Следующие задания с расширенным ответом из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.

Задания из банка ФИПИ к ОГЭ по математике, геометрия части 2

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=42. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (49-42) * (49+42) = 637. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{637}{49}=13$

Ответ: 13

F45CB6

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=9, MD=6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=6. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (9-6) * (9+6) = 45. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{45}{9}=5$

Ответ: 5

26684F

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=9, MD=3, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=3. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (9-3) * (9+3) = 72. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{72}{9}=8$

Ответ: 8

3801CE

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=90, MD=69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=69. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (90-69) * (90+69) =3339. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{3339}{90}=37.1$

Ответ: 37.1

E7B372

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=15, MD=12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=12. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (15-12) * (15+12) =81. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{81}{15}=5.4$

Ответ: 5.4

BCFC1C

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=80, MD=64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=64. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (80-64) * (80+64) =2304. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{2304}{80}=28.8$

Ответ: 28.8

71A2EF

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=16, MD=4, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=4. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (16-4) * (16+4) =240. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{240}{16}=15$

Ответ: 15

377F40

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=72, MD=18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=18. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (72-18) * (72+18) =4860. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{4860}{72}=67.5$

Ответ: 67.5

3C74ED

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=81, MD=9, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=9. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (81-9) * (81+9) =6480. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{6480}{81}=80$

Ответ: 80

0BFE66

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=45, MD=15, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

 Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол BKC  — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD  — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что MD=QD=15. По теореме о секущих получаем, что AM * AQ=AK * AC = (45-15) * (45+15) =1800. Треугольники AKH и ADC  — прямоугольные, угол DAC  — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

$\frac{AK}{KD}=\frac{AH}{KC}\\AH\;=\;\frac{AK\ast KC}{KD}\\AH\;=\;\frac{1800}{45}=40$

Ответ: 40

FB13AA