Один из видов заданий из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.

Вспоминаем, что центральный угол окружности — это угол, образованный двумя радиусами окружности, вершина которого совпадает с центром окружности. Дуга, лежащая во внутренней области угла, называется дугой, соответствующей этому центральному углу.  Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги — это градусная мера соответствующего ей центрального угла. Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:


Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 66°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 66° = 294°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
66°      -      99
294°    -        х

66  99
294    х

x = 294*99
          66
x = 294*3
          2
х = 441

Ответ: 441

7F142F

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=140°. Длина меньшей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 98°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 140° = 220°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
140°      -      98
220°    -        х

140  98
220      х

x =  220*98
          140
x = 21560
        140
х = 154

Ответ: 154

BDEBC5

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=122°. Длина меньшей дуги AB равна 61. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 122°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 122° = 238°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
122°    -      61
238°    -        х

122  = 61
238      х

x =  238*61
          122
x = 14518
        122
х = 119

Ответ: 119

A18BFC

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 18°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 18° = 342°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
18°    -      5
342°    -        х

18  = 5
342    х

x =  342*5
          18
x = 1710
        18
х = 95

Ответ: 95

7057F4

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=45°. Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 45°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 45° = 315°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
45°    -      5
315°  -      х

45  5
315    х

x =  315*5
          45
x = 1575
        45
х = 35

Ответ: 35

F9F4CA

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 40°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 40° = 320°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
40°      -      50
320°    -        х

40  = 50
320    х
x = 8320*50
           40
х = 8*50
х = 400

Ответ: 400

5A934C

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=80°. Длина меньшей дуги AB равна 58. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 80°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 80° = 280°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
80°    -      58
280°  -      х

80  58
280    х

x =  280*58
          80
x = 16240
        80
х = 203

Ответ: 203

41B474

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=20°. Длина меньшей дуги AB равна 88. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 20°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 20° = 340°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
20°    -      88
340°  -      х

20  = 88
340     х

x =  340*88
          20
x = 29920
        20
х = 1496

Ответ: 1496

0F64A4

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=15°. Длина меньшей дуги AB равна 48. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 15°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 15° = 345°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
15°    -      48
345°  -      х

15  = 48
345     х

x =  345*48
          15
x = 16560
        15
х = 1104

Ответ: 1104

86C060

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=120°. Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 120°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 120° = 240°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
120°    -      67
240°  -      х

120  67
240     х

x =  240*67
          120
x = 16080
        120
х = 134

Ответ: 134

9C53BA