=10.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=10.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =17*(10+10)=17*20=340.
Ответ: 340.
B435D4
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=1.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=1.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =18*(1+1)=18*2=36.
Ответ: 36
E097F7
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=4.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=4.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =7*(4+4)=7*8=56.
Ответ: 56
80A169
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=8.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=8.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =2*(8+8)=2*16=32.
Ответ: 32
569075
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=6.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=6.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =6*(6+6)=6*12=72.
Ответ: 72
FD6657
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК — биссектриса угла А. Во-вторых, сторона AK — общая. Тогда KN=KH=1.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=1.
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.
Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:
S=AD*MN=AD*(MK + KN) =2*(1+1)=2*2=4.
Ответ: 4
A7594E
