В открытом банке заданий ФИПИ есть задачи на нахождение средней скорости движения автомобиля. В этих задачах ученики допускают больше всего ошибок.

Типичные ошибки в задачах:

- ! Находят среднюю скорость движения как среднее арифметическое двух скоростей ( Vср. = 𝑉1+𝑉2 / 2 );
- Решают задачу на среднюю скорость, рассматривая только частные случаи (придают величине пути всевозможные значения -1 км., или 108 км.);
- Приписывают единицы измерения, не соответствующие данным величинам;
- Забывают записывать единицы измерения к введенным значениям;
- Допускают записи вида: составим уравнение, а сами составляют выражения и их преобразования, неоднократно используют при этом знак равенства;
- Не вводят переменные величины, а используют при составлении уравнений;
- Не показано как составлено уравнение (формула)
- Путают понятия скорости и времени движения;
- Допускают вычислительные ошибки;
- Записывают ответ, используя приближения (≈);
- Используют формулу для нахождения средней скорости без ее вывода;
- Отсутствие краткой записи к решению задачи, и таблицы, и обоснований, решение задачи выглядит как столбик примеров без каких бы то ни было пояснений;
- Использование неравносильных преобразований при решении уравнений.

Как решать и оформлять задания на нахождение средней скорости

Решение должно быть полностью логически обосновано с начала до конца.

Если задача решается через х - пишите, что принимаете за х, какие еще будут составляющие с неизвестными.

Если решаете через формулу средней скорости, обязательно сначала нужно ее вывести следующим образом.

Пример. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение через формулу пути

Дано:
v₁= 42 км/ч
v₂= 48 км/ч
S₁=S₂
v_ср - ?

Решение:

S₁=S/2 км, v₁=42 км/ч, значит $t_1=\frac{\displaystyle\frac S2}{42}=\frac S{84}$

S₂=S/2 км, v₂=48 км/ч, значит $t_2=\frac{\displaystyle\frac S2}{48}=\frac S{96}$

Найдем среднюю скорость на протяжении всего пути

$v_{ср}=\frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}$

$v_{ср}=\frac{{\displaystyle\frac S2}+{\displaystyle\frac S2}}{{\displaystyle\frac S{84}}+{\displaystyle\frac S{96}}}=\frac S{\displaystyle\frac{84S+96S}{84\ast96}}=\frac{\cancel S}{\displaystyle\frac{180\cancel S}{84\ast96}}=\frac{84\ast96}{180}=44,8$ км/ч

Ответ: 44,8 км/ч.

В задаче может быть не 2 половины пути, а, допустим, 1/3 и 2/3 пути, или еще больше разных частей. Выразив S₁, S₂ и тд. , умножив S на соответствующую часть, сможем решить и такие задачи.

 Та же задача. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение через формулу определения средней скорости

Дано:
v₁= 42 км/ч
v₂= 48 км/ч
S₁=S₂
v_ср - ?

Решение:

v_ср=S/t, где t=t₁+t₂
 t₁ -  время, затраченное на первую половину пути,  t₂ -  время, затраченное на первую половину пути.
$t_1=\frac{\displaystyle\frac S2}{v_1}$
$t_2=\frac{\displaystyle\frac S2}{v_2}$

Подставляем в исходную формулу средней скорости:

$v_{ср}=\frac S{{\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac12}S}{v_1}}+{\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac12}S}{v_2}}}=\frac S{{\displaystyle\frac12}S({\displaystyle\frac1{v_1}}+{\displaystyle\frac1{v_2}})}=\frac2{{\displaystyle\frac1{v_1}}+{\displaystyle\frac1{v_2}}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

$v_{ср}=\frac{2\ast42\ast48}{42+48}=\frac{2\ast42\ast\cancel{48}^{8}}{\cancel{90}^{15}}=\frac{2\ast\cancel{42}^{14}\ast8}{\cancel{15}^{5}}=\frac{224}5=44,8$ км/ч

Ответ: 44,8 км/ч.

Можно так же сразу вместо v₁ и v₂  подставлять известные скорости и преобразовывать уже с числами, а не с буквами.

Другой вариант оформления задач такого типа (с таблицей)

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Пусть х км - половина пути.

   S км   v км/ч   t ч
1   х       36        х/36
2   х       99        х/99

$v_{ср}=\frac{S_{общ.}}{t_{общ.}}=\frac{х\;+\;х}{{\displaystyle\frac{х^{(99}}{36}}+{\displaystyle\frac{х^{(36}}{99}}}=\frac{2х}{\displaystyle\frac{99х\;+\;36х}{36\ast99}}=2х:\frac{135х}{36\ast99}=\frac{2\cancel х\ast\cancel{36}^{12}\ast\cancel{99}^{11}}{\;{}_{5\;\cancel{15}}\cancel{135}\cancel х}=\frac{2\ast132}5=\frac{264}5=52,8$ км/ч

Значит, средняя скорость равна 52,8 км/ч

Ответ: 52,8 км/ч.

И еще один вариант оформления той же задачи.

Пусть 2S км - весь путь. Тогда время, затраченное на первую половину пути t₁=S/36 ч; на вторую половину пути t₂=S/99 ч.

$v_{ср}=\frac{S_{общ.}}{t_{общ.}}=\frac{S_{общ.}}{t_1+t_2}=\frac{2S}{{\displaystyle\frac S{\displaystyle\underset{4\ast9}{36}}}+{\displaystyle\frac S{\displaystyle\underset{11\ast9}{99}}}}=\frac{2S}{\displaystyle\frac{15S}{4\ast9\ast11}}=\frac{4\ast\cancel9^3\ast11\ast2\cancel S}{{}_{5\;}\cancel{15}\cancel S}=\frac{264}5=52,8$ км/ч

Ответ: 52,8 км/ч.

Рассмотрим задачу другого типа.

Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Чтобы найти среднюю скорость, нужно найти время на каждом участке пути. В нашей задаче таких участков 3.

S₁=105 км ; v₁=35 км/ч; значит t₁=105/35=3 часа

S₂=120 км ; v₂=60 км/ч; значит t₂=120/60=2 часа

S₃=500 км ; v₃=100 км/ч; значит t₃=500/100=5 часов

Зная время на каждом участке пути, найдем среднюю скорость:

$v_{ср.}=\frac{S_1+S_2+S_3}{t_1+t_2+t_3}=\frac{105+120+500}{3+2+5}=\frac{725}{10}=72,5$ км/ч

Ответ: 72,5 км/ч.

 Если вы специалист по подготовке к ОГЭ, напишите, пожалуйста, в комментариях, какой вариант оформления, по вашему мнению, наиболее предпочтителен.

Если вы сдали ОГЭ и за задачу у вас 2 балла, поделитесь, как оформляли, писали Дано и Решение?