Один из видов заданий из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.
Вспоминаем, что подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Сумма углов треугольника равна 180°.
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=18. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 2*18
CH2 = 36
CH =√36
CH =6
Ответ: 6
3F683D
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=8. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 2*8
CH2 = 16
CH =√16
CH =4
Ответ: 4
F7969D
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=16. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 4*16
CH2 = 64
CH =√64
CH =8
Ответ: 8
D0E83F
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=3, BH=27. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 3*27
CH2 = 81
CH =√81
CH =9
Ответ: 9
D17494
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=5, BH=20. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 5*20
CH2 = 100
CH =√100
CH =10
Ответ: 10
4A5B05
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=36. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 4*36
CH2 = 144
CH =√144
CH =12
Ответ: 12
9CED3D
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=7, BH=28. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 7*28
CH2 = 196
CH =√196
CH =14
Ответ: 14
4CFA86
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=3, BH=75. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 3*75
CH2 = 225
CH =√225
CH =15
Ответ: 15
84CBBD
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=64. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 4*64
CH2 = 256
CH =√256
CH =16
Ответ: 16
1A8C8D
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=6, BH=54. Найдите CH.
Решение:
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH2 = AH*BH
CH2 = 6*54
CH2 = 324
CH =√324
CH =18
Ответ: 6
51F685
Лайфхак для ленивых: перемножаем AH BH и извлекаем корень.
