Следующие задания с расширенным ответом из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.

Задания из банка ФИПИ к ОГЭ по математике, геометрия части 2

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 12/2=6

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 12/4*1=3 и BP = 12/4*3=9

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$ = 3√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=2√117=2*3√13=6√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=3√45=3*3√5

Ответ: AB=3√13, BC=6√13, AE=9√5

89CAAE

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 44/2=22

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 44/4*1=11 и BP = 44/4*3=33

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{33^2+22^2}=\sqrt{1089+484}=\sqrt{1573}$ = 11√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=22√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{11^2+22^2}=\sqrt{121+484}=\sqrt{605}$

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=3√605

Ответ: AB=11√13, BC=22√13, AE=3√605

382962

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 16/2=8

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 16/4*1=4 и BP = 16/4*3=12

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}$ =4√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=8√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}$=4√5

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=12√5

Ответ: AB=4√13, BC=8√13, AE=12√5

C510C2

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 20/2=10

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 20/4*1=5 и BP = 20/4*3=15

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{15^2+10^2}=\sqrt{225+100}=\sqrt{325}$ =5√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=10√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}$=5√5

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=15√5

Ответ: AB=5√13, BC=10√13, AE=15√5

2FAD1C

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 8/2=4

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 8/4*1=2 и BP = 8/4*3=6

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$ = 2√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет 4√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ = 2√5

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=6√5

Ответ: AB=2√13, BC=4√13, AE=6√5

951A66

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 24/2=12

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 24/4*1=6 и BP = 24/4*3=18

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{324+144}=\sqrt{468}$ =2√117

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=4√117

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}$=2√45

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=6√45

Ответ: AB=2√117, BC=4√117, AE=6√45

29FC1C

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 28/2=14

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 28/4*1=7 и BP = 28/4*3=21

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{21^2+14^2}=\sqrt{441+196}=\sqrt{637}$ =7√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=14√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{7^2+14^2}=\sqrt{49+196}=\sqrt{245}$=7√5

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=21√5

Ответ: AB=7√13, BC=14√13, AE=21√5

C77754

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 32/2=16

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 32/4*1=8 и BP = 32/4*3=24

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{24^2+16^2}=\sqrt{576+256}=\sqrt{832}$ =8√13

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=16√13

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{8^2+16^2}=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}$=8√5

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=24√5

Ответ: AB=8√13, BC=16√13, AE=24√5

9B997B

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 36/2=18

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 36/4*1=9 и BP = 36/4*3=27

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{27^2+18^2}=\sqrt{729+324}=\sqrt{1053}$ =3√117

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=6√117

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{9^2+18^2}=\sqrt{81+324}=\sqrt{405}$=3√45

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=9√45

Ответ: AB=3√117, BC=6√117, AE=9√45

25CB29

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:


Пусть P  — точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD  — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PD = 40/2=20

BC = 2BD = 2AB так как AD медиана.

По свойству биссектрисы треугольника.

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB},\;так\;как\;BC\;больше\;AB\;в\;2\;раза,\;то\\\frac{CE}{AE}=2,\;\;а\;AC\;=\;3AE$

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда BK = AC = 3AE. Треугольники APE и KPB подобные (по 2 углам, вертикальные и накрест лежащие у параллельных прямых), а из этого следует, что:

$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}=\frac13$

то есть BE можно поделить на 4 части, 3 из которых будут приходиться на BP, а одна на PE

PE = 40/4*1=10 и BP = 40/4*3=30

теперь зная BP и AP можем найти AB

$AB=\sqrt{BP^2\;+\;AP^2}=\sqrt{30^2+20^2}=\sqrt{900+400}=\sqrt{1300}$ =2√325

само собой BC из условия что оно в два раза больше BA будет BC=4√325

зная PE и AP можем найти AE

$AE=\sqrt{PE^2\;+\;AP^2}=\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{100+400}=\sqrt{500}$=2√125

тогда AC из условия что оно в 3 раза больше AE будет AE=6√125

Ответ: AB=2√325, BC=4√325, AE=6√125

994A4D