КЭС: Геометрия. Тип ответа: Развернутый ответ. Мы для вас перебрали весь новый и весь старый банк, оставили дубли в единичном экземпляре, ничего лишнего и, в то же время, полный комплект заданий по геометрии с развернутым ответом ко второй части ЕГЭ по профильной математике.

ВСЕ задания из ОБОИХ банков ФИПИ.

Ответы в процессе подготовки. Наш проект волонтерский. Если вы можете помочь с ответами, прикрепляйте их в комментариях в печатном виде.

Все задания с развернутым ответом по геометрии из нового банка ФИПИ

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 30° , В₁С₁ = 5 и площадь треугольника АВ₁С₁ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: AA7FF7

Дайте развернутый ответ.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P .

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7 , AD=23 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: B45F0C

Дайте развернутый ответ.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD .

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=12 и BD=6,5 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 5CBC00

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 30ED04

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 45∘ , В₁С₁= 6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 2EBDBF

Дайте развернутый ответ.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M , а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P .

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7 , AD=17 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: D57CB9

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 149319

Дайте развернутый ответ.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4 , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16,   QW=12 , угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 56C211

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 135∘ , B1C1=10 и площадь треугольника АВ1С1 в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 3CDB1B

Дайте развернутый ответ.
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC , перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K . При этом AK:KC=1:2 .

а) Докажите, что ∠BAC=30° .

б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P , а прямые AP и BK — в точке Q . Найдите KQ , если BC=√21 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 5E7BDE

Дайте развернутый ответ.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4 , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16,   QW=12 , угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: A96557

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А= 45° , В1С1= 6 и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 829956

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC . Точка K — середина ребра A1B1 , а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3 .

а) Докажите, что KM⊥AC .

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1 , если AB=6 , AC=8 и AA1=3 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: F7B7A1

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1

б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если ∠A=150° , BC=√55 и площадь треугольника АВ1С1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 8F66A4

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1

б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если ∠A=120° , BC=10√7 и площадь треугольника АВ1С1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 2B52E7

Дайте развернутый ответ.
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC , пересекает сторону AD в точке M , равноудалённой от вершин B и D .

а) Докажите, что ∠ABM=∠DBС=30° .

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM , если BC=9 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: FAAE63

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1:2 , на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1:5 , а точка Т — середина ребра B1C1 . Известно, что AB=2 , AD=6 , AA1=6 .

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1 .

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: E95564

Дайте развернутый ответ.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD .

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD , если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5 .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: 00E23C

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9 . Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E , а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4 .

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q . Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC .

КЭС: 5 Геометрия

Номер: EA6B32

Дайте развернутый ответ.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1:C1B=8:3, BA1:A1C=1:2, AB1:B1C=1:3. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.

а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если отрезки AD иBC перпендикулярны, AC=16, BC=15.

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 4F4F44

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=2, SK=1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 03B44B

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:1, а AB=2 и SO=√14.

а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.

КЭС: 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 7.3 Многогранники

Номер: 04294C

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=60° , ∠BCA=45° .

а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H , если BC=2√3 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 2AE241

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C1 , причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45° , AB=2√3 , CC1=2√6 .

а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60° .

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1 .

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями

Номер: C84642

Дайте развернутый ответ.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8 . Известно, что AB=BC=CD=12 .

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD .

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.3 Трапеция 5.1.4 Окружность и круг

Номер: C5B743

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°​. а) Докажите, что cos∠ ASC+cos∠ BSC=1,5. б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1, cos∠ ASC=2/3.

КЭС: 5.4.2 Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 6B5C41

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD=3:2, BN:NC=1:2.

Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K. а) Докажите, что SK:KC=6:1. б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

КЭС: 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 8EEB4F

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α , содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1=10 , AB=12 .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 8A0B46

Дайте развернутый ответ.
В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC . Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.

а) Докажите, что AM=DM .

б) Найдите угол BAD , если угол ADC равен 70° , а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 4E19FD

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC , пересекаются в точке H . Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC .

а) Докажите, что AH=AO .

