Следующие задания с расширенным ответом из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.
КЭС: 7.2.3 Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора 7.3.3 Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция
Задания из банка ФИПИ к ОГЭ по математике, геометрия части 2
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=36.
Решение:
Проведем две высоты из точек BC, при этом получив треугольник CHD, который получился равнобедренный, так как у него есть прямой угол, а угол HCD=135-90=45° , значит и CDH = 45°, а если углы у основания равны, то стороны тоже, CH = HD.
Значит можно найти значение катета, а в итоге и высоты.
$36^2=CH^2+CH^2\\1296\;=\;2CH^2\\CH^2=\frac{1296}2\\CH\;=\;\sqrt{648}$
Рассмотрим теперь треугольник BKA, в нем угол KBA = 90-60=30º
А в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит зная значение высоты, то есть катета BK, все остальные стороны можно выразить через гипотенузу, так как у них есть зависимость и соответственно найти ее по теореме Пифагора.
$BA^2=\left(\frac12BA\right)^2+\sqrt{648}^2\\BA^2=\frac14BA^2+648\\\frac34BA^2=\;648\\BA^2=\frac{648\ast4}3\\BA=\sqrt{864}$
Ответ: √864
683F49
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=24.
Решение:
Проведем две высоты из точек B и C, при этом получив треугольник CHD, который получился равнобедренный, так как у него есть прямой угол, а угол HCD=135-90=45° , значит и CDH = 45°, а если углы у основания равны, то стороны тоже, CH = HD.
Значит можно найти значение катета, а в итоге и высоты.
$24^2=CH^2+CH^2\\576\;=\;2CH^2\\CH^2=\frac{576}2\\CH\;=\;\sqrt{288}$
Рассмотрим теперь треугольник BKA, в нем угол KBA = 90-60=30º
А в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит зная значение высоты, то есть катета BK, все остальные стороны можно выразить через гипотенузу, так как у них есть зависимость и соответственно найти ее по теореме Пифагора.
$BA^2=\left(\frac12BA\right)^2+\sqrt{288}^2\\BA^2=\frac14BA^2+288\\\frac34BA^2=288\\BA^2=\frac{288\ast4}3\\BA=\sqrt{384}$
Ответ: √384
F3229F
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD=29.
Решение:
Проведем две высоты из точек BC, при этом получив треугольник CHD, который получился равнобедренный, так как у него есть прямой угол, а угол HCD=135-90=45° , значит и CDH = 45°, а если углы у основания равны, то стороны тоже, CH = HD.
Значит можно найти значение катета, а в итоге и высоты.
$29^2=CH^2+CH^2\\841\;=\;2CH^2\\CH^2=\frac{841}2\\CH\;=\;\sqrt{420.5}$
Рассмотрим теперь треугольник BKA, в нем угол KBA = 90-30=60º, а значит KAB = 30º
А в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит
$BA=2\sqrt{420.5}$
Ответ: $2\sqrt{420.5}$
099B90
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD=17.
Решение:
Проведем две высоты из точек BC, при этом получив треугольник CHD, который получился равнобедренный, так как у него есть прямой угол, а угол HCD=135-90=45° , значит и CDH = 45°, а если углы у основания равны, то стороны тоже, CH = HD.
Значит можно найти значение катета, а в итоге и высоты.
$17^2=CH^2+CH^2\\289\;=\;2CH^2\\CH^2=\frac{289}2\\CH\;=\;\sqrt{144.5}$
Рассмотрим теперь треугольник BKA, в нем угол KBA = 90-30=60º, а значит KAB = 30º
А в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит
$BA=2\sqrt{144.5}$
Ответ: $2\sqrt{144.5}$
382F20
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD=33.
Решение:
Проведем две высоты из точек BC, при этом получив треугольник CHD, который получился равнобедренный, так как у него есть прямой угол, а угол HCD=150-90=60° , значит и CDH = 30°, тогда СH=33/2
Рассмотрим теперь треугольник BKA, в нем угол KBA = 90-60=30º, а значит КА = 1/2 BA
По теореме Пифагора
$BA^2=\left(\frac12BA\right)^2+\left(\frac{33}2\right)^2\\BA^2=\frac14BA^2+\frac{1089}4\\\frac34BA^2=\frac{1089}4\\BA^2=\frac{1089}3\\BA=\sqrt{363}$
Ответ: √363
CC279D
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD=32.
Решение:
Проведем две высоты из точек BC, при этом получив треугольник CHD, который получился равнобедренный, так как у него есть прямой угол, а угол HCD=150-90=60° , значит и CDH = 30°, тогда СH=32/2=16
Рассмотрим теперь треугольник BKA, он равнобедренный, так как углы у гипотенузы по 45 градусов.
По теореме Пифагора
$BA^2=16^2+16^2\\BA^2=256+256\\BA=\sqrt{512}$
Ответ: √512
1C1CFA
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD=26.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-150°=30°
Используя функцию sin и зная одну сторону, можем узнать высоты BK и CH
`sin∠CDH=(CH)/(CD)`
`CH=sin∠CDH*CD`
`CH=sin30°*26`
`CH=1/2*26=13`
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
`sin∠BAK=(BK)/(AB)`
`AB=(BK)/sin∠BAK`
`AB=13/sin45°`
`AB=13/(sqrt2/2)=(13*2)/sqrt2=13sqrt2`
Ответ: 13√2
705153
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-120°=60°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin60*25
$CH=\sin60\ast25\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast25=12,5\sqrt3\\$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{12,5\sqrt3}{\sin30}=\;\frac{12,5\sqrt3}{\displaystyle\frac12}=25\sqrt3$
Ответ: 25*√3
92214F
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=40.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-120°=60°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin60*40
$CH=\sin60\ast40\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast40=20\sqrt3\\$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{20\sqrt3}{\sin45}=\;\frac{20\sqrt3}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=20\sqrt3\sqrt2=20\sqrt6$
Ответ: 20*√6
EE99B1
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=34.
Решение:
Проведем высоты трапеции BK и CH (BK=CH), тем самым образуя прямоугольные треугольники BKA и СHD. Зная один из углов в этих треугольниках, кроме прямого, и значение стороны, мы можем узнать значение других сторон.
Мы знаем, что в трапеции смежные углы при боковой стороне равны 180 градусам. Из этого заключения можно узнать ∠CDH=180°-∠BCD
∠CDH=180°-120°=60°
Используя функцию sin и зная одну сторону можем узнать высоты BK и CH
CH=sinCDH*CD
CH=sin60*34
$CH=\sin60\ast34\\CH=\frac{\sqrt3}2\ast34=17\sqrt3\\$
Углы ∠ABC и ∠BAK равны как они накрест лежащие при параллельных прямых (основания трапеции). При этом мы знаем, что высоты CH и BK равны. Теперь из прямоугольного треугольника ABK найдём AB:
BK=sinBAK*AB
AB=BK/sinBAK
$AB=\frac{17\sqrt3}{\sin45}=\;\frac{17\sqrt3}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}=17\sqrt3\sqrt2=17\sqrt6$
Ответ: 17*√6
D4D0BC
