Задания про диагонали четырехугольников из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
Сторона квадрата равна 7√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 7√2 = 7 * 2 = 14
Ответ: 14
40DFD2
Сторона квадрата равна 3√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 3√2 = 3 * 2 = 6
Ответ: 6
8C5C72
Сторона квадрата равна 2√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 2√2 = 2 * 2 = 4
Ответ: 4
D9A2FF
Сторона квадрата равна 10√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 10√2 = 10 * 2 = 20
Ответ: 20
2E2E14
Сторона квадрата равна 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 4√2 = 4 * 2 = 8
Ответ: 8
33F1C7
Сторона квадрата равна 5√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 5√2 = 5 * 2 = 10
Ответ: 10
55322A
Сторона квадрата равна 11√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 11√2 = 11 * 2 = 22
Ответ: 22
FA194C
Сторона квадрата равна 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 8√2 = 8 * 2 = 16
Ответ: 16
72FCEC
Сторона квадрата равна 9√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 9√2 = 9 * 2 = 18
Ответ: 18
C3668A
Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение:
Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
b = a ⇒ с2 = 2а2
с = √2 * а
с = √2 * 6√2 = 6 * 2 = 12
Ответ: 12
F9EB9A
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=12, BD=20, AB=7. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 20/2 = 10
Ответ: 10
FF47FC
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=10, BD=22, AB=9. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 22/2 = 11
Ответ: 11
2E3469
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=14, BD=18, AB=5. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 18/2 = 9
Ответ: 9
99F180
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=16, BD=20, AB=5. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 20/2 = 10
Ответ: 10
8D3F15
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=22, BD=24, AB=3. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 24/2 = 12
Ответ: 12
F77141
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=20, BD=26, AB=8. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 26/2 = 13
Ответ: 13
F499CB
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=8, BD=14, AB=5. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 14/2 = 7
Ответ: 7
5CB1D4
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=6, BD=12, AB=4. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 12/2 = 6
Ответ: 6
111C58
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=24, BD=28, AB=6. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 28/2 = 14
Ответ: 14
F609D2
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=26, BD=30, AB=7. Найдите DO.
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 30/2 = 15
Ответ: 15
EF6511
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=7, AB=6. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 7 = 14
Ответ: 14
465856
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=8, AB=9. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 8 = 16
Ответ: 16
A9A357
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=11, AB=10. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 11 = 22
Ответ: 22
65D688
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=13, AB=11. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 13 = 26
Ответ: 26
6C9A50
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=15, AB=14. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 15 = 30
Ответ: 30
CA2EEA
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=17, AB=16. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 17 = 34
Ответ: 34
1DF080
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=23, AB=26. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 23 = 46
Ответ: 46
10AB30
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=12, AB=18. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 12 = 24
Ответ: 24
FDEE8C
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=37, AB=56. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 37 = 74
Ответ: 74
4E7064
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=24, AB=45. Найдите AC.
Решение:
Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 24 = 48
Ответ: 48
7F3322
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=3, AD=7, AC=20. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac73$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 7:3, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 7+3=10 равных частей, 7 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 20/10 * 7 = 14
Ответ: 14
2 способ
Рассмотрим треугольники AOD и BOC.
По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых.
Тогда: ∠DAO=∠BCO (накрест лежащие углы), ∠AOD=∠BOC (вертикальные углы).
Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Следовательно, можем записать пропорцию:
AD/BC=AO/OC
7/3=AO/OC
7*OC=3*AO
При этом
AO+OC=AC=20
OC=20-AO,
подставляем это равенство в ранее полученную пропорцию:
7*(20-AO)=3*AO
140-7*AO=3*AO
140=7*AO+3*AO
140=10*AO
AO=140/10=14
Ответ: 14
69759E
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=3, AD=5, AC=24. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac53$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 5:3, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 5+3=8 равных частей, 5 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 24/8 * 5 = 15
Ответ: 15
4534C9
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=4, AD=9, AC=26. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac94$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 9:4, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 9+4=13 равных частей, 9 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 26/13 * 9 = 18
Ответ: 18
A39540
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=2, AD=5, AC=28. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac52$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 5:2, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 5+2=7 равных частей, 5 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 28/7 * 5 = 20
Ответ: 20
A2BB9D
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=7, AD=9, AC=32. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac97$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 9:7, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 9+7=16 равных частей, 9 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 32/16 * 9 = 18
Ответ: 18
CB2FC8
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=5, AD=7, AC=36. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac75$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 7:5, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 7+5=12 равных частей, 7 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 36/12 * 7 = 21
Ответ: 21
7A27E8
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=2, AD=8, AC=40. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac82$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 8:2, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 8+2=10 равных частей, 8 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 40/10 * 8 = 32
Ответ: 32
7C7BEB
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=10, AD=14, AC=48. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac{14}{10}$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 14:10, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 14+10=24 равных части, 14 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 48/24 * 14 = 28
Ответ: 28
4CF71D
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=11, AD=15, AC=52. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac{15}{11}$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 15:11, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 15+11=26 равных частей, 15 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 52/26 * 15 = 30
Ответ: 30
30220A
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=6, AD=13, AC=38. Найдите AO.
Решение:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac{13}{6}$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 13:6, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 13+6=19 равных части, 13 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 38/19 * 13 = 26
Ответ: 26
B4A79A
Задания с развернутым решением, 2-я часть ОГЭ
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{120}4=30$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\540=\frac{60}2\ast BF\\BF=\frac{540}{30}=18$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$30^2=18^2+AF\\AF^2=30^2-18^2\\AF=\sqrt{30^2-18^2}\\AF=\sqrt{900-324}\\AF=\sqrt{576}\\AF=24$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
60=2BC+2AF
60=2BC+2*24
2BC=60-48
BC=12/2
BC=6
Тогда AD=2*24+6=54
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac6{54}=\frac19$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac19$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 10 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 9 частей - OH.
ОЕ = 18 : 10 = 1,8
Ответ: 1,8
22C756
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{200}4=50$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\1500=\frac{100}2\ast BF\\BF=\frac{1500}{50}=30$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$50^2=30^2+AF\\AF^2=50^2-30^2\\AF=\sqrt{50^2-30^2}\\AF=\sqrt{2500-900}\\AF=\sqrt{1600}\\AF=40\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
100=2BC+2AF
100=2BC+2*40
2BC=100-80
BC=20/2
BC=10
Тогда AD=2*40+10=90
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac{10}{90}=\frac19$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac19$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 10 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 9 частей - OH.
30:10=3
Ответ: 3
277E5E
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{80}4=20$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\320=\frac{40}2\ast BF\\BF=\frac{320}{20}=16$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$20^2=16^2+AF\\AF^2=20^2-16^2\\AF=\sqrt{20^2-16^2}\\AF=\sqrt{400-256}\\AF=\sqrt{144}\\AF=12\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
40=2BC+2AF
40=2BC+2*12
2BC=40-24
BC=16/2