б) Найдите площадь треугольника AHO , если BC=√15 , ∠ABC=45° .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 41A5F8

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и C параллелограмма ABCD , пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K .

а) Докажите, что BK=BE .

б) Найдите отношение KE:AC , если ∠BAD=30° .

КЭС: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг

Номер: 0BC5F1

Дайте развернутый ответ.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO.

а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.

КЭС: 5.1.3 Трапеция 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: B58CFA

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α , если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

КЭС: 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 182CF4

16. Дайте развернутый ответ.
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠  BAD=60°​.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 2412FA

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M — середина ребра AB . Плоскость a перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и D . Прямая SC пересекает плоскость a в точке K .

а) Докажите, что KM=KD .

б) Найдите объём пирамиды CDKM .

КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 9A3AF9

02. Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.

б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.

КЭС: 7.1 Фигуры на плоскости

Номер: 6B82FF

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB=20 , BB1=15 , B1C1=21 .

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 416B0F

Дайте развернутый ответ.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC .

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD , если AD=15 и AC=2√61 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 060A0A

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 5, а боковое ребро SA равно 9. Точка M лежит на ребре AB , AM=1 , а точка K лежит на ребре SC . Известно, что MK=KD .

а) Докажите, что плоскость DKM перпендикулярна плоскости ABC .

б) Найдите площадь треугольника DKM .

КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 065E0A

Дайте развернутый ответ.
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M .

а) Докажите, что ∠BAM=∠CAD .

б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Найдите площадь треугольника AOB , если AB=√10 , а BC=2BM .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: B3890A

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если AB=7 , BB1=24 , B1C1=10 .

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 13D60B

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка M — середина ребра A1B1.

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K делит ребро B1C1 в отношении B1K:KC1=2:3.

КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: ED4407

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K  соответственно, причём AM=2, SK=1. Плоскость a перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость a содержит точку C.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью a.

КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 3C8708

Дайте развернутый ответ.
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15 , KL=6 , LB=5 .

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.3 Трапеция 5.1.4 Окружность и круг

Номер: D9D771

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C1 , причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30° , AB=√2 , CC1=2 .

а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 45° .

б) Найдите объём цилиндра.

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: D7147A

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC продолжения высоты CC1 и биссектрисы BB1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠  ABC=40°​, ∠  ACB=85°​.

а) Докажите, что BM=CN.

б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 54E571

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно √21. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=4, SK:KB=1:3.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 4679B2

Дайте развернутый ответ.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.

а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.

б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: B5D2B2

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм.

а) Докажите, что BC=DE.

б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4, AD=7, BE=8 и AB>BC.

КЭС: 7.1 Фигуры на плоскости

Номер: AC39B7

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁=∠BAH.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁=18 и ∠BAC=30°​.

КЭС: 7.1 Фигуры на плоскости

Номер: 10D010

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁.
Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD — ромб.

а) Докажите, что точка M — середина ребра AA₁.

б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.

КЭС: 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 7.3 Многогранники

Номер: 16C715

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6√2 .

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2 . Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 5D991D

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K .

а) Докажите, что AE=AK .

б) Найдите отношение KE:BD , если ∠BAD=60° .

КЭС: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг

Номер: 813416

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L.

а) Докажите, что AB+BC=4AC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=9/5​, LN=3.

КЭС: 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 7C842B

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M:MD1=1:2, а точка K — середина ребра DD1.

а) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD.

б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.

КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями

Номер: 72412D

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D .

а) Докажите, что AE=AK .

б) Найдите AD , если CE=10 , DK=9 и cos∠BAD=0,2 .

 

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг

Номер: 73BE23

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120° , ∠BCA=45° .

а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H , если BC=6√3 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: EA7D2B

Дайте развернутый ответ.
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.

а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC.

б) Найдите EL, если AC=8, tg∠  BCA=1/2.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: FC6FD7

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK=1, KC=3.

КЭС: 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 7.3 Многогранники

Номер: 0E8DDE

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2 . Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC .

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA .

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC .

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями

Номер: 142CDC

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD , причём AB=2√2 , BC=4 . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB .

