8

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x² −28x+96*lnx+31:

`y′=2x-28+96 1/x`

Умножим все члены справа на x, получим квадратное уравнение

2x²-28x+96  = 0
x²-14x+48  = 0

D=196-4*1*48=196-192=4

`x_1=(14+2)/(2*1)=8`

`x_2=(14-2)/(2*1)=6`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем 5, тогда у′= +6
Берем значения скажем 7, тогда у′= -2
ну и возьмем 9, тогда у′ = +6

  +       -        +
____6____8____

Теперь понятно, что точка мин это 8.

Ответ: 8

19

y = 10cosx+14x+9
Находим производную
y′= -10 sin x +14
y′= 0

-10 sin x +14 = 0
10 sin x = 14
sin x = 14/10 > 1 решений нет

y′= -10 sin x +17 всегда положительна, на отрезке [0; 3π/2] функция возрастает
Наименьшее значение в точке х=0
y(0) = 10cos0+14∙0+9 = 10+9 = 19

Ответ: 19

15

y=10cosx−14x+5
Находим производную
y′=-10sinx−14
`sinx=14/(-10)`

y′= -10 sin x - 14 всегда отрицательная, на отрезке `[− (3π)/2; 0]` функция убывает
Наименьшее значение в точке х=0
y(0) = 10cos0-14∙0+5 = 10+5 = 15

Ответ: 15

Сначала найдем точки экстремума функции y=ln(x+9)⁵−5x. Для этого вычислим ее производную и приравняем результат нулю, получим:

y′=5ln(x+9)−5

`y′=5/(x+9)−5` из этого уравнения x≠9

5-5(x+9)=0

5-5x-45=0

45=-5x

x=-8

Теперь надо понять это точка минимума или максимума. Для этого вычислим значения функции на границах интервала и в точке экстремума:

Отметим точки — 8,5; — 8 и 0 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную:

y′=5/(x+9)−5 при -8,5 
y′= 10-5=5
то есть знак +

y′=5/(0+9)−5 при -8,5 
y′= 0,55-5≈-4,5
то есть знак -

Строим область

___9¤____-8,5__+__-8__-__0

¤ - выколотая точка

В точке x = — 8 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума функции и она находится на нашем отрезке [- 8,5; 0].

Найдем значение функции y = ln(x + 9)⁵ – 5x при x = — 8:

 y(-8)=5ln(-8+9)−5*-8
 y(-8)=5ln(1)−5*-8
 y(-8)=0−5*-8
 y(-8)=40

Ответ:40

Сначала найдем точки экстремума функции y=9x−ln(x+5)⁹. Для этого вычислим ее производную и приравняем результат нулю, получим:

y′=9−9ln(x+5)

`y′=9-9/(x+5)` из этого уравнения x≠-5

9-9/(x+5)=0

x+5=1

x=-4

Теперь надо понять это точка минимума или максимума. Для этого вычислим значения функции на границах интервала и в точке экстремума:
Отметим точки — 4,5; — 4 и 0 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную:

y′=9-9/(x+5) при -4,5 
y′= 9-18=-9
то есть знак -

y′=9-9/(x+5) при 0
y′= 9-1.8=7.2
то есть знак +

Строим область

___-5¤____-4.5__-__-4__+__0

¤ - выколотая точка

В точке x = — 4 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума функции и она находится на нашем отрезке [- 4,5; 0].

Найдем значение функции y =9x−ln(x+5)⁹ при x = — 4:

y(-4)=9*-4−ln(-4+5)⁹
y(-4)=9*-4−ln(1)⁹
y(-4)=9*-4−0
y(-4)=-36

Ответ:-36

7

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x³−14x²+49x+3:

y′=3x²-28x+49

3x²-28x+49=0

D = 784-4*3*49=196

`x_1= (28+14)/(2*3)= 42/6=7`
`x_2= (28-14)/(2*3)= 14/6`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем 1, тогда у′= +
Берем значения скажем 3, тогда у′= -
Берем значения скажем 8, тогда у′= +


  +                  -          +
____14/6 _______7____

Теперь понятно, что точка мин это 7.

Ответ: 7

-7

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x³+14x²+49x+8:

`y′=3x^2+28x+49`

`3x^2+28x+49=0`

D=784-4*3*49=196=14²

`x_1=(-28+14)/(2*3)=-14/6=-7/3`

`x_2=(-28-14)/(2*3)=-7`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -8, тогда у′= +
Берем значения скажем -6, тогда у′= -
ну и возьмем 0, тогда у′ = +

  +        -          +
____-7___-7/3____

Теперь понятно, что точка макс это -7.