BC=8
тогда AD=2*12+8=32
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac8{32}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
16:5=3,2
Ответ: 3,2
418268
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{220}4=55$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\2420=\frac{110}2\ast BF\\BF=\frac{2420}{55}=44$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$55^2=44^2+AF\\AF^2=55^2-44^2\\AF=\sqrt{55^2-44^2}\\AF=\sqrt{3025-1936}\\AF=\sqrt{1089}\\AF=33\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
110=2BC+2AF
110=2BC+2*33
2BC=110-66
BC=44/2
BC=22
тогда AD=2*33+22=88
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac{22}{88}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
44:5=8.8
Ответ: 8.8
B706A4
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{40}4=10$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\80=\frac{20}2\ast BF\\BF=\frac{80}{10}=8$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$10^2=8^2+AF\\AF^2=10^2-8^2\\AF=\sqrt{10^2-8^2}\\AF=\sqrt{100-64}\\AF=\sqrt{36}\\AF=6\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
20=2BC+2AF
20=2BC+2*6
2BC=20-12
BC=8/2
BC=4
тогда AD=2*6+4=16
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac4{16}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
8:5=1.6
Ответ: 1.6
F311D0
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{180}4=45$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\1620=\frac{90}2\ast BF\\BF=\frac{1620}{45}=36$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$45^2=36^2+AF\\AF^2=45^2-36^2\\AF=\sqrt{45^2-36^2}\\AF=\sqrt{2025-1296}\\AF=\sqrt{729}\\AF=27\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
90=2BC+2AF
90=2BC+2*27
2BC=90-54
BC=36/2
BC=18
тогда AD=2*27+18=72
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac{18}{72}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
36:5=7.2
Ответ: 7.2
1EE527
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{100}4=25$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\500=\frac{50}2\ast BF\\BF=\frac{500}{25}=20$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$25^2=20^2+AF\\AF^2=25^2-20^2\\AF=\sqrt{25^2-20^2}\\AF=\sqrt{625-400}\\AF=\sqrt{225}\\AF=15\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
50=2BC+2AF
50=2BC+2*15
2BC=50-30
BC=20/2
BC=10
тогда AD=2*15+10=40
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac{10}{40}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
20:5=4
Ответ: 4
AA39FE
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{20}4=5$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\20=\frac{10}2\ast BF\\BF=\frac{20}{5}=4$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$5^2=4^2+AF\\AF^2=5^2-4^2\\AF=\sqrt{25^2-4^2}\\AF=\sqrt{25-16}\\AF=\sqrt{9}\\AF=3\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
10=2BC+2AF
10=2BC+2*3
2BC=10-6
BC=4/2
BC=2
тогда AD=2*3+2=8
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac28=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
4:5=0.8
Ответ: 0.8
9FFCAD
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{160}4=40$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\1280=\frac{80}2\ast BF\\BF=\frac{1280}{40}=32$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$40^2=32^2+AF\\AF^2=40^2-32^2\\AF=\sqrt{40^2-32^2}\\AF=\sqrt{1600-1024}\\AF=\sqrt{576}\\AF=24\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
80=2BC+2AF
80=2BC+2*24
2BC=80-48
BC=32/2
BC=16
тогда AD=2*24+16=64
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac{16}{64}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
32:5=6.4
Ответ: 6.4
23E631
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение:
Из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность, мы знаем, что её противолежащие стороны в сумме равны, то есть:
BC + AD = AB + CD
Так как наша трапеция равнобедренная, то AB = CD.
AB + CD = AB + AB = P : 2
$AB=\frac{P}4=\frac{200}4=50$
Площадь трапеции можно найти как сумму оснований, умноженную на высоту. Зная, что основания BC и AD равны половине периметра, и зная площадь из условия, можем найти высоту:
$S=\frac{BC+AD}2\ast BF\\2000=\frac{100}2\ast BF\\BF=\frac{2000}{50}=40$
Высоту BF мы провели из точки B, перпендикулярно основаниям, а тем самым образовав прямоугольный треугольник ABF. Причем мы знаем значение двух сторон в этом треугольнике - AB и BF. Значит, можем узнать по теореме Пифагора и значение третьей стороны:
AB2=BF2+AF2
$50^2=40^2+AF\\AF^2=50^2-40^2\\AF=\sqrt{50^2-40^2}\\AF=\sqrt{2500-1600}\\AF=\sqrt{900}\\AF=30\\\\$
Теперь можем найти неизвестные основания трапеции. Исходя из того, что эти неизвестные основания являются половиной периметра и из формулы P/2=2BC+2AG, так как если провести высоту из точки С, то получим два равных треугольника ABF и GCD (по двум сторонам и углу между ними). В итоге:
100=2BC+2AF
100=2BC+2*30
2BC=100-60
BC=40/2
BC=20
тогда AD=2*30+20=80
Рассмотрим треугольники BCO и AOD.
∠BCO=∠OAD и ∠CBO=∠ODA - как накрест лежащие при параллельных прямых
∠BOC=∠AOD - вертикальные
Эти треугольники подобны по двум углам (1-й признак подобия треугольников)
Следовательно, их высоты соотносятся между собой также, как соответственные стороны:
$\frac{BC}{AD}=\frac{20}{80}=\frac14$ значит
$\frac{ОЕ}{OH}=\frac14$
Высота EH, которая является одновременно и высотами треугольников, состоит из 5 частей, где 1 часть это ОЕ, отрезок который нам надо найти и 4 части - OH.
40:5=8
Ответ: 8
51A343