а) Докажите, что P — середина отрезка BQ .

б) Найдите угол между гранями SBA и SBC , если SD=4 .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: C185DD

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6√2 , AD=10 , AA1=16 . На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=5:3 и B1F:FB=5:11 . Точка T — середина ребра B1C1 .

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1 .

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: C300DC

Дайте развернутый ответ.
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC , а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C , причём CM=BC и CN=AC .

а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.

б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K , а прямые BM и AN — в точке L . Найдите KL , если BC=1 , а AC=5 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: EF3DDA

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD  равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN:ND=1:3.

а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.

КЭС: 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 7.3 Многогранники

Номер: 616CD3

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3 . Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC .

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA .

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC .

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями

Номер: 876DD3

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2 .

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3 . Найдите площадь сечения MNB .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 429E53

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4.

а) Докажите, что AC=CE.

б) Найдите длину диагонали BE, если AD=6.

КЭС: 7.1 Фигуры на плоскости

Номер: D8C152

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM=BN=3 .

а) Точки O и O1 — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 соответственно. Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника CMN .

б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости CMN .

КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями

Номер: F416AF

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=5, BC=3, AA1=4. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.

КЭС: 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 0B28A5

Дайте развернутый ответ.
Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 5259A1

Дайте развернутый ответ.
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: A7A4AB

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30° , ∠BCA=45° .

а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H , если BC=4√3 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 9595A4

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=2√2 , AD=6 , AA1=10 . На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=3:2 и B1F:FB=3:7 . Точка T — середина ребра B1C1 .

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1 .

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: E8E9A7

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C₁ , причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30° , AB=1 , CC₁=2√2 .

а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60° .

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: E8FAA5

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ. а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру AB. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, считая от точки P, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.

КЭС: 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 82F7A1

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что ∠ANB=2∠ABC.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC=14 и AB=36.

КЭС: 7.1 Фигуры на плоскости

Номер: 8377A1

Дайте развернутый ответ.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.

а) Докажите, что cos∠BAD=1/5 .

б) Найдите площадь ромба, если MN=5.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 78A6C2

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1 , если AB=6 , BB1=15 , B1C1=8 .

 

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 77C190

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120° , ∠BCA=15° .

а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H , если BC=4√3 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: BAD790

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD , причём ∠BAD+∠ADC=90° . Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD .

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP , если AB=BC=CD=4 , а высота пирамиды PABCD равна 9.

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 9B8297

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что AC=9.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB=90°.

КЭС: 7.1 Фигуры на плоскости

Номер: 92699C

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1 , если AB=21 , BB1=12 , B1C1=16 .

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 8EBB9F

Дайте развернутый ответ.
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.

а) Докажите, что ∠  BKM=45°​.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=2√10.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: 86B99A

Дайте развернутый ответ.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.

а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK​.

б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK​, если AM:MC=1:4.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: F2A2EB

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B1K:KC1=1:2. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: 0549EB

Дайте развернутый ответ.
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H . Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту AA1 в точке K.

а) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅C1H.

б) Найдите отношение площадей треугольников C1HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 0063ED

Дайте развернутый ответ.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: BE8FE4

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2.

а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды равны 6.

КЭС: 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 1D76E2

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2 . Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P , Q , M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 1F7CE6

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно.

а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.

б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N=6.

КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями

Номер: A47BE8

14. Дайте развернутый ответ.
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.

а) Докажите, что AB:BC=AE:EK.

б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: 003F6E

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.

а) Плоскость α пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.

б) Плоскость α делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.

КЭС: 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

Номер: DE9364

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M:MD1=1:2, а точка K — середина ребра DD1.

а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.

КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: C87061

Дайте развернутый ответ.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.

б) Найдите сторону ромба, если MN=√6.

КЭС: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: E80769

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M , причём SM:MD=2:1 . Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 6F3F6D

Дайте развернутый ответ.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C . Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E , а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D .

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите BC , если радиусы окружностей равны √15 и 15.

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 7E3432

Дайте развернутый ответ.
Окружность с центром O1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD . Окружность с центром O2 касается сторон BC , CD и AD . Известно, что AB=10 , BC=9 , CD=30 , AD=39 .