Ответ: -7

8

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=(7-x)*e^7-x:

y′=(7-x)′*e^7-x+ (7-x)*(e^7-x)′=-1*e^7-x+ (7-x)*e^7-x*(-1)=-e^7-x*(8-x)=e^7-x*(x-8)

Находим корень, то есть точку когда производная равна 0
e^7-x не равно 0, значит x-8 = 0 единственный вариант, который может привести функцию к 0.
x = 8

Теперь надо понять что это точка минимума

Возьмем значение x = -1
y = e^7-x*(x-8), получим e^7-x больше нуля и в скобках меньше, тогда значение будет меньше 0

Возьмем значение x = 9
y = e^7-x*(x-8), получим e^7-x больше нуля и в скобках больше, тогда значение будет больше 0

Значит это точка минимума

___-⇓____8___+⇑____

Ответ:8

4

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=(x+3)⋅e^3-x:

y′ = (3 – x)′·e3–x + (3 – x)·(e3–x)′ = –1·е^3–х+(3–х)(–е^3–х) = е^3–х(–1–3+х) = е^3–х(х–4)

Найдем нули производной:

е3–х·(х–4) = 0
х = 4

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

___-⇓____4___+⇑____

Видимо что производной функция убывала до точки 4, потом начала расти, значит точка минимума самой функции : х = 4. Нам не важно значение номинала функции, нам важна точка что здесь она минимальная. Это к тому, что точка 4 не является значением функции, а лишь только точкой где функция равна минимальному значению!

Ответ: 4

5

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=12x−ln(12x)+4:

`y′ = 12-1/x`

`12-1/x = 0`

x = 1/12

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

y′ = 12-1/x при 1/24
y′ = 12-24=-12 отрицательное значение

y′ = 12-1/x при 5/24
y′ = 12-24/5= 7,2 положительное значение

___-⇓____1/12___+⇑____

Точка принадлежит диапазону [1/24; 5/24]. Найдем значения функции в точке экстремума:

y=12x−ln(12x)+4=12/12−ln(12/12)+4=1-0+4=5

Ответ:5

9

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x³−18x²+81x+17:

y′=3x²-36x+81

3x²-36x+81=0

x²-12x+27 = 0

D = 144-4*1*27=36

`x_1= (12+6)/(2*1)= 9`
`x_2= (12-6)/(2*1)= 3`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем 1, тогда у′= +
Берем значения скажем 5, тогда у′= -
Берем значения скажем 10, тогда у′= +


  +         -          +
____3 _____9____

Теперь понятно, что точка мин это 9.

Ответ: 9

13

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с плюса на минус, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=11+6x-4x√x:

y′=6-4*1/(2√x)

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая  в точке экстремума.

√x=1
x = 1

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 0,5 и 21

y (0,5) = положительное значение

y (21) = отрицательное значение

___+____1___-___ 
значит это точка макс

Теперь найдем значение функции в этой точке

y=11+6x-4x√x=11+6-4=13

Ответ:13

3

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с плюса на минус, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=10⋅ln(x−2)−10x+11:

`y′=10/(x−2)−10`

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая в точке экстремума.

10/(x−2)−10=0
x−2 =10/10
х=2+1
х=3, при этом выколотая точка x = 2

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 

y (0) = 20-10=10 положительное значение

y (5) = -3,3-10 = 13,3 отрицательное значение

___+___3___-____
Значит это точка максимума

Ответ: 3

4

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с плюса на минус, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=x√x−3x+17:
представим x√x в виде степени;

`x = x^1, √x = x^(1/2); x√x = x^(3/2); `

`y′=3/2 * x^(1/2)−3`

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая в точке экстремума.

`3/2 * x^(1/2)−3`=0

`3/2 * x^(1/2)`=3

√x = 3/1,5 = 2;
х = 4

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 

`y (3) = 3/2 * 3^(1/2) −3` ≈-0,4 отрицательное значение положительное значение

`y (5) = 3/2 * 5^(1/2) −3` ≈0,35 положительное значение


___-___4___+____
Значит это точка минимума

Ответ: 4

7,5

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с плюса на минус, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=ln(x−7)−2x−3:

`y′=1/(x−7)−2`

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая в точке экстремума.
`1/(x−7)−2 = 0`
`1/(x−7) - (2(x−7))/(x−7)=0`
`(1 - 2x+14)/(x−7)=0`
`( - 2x+15)/(x−7)=0`

- 2x+15=0
x=7.5   x=7 выколотая точка

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 7,2 и 8

y′ (7,2) = положительное значение

y′ (8) = отрицательное значение


___+___7,5___-____
Значит это точка максимума


Ответ: 7,5

58

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с плюса на минус, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=9ln(x+7)−9x+4:

`y′=9/(x+7)-9`

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая в точке экстремума.

