Среди заданий на нахождение площади трапеции есть те, которые требуют развернутого решения, и те, для которых достаточно в ответе лишь числа. Рассмотрим их типы, имеющиеся в открытом банке заданий ФИПИ. Любое из заданий ниже может вам попасться на ОГЭ по математике в этом году в разделе геометрии.
Вспоминаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
$S=\frac{a+b}2\ast h$
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
Основания трапеции равны 4 и 10, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{4+10}2\ast5=35$
Ответ: 35
3E05A1
Основания трапеции равны 3 и 5, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{3+5}2\ast9=36$
Ответ: 36
FB21B9
Основания трапеции равны 4 и 12, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{4+12}2\ast6=48$
Ответ: 48
DC3C24
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{7+11}2\ast7=63$
Ответ: 63
A3751A
Основания трапеции равны 2 и 4, а высота равна 11. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{2+4}2\ast11=33$
Ответ: 33
6839CB
Основания трапеции равны 6 и 14, а высота равна 8. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{6+14}2\ast8=80$
Ответ: 80
822BB2
Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{7+19}2\ast6=78$
Ответ: 78
F70300
Основания трапеции равны 8 и 14, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{8+14}2\ast5=55$
Ответ: 55
444775
Основания трапеции равны 5 и 13, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{5+13}2\ast9=81$
Ответ: 81
39FB77
Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{13+23}2\ast5=90$
Ответ: 90
FEC9A6
Площадь параллелограмма ABCD равна 180. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение 2-мя способами:
1 способ
Так как ABCD - параллелограмм, то AВ = CD.
Пусть точка К - середина стороны CD.
Так как по условию точка Е - середина стороны АВ, то
AE = BE = DK = KC .
ВС = АD = ЕК (средняя линия)
∠В = ∠АЕК - соответственные углы
∠В = ∠D - противолежащие углы параллелограмма
∠D = ∠ЕКС - соответственные ⇒
отрезки AK, KE и EC разбивают параллелограмм на 4 равновеликих треугольника (по двум сторонам и углу между ними) ⇒
SDAK = SАКЕ = SКЕС = SВСЕ = 180 / 4 = 45
Площадь трапеции состоит из трёх равновеликих треугольников ⇒
SDAEC = 45 * 3 = 135 кв.ед.
Ответ: 135
Лайфхак для быстрого решения: площадь параллелограмма разделим на 4 и умножим на 3
Sтрапеции = Sпаралл. : 4 * 3
2 способ
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 180 / 2 = 90.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 90 / 2 = 45. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 180 - 45 = 135.
Ответ: 135
40519C
Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 60 / 2 = 30.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 30 / 2 = 15. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 60 - 15 = 45.
Ответ: 45
41DF2E
Площадь параллелограмма ABCD равна 32. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 32 / 2 = 16.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 16 / 2 = 8. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 32 - 8 = 24.
Ответ: 24
FD1877
Площадь параллелограмма ABCD равна 76. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 76 / 2 = 38.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 38 / 2 = 19. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 76 - 19 = 57.
Ответ: 57
87D35B
Площадь параллелограмма ABCD равна 96. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 96 / 2 = 48.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 48 / 2 = 24. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 96 - 24 = 72.
Ответ: 72
EFCEB8
Площадь параллелограмма ABCD равна 104. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 104 / 2 = 52.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 52 / 2 = 26. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 104 - 26 = 78.
Ответ: 78
5A41E8
Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 92 / 2 = 46.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 46 / 2 = 23. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 92 - 23 = 69.
Ответ: 69
CE80A9
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 132 / 2 = 66.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 66 / 2 = 33. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 132 - 33 = 99.
Ответ: 99
0D5AAC
Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 28 / 2 = 14.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 14 / 2 = 7. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 28 - 7 = 21.
Ответ: 21
9CE80E
Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 128 / 2 = 64.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 64 / 2 = 32. Следовательно,
SAECD = SABCD - SCDE = 128 - 32 = 96.
Ответ: 96
18E5DD
С подобным рисунком есть задачи и на нахождение площади второй части параллелограмма - треугольника. Их решение можно посмотреть в статье "Найдите площадь треугольника", но на эту страничку тоже продублируем:
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 132 / 2 = 66.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 66 / 2 = 33
Ответ: 33
9A5992
Площадь параллелограмма ABCD равна 68. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 68 / 2 = 34.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 34 / 2 = 17
Ответ: 17
795F61
Площадь параллелограмма ABCD равна 44. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 44 / 2 = 22.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 22 / 2 = 11
Ответ: 11
1ABE2A
Площадь параллелограмма ABCD равна 84. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 84 / 2 = 42.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 42 / 2 = 21
Ответ: 21
A6BEE2
Площадь параллелограмма ABCD равна 196. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 196 / 2 = 98.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 98 / 2 = 49
Ответ: 49
ADA977
Площадь параллелограмма ABCD равна 112. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 112 / 2 = 56.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 56 / 2 = 28
Ответ: 28
4DB6C1
Площадь параллелограмма ABCD равна 104. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 104 / 2 = 52.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 52 / 2 = 26
Ответ: 26
CDB192
Площадь параллелограмма ABCD равна 148. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 148 / 2 = 74.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 74 / 2 = 37
Ответ: 37
E2BFC0
Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 140 / 2 = 70.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 70 / 2 = 35
Ответ: 35
20E710
Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
Решение:
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
SACВ= 136 / 2 = 68.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
SCВE = 1/2 SACВ = 68 / 2 = 34
Ответ: 34
2373D8
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.
Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (8 - 2) / 2 = 3
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 3
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
SАВСD = (2 + 8) : 2 * 3 = 15
Ответ: 15
AC6781
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.
Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 1
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
SАВСD = (3 + 5) : 2 * 1 = 4
Ответ: 4
A002C2
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.
Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (8 - 4) / 2 = 2
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 2
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
SАВСD = (4 + 8) : 2 * 2 = 12
Ответ: 12
03F9DB
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.
Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (9 - 3) / 2 = 3
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 3
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
SАВСD = (3 + 9) : 2 * 3 = 18
Ответ: 18
D2652B
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.
Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (7 - 3) / 2 = 2
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 2
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
SАВСD = (3 + 7) : 2 * 2 = 10
Ответ: 10
1CEEC4
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.
Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 2
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
SАВСD = (2 + 6) : 2 * 2 = 8
Ответ: 8
24CEEC
Задания второй части ОГЭ с развернутым ответом
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK будут равны как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CDK — равнобедренный:
KC = CD = 41.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 41 - 16 = 25.
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 25
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD = AD - BC = 25 - 16 = 9
По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP=AB=40
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=412-92
CP=√(1681-81)=√ 1600=40
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 25, 16 и высота 40. Можем найти площадь трапеции:
$S_{BCAD}=\frac{BC+AD}2\ast CP=\frac{25+16}2\ast40=\frac{41}2\ast40=20,5\ast20=820$
Ответ: 820
0A23B5
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK будут равны как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CDK — равнобедренный:
KC = CD = 25.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 25 - 9 = 16.
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 16
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=16-9=7По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 24
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=252-72
CP=√ (625-49)=√ 576=24
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 9, 16 и высота 24. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{9+16}2\ast24=\frac{25}2\ast24=12.5\ast24=300$
Ответ: 300
954230
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=26.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 26 - 1 = 25
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 25
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=25-1=24По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 10
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=262-242
CP=√ (676-576)=√ 100=10
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 1, 25 и высота 10. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{1+25}2\ast10=\frac{26}2\ast10=13\ast10=130$
Ответ: 130
096495
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=29.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 29 - 4 = 25
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 25
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=25-4=21По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 20
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=292-212
CP=√ (841-576)=√ 400=20
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 4, 25 и высота 20. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{4+25}2\ast20=\frac{29}2\ast20=14.5\ast20=290$
Ответ: 290
5AF0E1
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 10, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=10.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 10 - 1 = 9
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 9
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=9-1=8По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 6
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=102-82
CP=√ (100-64)=√ 36=6
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 1, 8 и высота 6. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{1+8}2\ast6=\frac{9}2\ast6=4.5\ast6=27$
Ответ: 27
7E8F98
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=13.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 13 - 4 = 9
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 9
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=9-4=5По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 12
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=132-52
CP=√ (169-25)=√ 144=12
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 4, 9 и высота 12. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{4+9}2\ast12=\frac{13}2\ast12=6.5\ast12=78$
Ответ: 78
D9CD8D
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=34.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 34 - 2 = 32
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 32
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=32-2=30По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 16
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=342-302
CP=√ (1156-900)=√ 256=16
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 4, 9 и высота 12. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{2+32}2\ast16=\frac{34}2\ast16=17\ast16=272$
Ответ: 272
3FECDD
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC = CD = 5.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 5 - 1 = 4
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 4
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=4-1=3По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 4
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=52-32
CP=√ (25-9)=√ 16=4
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 1, 3 и высота 4. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{1+3}2\ast4=\frac{4}2\ast4=2\ast4=8$
Ответ: 8
F8F38E
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=35.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 35 - 7 = 28
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 28
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=28-7=21По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 28
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=352-212
CP=√ (1225-441)=√ 784=28
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 28, 7 и высота 28. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{7+28}2\ast28=\frac{35}2\ast28=17.5\ast28=490$
Ответ: 490
9CA354
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису и отрезок BC до пересечения в точке K. При этом углы CKD и ADK (BKM = MDA) будут равны, как накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). Из равенства этих углов следует, что треугольник треугольник CKD — равнобедренный:
KC=CD=10.
Найдём KB, вычитая известное основание из известной стороны по условиям задачи:
KB = KC - BC = 10 - 2 = 8
Рассмотрим треугольники KMB и AMD. Углы KMB и AMD равны как вертикальные; углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AM=BM по условию. Значит, эти треугольники равны по стороне и 2-м прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). Отсюда
AD = KB = 8
Проведем отрезок CP от одного основания к другому параллельно BA. Получится, что BC = AP, из этого мы сможем найти отрезок PD:
PD=AD-BC=8-2=6По построению BCPA - параллелограмм, значит
CP = AB = 8
Теперь, если бы треугольник CPD был бы прямоугольным, то по теореме Пифагора было бы верно утверждение CD2=PD2+CP2
Подставим известные нам значения для PD и СD:
CP2=CD2-PD2
CP2=102-62
CP=√ (100-36)=√ 64=8
Получившееся значение CP равно AB, значит для треугольника CPD действует теорема Пифагора и он прямоугольный. То есть CP является высотой трапеции.
В итоге нам известны основания 8, 2 и высота 8. Можем найти площадь трапеции:
$\;S_{BCAD}=\frac{2+8}2\ast8=\frac{10}2\ast8=5\ast8=40$
Ответ: 40
8D9E03