а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна основаниям трапеции ABCD .

б) Найдите O1O2 .

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.3 Трапеция 5.1.4 Окружность и круг

Номер: 7EEB3E

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α , содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1=6 , AB=4 .

КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин

Номер: 17B23F

Дайте развернутый ответ.
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD . На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O .

а) Докажите, что CO=KO .

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD , если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 15EF35

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M  и N соответственно, причём AK:KC=2:3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

КЭС: 7.3 Многогранники

Номер: A2B731

Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N .

а) Докажите, что AM=AN .

б) Найдите отношение CD:DN , если AB:BC=1:2 , а cos∠BAD=2/3 .

КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг

Номер: 909839

Дайте развернутый ответ.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC .

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD . Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD , если BC=16 и AB=10 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 832C34

Дайте развернутый ответ.  ^{стереометрия}
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ. а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.

КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Номер: FA228B

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а AN=3NS.

а) Докажите, что прямые MN, KL и SB пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение BL:LC.

КЭС: 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 7.3 Многогранники

Номер: BCEB84

Дайте развернутый ответ.
На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1 , A1 и B1 соответственно, причём AC1:C1B=21:10 , BA1:A1C=2:3 , AB1:B1C=2:5 . Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D .

а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.

б) Найдите CD , если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=63 , BC=25 .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: AC2684

Дайте развернутый ответ.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.

КЭС: 5.1.3 Трапеция 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Номер: E87882

Дайте развернутый ответ. ^{2024 стереометрия}
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R.
Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L соответственно, причём BL=3LC.

а) Докажите, что отрезки MK и NL пересекаются.

б) Найдите отношение AN:NS.

КЭС: 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 7.3 Многогранники

Номер: 637C89

Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC , пересекаются в точке H . Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC .

а) Докажите, что AH=AO .

б) Найдите площадь треугольника AHO , если BC=3 , ∠ABC=15° .

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 3B468E

Дайте развернутый ответ.
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD , касается её боковой стороны CD в точке M . Луч AM вторично пересекает окружность в точке N , а прямую BC — в точке K , причём AN=4 , MN=12 .

а) Докажите, что ∠AMD=∠MCK .

б) Найдите основания трапеции.

КЭС: 5.1 Планиметрия

Номер: 8C8D87

Все задания по геометрии 2-й части ЕГЭ из старого банка (без дублей нового)

 

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD , если ∠BAD=60° и BC=2 .

Номер: E16AF4

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD , если ∠BAD=67,5° и BC=3 .

Номер: B81100

 

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD , если ∠BAD=75° и BC=1 .

Номер: DDB7A7

 

К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2 ?

Номер: 6B7451

 

К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:3 ?

Номер: C131C9

К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:4 ?

Номер: EE3463

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, пересекаются в точке P , причём BC=CD .

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD .

б) Найдите площадь треугольника COD , где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD , если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5 , а BC=52–√ .

Номер: D81F46

 

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C . На катете AC взята точка M . Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N .

а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN , если CN=4 и AM:MC=1:3 .

Номер: 76AFB6

 

Две окружности касаются внутренним образом в точке A , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P . Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP . Найдите AL , если радиус большей окружности равен 10, а BC=16 .

Номер: C4A623

Точка B лежит на отрезке AC . Прямая, проходящая через точку A , касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K . Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D .

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC , если AK=3 и MK=12 .

Номер: 1549DC

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD , причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD .

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD , если известно, что BM:MC=1:3 , а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM , DM , BN и CN , равна 18.

Номер: 2CAEDB

 

Две окружности касаются внутренним образом в точке K , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C . Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L .

а) Докажите, что CN:CM=LB:LA .

б) Найдите MN , если LB:LA=2:3 , а радиус малой окружности равен √23 .

Номер: AB1F55

54. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD , вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что `(AP)/(PD)=sinD`.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3 .

Номер: 999FC4

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD , если ∠BAD=75° и BC=1 .

Номер: F6716D 

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM . На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б) Найдите отношение EH к AC , если ∠ABC=30° .