`y′=9/(x+7)-9`
`0=9/(x+7)-9`
`9/(x+7) =9`
x+7 = 1
x=-6

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 

y′ (-6.2) = положительное значение
y′ (-5) = отрицательное значение

___+___-6___-____
Значит это точка максимума. Найдем значение функции в ней.

y=9ln(-6+7)−9*-6+4
y=0−9*-6+4
y=54+4 =58

Ответ:58

36

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с плюса на минус, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=4+9x−x√x:

`y′=9-(3sqrtx)/2`

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая в точке экстремума.

`0=9-(3sqrtx)/2`

3√x=18
√x=6
x=36

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 

y′ (6.5) = положительное значение
y′ (5.5) = отрицательное значение
___+___6___-____
Значит это точка максимума.

Ответ:36

-83

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания на возрастание.

Найдем производную от функции y=x√x−9x+25:

`y′=(3sqrtx)/2 - 9`

Найдем корень, то есть когда производная равна нулю и ее динамика нулевая в точке экстремума.

`0=(3sqrtx)/2 - 9`
`3sqrtx=9*2`
√x=6
x=36

Найдем значение производной до и после этой точки, дабы узнать это точка мин или макс, возьмем 

y′ (36.5) = отрицательное значение 
y′ (35.5) = положительное значение
___-___36___+____
Значит это точка минимума.

 Вычисляем.

y=36√36−9*36+25
y=36*6-324+25=-83

Ответ:-83

-3

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x³−27x+14:

y′=3x²-27

3x²-27=0

x²=9

`x_1= 3`
`x_2= -3`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -5, тогда у′= +
Берем значения скажем 0, тогда у′= -
Берем значения скажем 5, тогда у′= +


  +        -          +
___-3 _____3____

Теперь понятно, что точка макс это -3.

Ответ: -3

3

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции 2x² −23x+33⋅lnx−17:

y′=4x-23+33/x

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

0=4x-23+33/x
4x+33/x=23
4x²+33=23x
4x²-23x+33=0

D=529-4*4*33=1

`x1=(23+1)/8=3`
`x2=(23-1)/8=2.75`

Нашли две точки экстремума функции

Найдем значения производной на отрезках максимально близким к точкам 2.75 и 3

y′ (2,5) = 4* 2,5-23+33/2,5 = 0,2
y′ (2,8) = 4x-23+33/x = -0,014
y′ (4) = 4x-23+33/x = 1,25

___+___2,75__ -__3___ +___

Получается точка 3 это локальный минимум. 

Ответ:3

-83

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции 9x−9ln(x+11)+7:

y′=9-9/(x+11)

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

0=9-9/(x+11)
9=9/(x+11)
x+11=1
x=-10

Эта точка попадает в нашу область  [− 10,5; 0]
Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -9,8, тогда   (y′=9-9/(-9,8+11)=1,5)
Берем значения скажем -10, тогда  (y′=9-9/(-10+11)=0)
Берем значения скажем -10,2, тогда (y′=9-9/(-10,2+11)=-2,25)

  -        +          
___-10 _____

Теперь понятно, что точка мин это -10. Соответственно нет смысла считать крайние точки области  [− 10,5; 0].

Тогда мин будет 9x−9ln(x+11)+7=9*-10−9ln1+7=-90+7=-83


Ответ:-83

9

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=2cosx+5x+7:

y′=-2sinx+5

Найдем корни 

0=-2sinx+5
2sinx=5
sinx=5/2
sinx=2,5 - уравнение не имеет корней. 

