Задания типа "найдите сторону треугольника/трапеции по двум углам и стороне" из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, которые могут попасться вам на реальном экзамене в этом году.

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=6√2. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{6\sqrt2}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac12=\frac{6\cancel{\sqrt2\ast2}}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=6$

Ответ: 6

259003

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=8√2. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{8\sqrt2}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac12=\frac{8\cancel{\sqrt2\ast2}}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=8$

Ответ: 8

ED3166

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=3√6. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{3\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{3\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=3\ast3=9$

Ответ: 9

77738E

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=4√6. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{4\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{4\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=4\ast3=12$

Ответ: 12

CF68F7

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC=6√6. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{6\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{6\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=6\ast3=18$

Ответ: 18

37EFD3

В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=5√6. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{5\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{5\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt2}\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel{\sqrt3}\ast\cancel2}=5\ast2=10$

Ответ: 10

A12702

В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=7√6. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{7\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{7\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt2}\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel{\sqrt3}\ast\cancel2}=7\ast2=14$

Ответ: 14

358C45

В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=11√2. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{11\sqrt2}{\displaystyle\frac12}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{11\sqrt2\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel2}=11\ast2=22$

Ответ: 22

1EC0C4

В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=8√2. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{8\sqrt2}{\displaystyle\frac12}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{8\sqrt2\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel2}=8\ast2=16$

Ответ: 16

A1BB3A



В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=10√2. Найдите AC.

Решение:

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ВС/sinA * sinB 

$АС=\frac{10\sqrt2}{\displaystyle\frac12}\ast\frac{\sqrt2}2=\frac{10\sqrt2\ast\cancel2\ast\sqrt2}{\cancel2}=10\ast2=20$

Ответ: 20

2BB84C

 

Задания с развернутым ответом

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD=26.

Решение:



Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.

Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD

∠CDH=180°-150°=30°

Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH

CH=sinCDH*CD
CH=sin30*26
$CH=32\ast\frac12=16$

Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:

BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
AB=16/sin45
$AB=\frac{16}{\sin45}=\;\frac{16}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=\frac{16\ast\sqrt2\ast\sqrt2}{\sqrt2}=16\ast\sqrt2$

Ответ: 16*√2

705153

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.

Решение:



Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.

Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD

∠CDH=180°-120°=60°

Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH

CH=sinCDH*CD
CH=sin60*25
$CH=\sin60\ast25\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast25=12,5\sqrt3\\$

Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:

BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{12,5\sqrt3}{\sin30}=\;\frac{12,5\sqrt3}{\displaystyle\frac12}=25\sqrt3$

Ответ: 25*√3

92214F

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=40.

Решение:



Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.

Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD

∠CDH=180°-120°=60°

Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH

CH=sinCDH*CD
CH=sin60*40
$CH=\sin60\ast40\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast40=20\sqrt3\\$

Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:

BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{20\sqrt3}{\sin45}=\;\frac{20\sqrt3}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=20\sqrt3\sqrt2=20\sqrt6$

Ответ: 20*√6

EE99B1

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=34.

Решение:



Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.

Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD

∠CDH=180°-120°=60°

Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH

CH=sinCDH*CD
CH=sin60*34
$CH=\sin60\ast34\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast34=17\sqrt3\\$

Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:

BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{17\sqrt3}{\sin45}=\;\frac{17\sqrt3}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=17\sqrt3\sqrt2=17\sqrt6$

Ответ: 17*√6

D4D0BC