Номер: 250B4D

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD , точка M — середина боковой стороны AB . Отрезки CE и DM пересекаются в точке O .

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE , если BC=3 , AD=4 .

Номер: C5C4F4

 

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC , I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB .

а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC .

б) Найдите угол OHI , если ∠ABC=40° .

Номер: BF1575

 

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K , L , M и N — середины сторон AB , BC , CD и AD соответственно.

Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17 .

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите отношение BC к AD .

Номер: A0FD25

 

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH . Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.

б) Найдите MK , если AB=5 , AC=8 .

Номер: AAF5C4

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH . На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найдите отношение BH к ED , если ∠BCD=120° .

Номер: BD119B

В треугольнике ABC угол ABC равен 60° . Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M .

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите sin∠BMC , если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Номер: 6FC99C

 

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC , I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB .

а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC .

б) Найдите угол OHI , если ∠ABC=70° .

Номер: A74E6D

---

 ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что A1P:PB1=3:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .

Номер: 132142

  ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 3. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=2 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A1B1 .

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .

Номер: 9DEFF7

  ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что A1P:PB1=2:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .

Номер: 39C879

  ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что A1P:PB1=1:2 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .

Номер: 474248

  ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что A1P:PB1=1:3 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .

Номер: AC96DF

  ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=5 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что A1P:PB1=4:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .

Номер: 639055

  ^{стереометрия} В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .

а) Докажите, что A1P:PB1=2:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .

Номер: 039761

  ^{стереометрия} В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α .

Номер: 64597E

  ^{стереометрия} В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 60, а боковое ребро SA равно 37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α .

Номер: 257425

  ^{стереометрия} В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C , а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α .

Номер: 29565E

  ^{стереометрия} В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α .

Номер: 32528E

  ^{стереометрия} В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB , AC и AS отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=AN=3 и AK=74 .

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC .

Номер: 0E2FD2

  ^{стереометрия} В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK=B1L=2 . Точка M — середина ребра A1C1 . Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M , а основание — сечение данной призмы плоскостью γ .

Номер: 0BDC03

  ^{стереометрия} В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно √2 . На рёбрах AB , A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=B1N=C1K=1 .

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Номер: 025013

  ^{стереометрия} В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2√2 . На рёбрах AB , A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=B1N=C1K=2 .

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Номер: F5A762

  ^{стереометрия} В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK=1 . Точки M и L — середины рёбер A1C1 и B1C1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ .

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ .

Номер: 3B7532

  ^{стереометрия} В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6 . Длины боковых рёбер пирамиды SA=3 , SB=5 , SD=3√5 .

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC .

Номер: DCA9B6

  ^{стереометрия} В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6 . Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21 , SB=√85 , SD=√57 .

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD .

Номер: A885B6

  ^{стереометрия} В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=3 . Длины боковых рёбер пирамиды SA=√11 , SB=3√3 , SD=2√5 .

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB .

Номер: CB3CC8

  ^{стереометрия} В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2√3 . На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK=C1L=2 . Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1 , а основание — сечение данной призмы плоскостью γ .

Номер: 779E17

  ^{стереометрия} В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 4√2 . На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK=C1L=2 . Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ .

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ .

Номер: C29114

  ^{стереометрия} В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB , CD и AS отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=DN=4 и AK=3 .

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC .

Номер: 859A67

 

---

Реальные задания ЕГЭ с официальными ключами

1. Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB₁=∠ACB.

б) Найдите длину стороны BC, если AH=6 и ∠BAC=45°​.

2 см. в новом банке

3. Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
В треугольнике ABC длина стороны AC равна 4. Точки E и F - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен 16.

б) Найдите площадь четырехугольника AEFC, если ∠ACB=90°​.

4. В остроугольном треугольнике АВС поведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН к АС, если ∠АВС = 60°. 

5. На сторонах ВС и СD квадрата АВСD отмечены точки Е и К соответственно. Известно, что АЕ = 2, ЕК = 1, АК = `sqrt5`.
а) Докажите, что ∠ВАЕ = ∠СЕК.
б) Найдите площадь квадрата АВCD.