Тогда нам достаточно взять крайние точки области и посчитать для функции минимальное значение

y(0)=2+0+7=9
y(3π/2)=0+15π/2+7=15π/2+7

9 меньше, значит это минимум

Ответ:9

10

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

y′=0,5·2x-21+(110/x)

Найдем корни

y′=0
(x²-21x+110)/x=0
x≠0, так как по ОДЗ х > 0

x²-21x+110=0
D=(21)²–4·110=441–440=1

x1=(21+1)/2=11 
х2=(21-1)/2=10

То есть корни и есть точки экстремума

Найдем динамику функции подставляя граничные значения близкие к точкам и высчитывая производную.

y′(9,5) = 0,5·2x-21+(110/x) ≈ 0,07
y′(10,5) = 0,5·2x-21+(110/x) ≈ -0,023
y′(11,5) = 0,5·2x-21+(110/x) ≈ 0,07

___+___10___-___11__+___
то есть у нас растет функция до 10, потом убывает до 11, потом снова растет. локальный максимум получается точка 10

Ответ:10

-2

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.
Найдем производную от функции y=5x−ln(x+3)⁵ +6:

y′=5-5/(x+3)

Найдем корни

0=5-5/(x+3)
x+3=1
х=-2   и точка 3 выколота, так как на ноль делить нельзя

Нашли точка экстремума, проверим что это минимум
y′(-1)=5-5/(x+3)=2,5
y′(-2,5)=5-5/(x+3)=5-10=-10

То есть у нас идет убывание функции потом возрастание

___-___-2__+___ Значит это точка мин

Ответ:-2

10

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x³−300x+14:

y′=3x²-300

3x²-300=0

x²=100

`x_1= 10`
`x_2= -10`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -15, тогда у′= +
Берем значения скажем 0, тогда у′= -
Берем значения скажем 15, тогда у′= +


  +        -          +
___-10 ___10____

Теперь понятно, что точка мин это 10.

Ответ: 10

-8

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x³+16x²+64x+12:

y′=3x²+32x+64

3x²+32x+64=0

D=1024-4*3*64=256

`x_1= (-32+16)/(2*3)=-16/6`
`x_2= (-32+16)/(2*3)=-48/6=-8`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -15, тогда у′= +
Берем значения скажем -4, тогда у′= -
Берем значения скажем 0, тогда у′= +


  +        -          +
___-8 ___-16/6____

Теперь понятно, что точка макс это -8.

Ответ: -8

-35

На указанном отрезке функция у = cos x возрастает, а значит и исходная функция тоже. Поэтому её наименьшее значение найдется в начале отрезка.

Возьмем тогда значение функции со значением − (2π)/3

`y=10cos((-2π)/3) + ((36*2π)/3)/π − 6`

`cos((-2π)/3)=-0.5`

тогда

y=10*-0,5 - (36*2)/3 - 6 =  -5 - 24 - 6 = -35

Ответ: -35

-2

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=ln(x+3)⁷ −7x−9

y′=7/(x+3) −7

Найдем корни
x+3 =1
x=-2

Проверим точку на максимум

y′(-2,2)=7/(-2,2+3) −7=1,75
y′(-1,8)=7/(-1,8+3) −7≈-1,16

___+__-2___-___ то есть функция росла, потом после -2 начала убывать, значит это точка макс.

Ответ:-2

4

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x^(3/2)−3x+9

`y′=(3sqrtx)/2 -3`

Найдем корни

3√x =6
√x = 2
x = 4

Проверим точку на минимум

y′(3,8)≈-0,076
y′(4,2)≈0,074

___-__4___+___ то есть функция убывала, потом после 4 начала расти, значит это точка мин.

Ответ: 4

32

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции `y=10sinx − (36x)/π + 7`

`y′=(10π*cosx - 36)/π`

Найдем корни
`(10π*cosx - 36)/π =0`
10π*cosx - 36 = 0
cosx = 36/10π
не имеет корней

Значит подсчитаем значения в крайних точках области

`y(0)=10sinx − (36x)/π + 7=10-36/π+7=17-36π`

sin(-5π/6)=sin 150°=-0,5, тогда
`y(− (5π)/6)=-5 + 30 + 7= 32`

Ответ: 32

23

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=7+12x−4x√x

y′=-6√x+12

Найдем корень

-6√x+12=0
√x = 2
x=4

Возьмем контрольные значения, чтобы подтвердить что это макс
y′(2)=-6√2+12≈3,5
y′(5)=-6√5+12≈-1,4

___+___4___-____

Это точка находится в нашем диапазоне [0; 12].

По изменению производной видно что это точка максимума, тогда

y=7+12x−4x√x = 7+12*4-4*4*2=23

Ответ:23

144

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x^(3/2) - 18x+29

y′=(3√x)/2-18

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

0=(3√x)/2-18
3√x = 36
√x = 12
x = 144

Возьмем контрольные значения, чтобы подтвердить что это макс
y′(8)=(3√144)/2-18   значение меньше нуля
y′(10)=(3√144)/2-18 значение больше нуля

___-___144___+____


По изменению производной видно что это точка минимума

Ответ:144

-10

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=x³−300x+5:

y′=3x²-300

3x²-300=0

x²=100

`x_1= 10`
`x_2= -10`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -15, тогда у′= +
Берем значения скажем 0, тогда у′= -
Берем значения скажем 15, тогда у′= +


  +        -          +
___-10 ___10____

Теперь понятно, что точка макс это -10.

Ответ: -10

81

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции `y=17+27x−2x^(3/2)`:

`y′=27−3x^(1/2)`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

`0=27−3x^(1/2)`
√x=9
x=81

Возьмем контрольные значения, чтобы подтвердить рост функции и ее убывание после 81

y′(49)=27−3√x=6  положительное значение, значит функция растет

y′(121)=27−3√x=-6 отрицательное, значит функция убывает

___+___81___-____ это точка максимума


Ответ:81

-40

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции `y=12cosx + (45x)/π − 4`

y′ = -12sinx +45/π

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

sinx = (45/π)/12 больше нуля, значит корней нет. Будем брать значение в крайних точках области, чтобы найти минимум.

y(0)=12cosx + (45x)/π − 4 = 12 + 45/π - 4 = 8 + 45/π

теперь для второй точки `− (2π)/3`

`cosx=cos(− (2π)/3)=-1/2`, тогда
`y(− (2π)/3)=-6-30-4=-40`


Ответ:-40

-2

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=9x−9⋅ln(x+3)+4.

`y′ = 9-9/(x+3)`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

`0 = 9-9/(x+3)`
x+3=1
x = -2

Теперь узнаем знаки производной около этой точки

y′(-2,5) = 9-9/(-2,5+3) = -18
y′(-1,5) = 9-6=3

То есть функция до -2 убывает, а потом растет, тогда это точка мин

___-___-2___+___

Ответ: -2

-29
Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=x√x−6x+3

y′ = √x + x/(2√x)-6

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

`sqrtx + x/2sqrt(x) – 6 = 0`

`(2sqrtx * sqrtx + x)/2sqrtx= 6`

`(2x + x)/2sqrtx= 6`

`(3x)/2sqrtx= 6`

2√x*6=3x*1

12√x= 3x

3x-12√x = 0

x-4√x =0

4√x = x

16x = x²

x (16-x) =0

16-x = 0

x=16

Второй корень напрашивается 0, но это выколотая точка, так как знаменатель не может быть равен 0

Теперь узнаем знаки производной около этой точки

y′(15) = меньше нуля
y′(17) = больше нуля

То есть функция до 16 убывает, а потом растет, тогда это точка мин

___-___16___+___

Посчитаем значение функции в этой точке

y=x√x−6x+3=16√16−6*16+3=-29

Ответ:-29

8

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=3cosx−5x+5

y′ = -3sinx-5

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

y′ = -3sinx-5
-3sinx=5
sinx=-5/3
корней нет

тогда подставим сразу значение крайних точек области `[− (3π)/2; 0]` и выберем наименьшее значение 

y(0)=3cosx−5x+5 = 3 - 0 + 5 = 8

cos(− (3π)/2) = cos 270º = 0
y(− (3π)/2)=3cosx−5x+5 = 0 - 5*(− (3π)/2) + 5 это будет точно больше 8, так как (3π)/2>1 тогда

Ответ: 8

8

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=x² −33x+136⋅lnx+74

y′ = 2x-33+136/x

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с + на -, то есть самую "вершину", когда функция росла и стала убывать, так как ищем точку максимума. 

0 = 2x-33+136/x
2x+136/x = 33

`2x^2+136 = 33x`
`2x^2-33x+136 = 0`

D=1089-4*2*136 = 1089-1088 = 1

`x1 = (33+1)/(2*2)=34/4=8.5`

`x2 = (33-1)/(2*2)=32/4=8`

Собственно возьмем близлежащие точки, дабы определить знаки производной.

y(7.8)=2x-33+136/x ≈ 0.03
y(8.2)=2x-33+136/x ≈ -0.014
y(8.7)=2x-33+136/x ≈ 0.03

___+___8___-___8.5___+___
Получается функция растет до 8, потом убывает, потом снова растет. Точка локального максимума будет 8.