6. Стороны АВ и АD квадрата АВСD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ ВD на три равных отрезка.
б) Касательная к окружности, проведенная через точку В, пересекает сторону СD в точке Е. Найдите длину отрезка DE, если сторона квадрата равна 12.

6-2. Стороны АВ и АD квадрата АВСD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ ВD на три равных отрезка.
б) Касательная к окружности, проведенная через точку В, пересекает сторону СD в точке Е. Найдите длину отрезка DE, если сторона квадрата равна 18.

7. На стороне АС равностороннего треугольника АВС отмечена точка М. Серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно.
а) Докажите, что ∠АЕМ = ∠СМК.
б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если АМ:МС = 1:4.

8. Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции АВСD делит боковую сторону СD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку АМ и делит сторону АВ в отношении AN:NB = 5:1.
а) Докажите, что прямые ВМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна `3sqrt2`.

9. Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если АК = 5 и МК = 25.

10. Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба АВСD, пересекает его диагональ АС в точке М, а диагональ BD в точке N, причем АМ:МС = 1:2, BN:ND = 1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба ВС в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN = `2sqrt3`.

11. Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции АВСD пересекаются в точке О. На боковых сторонах АВ и СD отмечены точки М и N соответственно так, что АМ = МО, CN = NO.
а) Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение АМ:МВ, если АО = СО и ВС:АD = 1:7.

12. Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке Е и пересекает вторую сторону в точках А и В (точка А лежит между В и D). В окружности проведен диаметр АС.
а) Докажите, что отрезок ВС вдвое больше отрезка DЕ.
б) Найдите расстояние от точки Е до прямой АС, если AD = 4 и АВ = 5.

13. Точка М - середина стороны АВ треугольника АВС. Окружность вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке Р.
а) Докажите, что `МР = (|BC - AC|)/ 2`.
б) Известно, что МС = МА, ВС>АС, а отрезок МР относится к радиусу окружности, вписанной в треугольник АВС, как 7 : 4. Найдите углы треугольника АВС.

14. Есть в новом банке ФИПИ

15. На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка В. Из точки В на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры ВС и BD соответственно.
а) Докажите, что AC² +CD² =AD² +BD².
0) Прямые АС и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение AT: TC, если cos ∠ABC = 3/8

16.  Есть в новом банке ФИПИ

17. В треугольнике АВС точки М и N — середины сторон AB и ВС соответственно. Известно, что около четырёхугольника АМNС можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
6) На стороне АС отмечена точка F такая, что ∠ АFВ=135°. Отрезок ВF пересекает отрезок МN в точке Е. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если ∠ АВС =120°, EF = 6√2.

18. Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC.
Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.
а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.
6) Найдите IJ, если АС =12, cos ∠ BDC =3/7.

19. Дана трапеция ABCD с основаниями АР и ВС. Окружность, описанная около треугольника АВС, пересекает боковую сторону CD в точке Ё, а основание AD в точке F, причём АВ = FD.
а) Докажите, что ∠EAD = ∠EDA.
6) Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ=5, ВС =3, а прямые АЕ и CF перпендикулярны.

20. Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника АВС как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках A и D. Касательная, проведённая к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, что ВМ =СМ.
6) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К. Найдите ВК : КР, если `соs∠BAC=(2sqrt5)/5`.

21. Аналогично 41 Ященко.

22. Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке H. Отрезок АР — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH=120°.

23. В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание BC равно боковой стороне. На плоскости выбрали точку Е такую, что прямая ВЕ перпендикулярна прямой AD, а прямая CE перпендикулярна прямой BD.
а) Докажите, что ∠AEB = ∠ADB.
6) Найдите площадь трапеции ABCD, если AB=32, cos∠AEB= 3/4.

24. Отрезок СН — высота прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С. На катетах АС и ВС выбраны точки М и N соответственно такие, что ∠МNH =90°.
а) Докажите, что треугольник МNH подобен треугольнику ABC.
6) Найдите СN, если BC =2, АС=4, СМ =1.