Ответ: 8

-6

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=(x+5)⋅e^x-5

`y' = xe^(x+5) + 6e^(x+5);`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

`0= xe^(x+5) + 6e^(x+5);`
`0= e^(x+5) * (x+6);`
x+6= 0
x=-6

Собственно возьмем близлежащие точки, дабы определить знаки производной.

y'(-6.2) = отрицательная, убывает
y'(-5.8) = положительная, растет

____-____-6___+____
Значит это точка минимума.

Ответ:-6

3

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции y=9x−ln(x−2)⁹ −8

y′ = x−9ln(x−2)⁸/(x−2) 

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

y′ = x−9ln(x−2)⁸/(x−2) 

ln(x−2) = 0
x−2 =1
x=3

Собственно возьмем близлежащие точки, дабы определить знаки производной.

y'(2.8) = отрицательная, убывает
y'(3.2) = положительная, растет

____-____3___+____
Значит это точка минимума.


Ответ: 3

3

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=(4-x)⋅e^x+4

y'=3e^x-4 -xe^x-4
3e^x-4 -xe^x-4 =0
e^x-4 (3-x)=0
x=3

Собственно возьмем близлежащие точки, дабы определить знаки производной.

y(3.2)=(4-x)⋅e^x+4≈-0.09
y(2.2)=(4-x)⋅e^x+4=0.43

То есть видим, что производная вначале + потом -, то есть это и есть точка максимума.

Ответ:3

6

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции y=ln(8x)−8x+7

y′= 1/x-8

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с + на -, то есть самый "топ", так как ищем точку максимума. 

y′= 1/x-8
x=1/8

Теперь узнаем какие у нас знаки производной до и после 1/8=0,125

y′(0,15)= 1/8x-8=+ будет положительное значение
y′(0,1)= 1/8x-8=- будет отрицательное
То есть у нас есть точка максимума

Узнаем значение функции в этой точке и эта точка в нашем диапазоне из условия `[1/16; 5/16]`

y(1/8)=ln(8x)−8x+7=-1+7=6

Ответ: 6

-5

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции x³+10x²+25x+16:

y′=3x²+20x+25

3x²+20x+25=0

D=400-4*3*25=100

`x_1= (-20+10)/(2*3)=-10/6`
`x_2= (-20-10)/(2*3)=-5`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -10, тогда у′= +
Берем значения скажем -2, тогда у′= -
Берем значения скажем 0, тогда у′= +


  +        -          +
___-5 ___-10/6____

Теперь понятно, что точка макс это -5.

Ответ: -5

-12

Точка максимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с максимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с + на -, или иначе функция меняет свою динамику с возрастания на убывание.

Найдем производную от функции `y=10sinx− (42x)/π −12`

`y′=10cosx− 42/π −12`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с + на -, то есть самый "топ", когда функция росла и стала убывать, так как ищем точку максимума. А потом для этой точки надо найти значение функции.

`0=10cosx− 42/π −12`

cosx = (42/π +12)/10 корней нет, так как значения больше 1. То есть точек экстремумов нет!

Тогда берем крайние значения области и вычисляем для них значения. 

`y(0)=10sinx− (42x)/π −12 = -12`

sin(− (5π)/6) = sin 150 = -0.5, тогда
`y(− (5π)/6)=10sinx− (42x)/π −12`
`y(− (5π)/6)=-5− (42*5)/6 −12 =18 `


Ответ: -12

196

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции `y=x^(3/2)−21x+11`

`y′=(3x^(1/2))/2-21`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

`0=(3x^(1/2))/2-21`
√x=14
x=196

Возьмем контрольные значения, чтобы подтвердить убывание функции до и ее рост после 196
y′(195)≈-0,05 отрицательная
y′(197)≈0,05 положительная

показатели для производной в графике следующие:
____-___196___+____
Значит это и есть точкам минимума


Ответ:196

10

Точка минимума будет в точке экстремума, при этом нам необходимо найти точку экстремума с минимумом, то есть когда производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, или иначе функция меняет свою динамику с убывания, на возрастание.

Найдем производную от функции x³−20x²+100x+23:

y′=3x²−40x+100

3x²−40x+100=0

D=1600-4*3*100=400

`x_1= (40+20)/(2*3)=10`
`x_2= (40-20)/(2*3)=-10/3`

Корни функции это точки пересечения с осью y для производной, то есть как раз изменение динамики функции на положительную или отрицательную. Нам надо найти случай изменения с - на +, то есть самое "дно", когда функция убывала и стала расти, так как ищем точку минимума. 

Берем значения скажем -10, тогда у′= +
Берем значения скажем 0, тогда у′= -
Берем значения скажем 10, тогда у′= +


  +          -        +
___-10/3 ___10____

Теперь понятно, что точка мин это 10.

Ответ: 10