25. В треугольнике АВС угол А равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника АВС, пересекаются в точке Н. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Докажите, что AH = АО.
0) Найдите площадь треугольника АНО . если ВС = √15, ∠ABC =45°.

26. В прямоугольном треугольнике АВС точка М лежит Ha катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С, причём СМ =ВС и СN=АС.
а) Отрезки СН и СF — высоты треугольников ACB и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и СF перпендикулярны.
6) Прямые ВМ и АМ пересекаются в точке L. Найдите LM, если ВС =4, а АС =6.

27. На сторонах АВ, ВС и AC треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АС1:С1В= 21:10, BA1:A1C =2:3, AB1: B1C =2:5. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
6) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС =25.

28. В остроугольном треугольнике АВС проведены высота CC1 и медиана AA1, причём точки A, С, А1 и С1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
6) Найдите площадь треугольника АВС, если АА1 :СС1 =3:2 и A1C1 =2.

29. Биссектрисы острых углов A и В прямоугольного треугольника ABC пересекают окружность, описанную около этого треугольника, в точках A1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что угол А1ВВ1 равен 45°
6) Биссектриса угла с пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, точке C1. Найдите В1С1 если АВ = 2√3, ∠BAC = 60°

30. Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат большей и меньшей окружностях соответственно.
Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
Прямая ВС вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что AE параллельно BD.
6) Найдите АС. если радиусы окружностей равны 8 и 15.

31. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника ABC вторично
пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L.
Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы AB,
пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, что ∠BML= ∠ВАС.
6) Найдите площадь треугольника АВС ‚если АВ =20 и СМ = 3√5.

32. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Точки М и N — середины сторон АВ и CD соответственно. Окружность проходит через точки В и С и пересекает отрезки ВМ и СN в точках Р и Q, отличных от концов отрезков, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, Р и Q лежат на одной окружности.
6) Найдите QN, если отрезки DР и РС перпендикулярны, АВ=26, ВС =4,5,  CD=25,  AD=21,5.

33. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке К.
Прямая касается первой окружности в точке A, а второй окружности в точке В.
Луч ВК пересекает первую окружность в точке D, луч АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — трапеция.
6) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.

34. Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что ∠РОА = ∠РАО.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 10, ∠BAC = 75°, ∠АВС= 60°.

34-2. Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что ∠РОА = ∠РАО.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, ∠BAC = 75°, ∠АВС= 60°.

35. Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что OP =СР.
6) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если расстояние от точки Р до прямой АС равно 18, ∠АВC= 60 °.

36. Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что ∠POC = ∠PCO.
6) Найдите площадь треугольника АРС, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 8, ∠ABC = 60°.

37. В остроугольном треугольнике АВС угол A равен 60°. Высоты BN и СМ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Докажите, что АН = AO.
6) Найдите площадь треугольника AHO, если BC =6√3, ∠ABC =45°.

38. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника АВС проведена высота СН.
а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках АН и ВН соответственно как на диаметрах, равно (tg АВС)⁴.
6) Пусть точка О1 — центр окружности диаметром АН, вторично пересекающей отрезок АС в точке Р, а точка О2 — центр окружности диаметром BH, вторично пересекающей отрезок ВС в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника O1 PQO2, если АС =12, ВС =10.

Задания из сборников Ященко 

34-2 из сборника и была на реальном ЕГЭ.

39. Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

40. Точки 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ – середины сторон соответственно 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴₁𝐶𝐵₁, 𝐴₁𝐵𝐶₁ и 𝐵₁𝐴𝐶₁, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 13 и 𝐵𝐶 = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников 𝐴₁𝐶𝐵₁, 𝐴₁𝐵𝐶₁ и 𝐵₁𝐴𝐶₁.

41. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐴𝐸 = 𝐸𝐷 = 𝐶𝐷, а прямые 𝐴𝐶 и 𝐵𝐸 перпендикулярны. Отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑇.
а) Докажите, что прямая 𝐸𝐶 пересекает отрезок 𝑇𝐷 в его середине.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝑇, если 𝐵𝐷 = 6, 𝐴𝐸 =√6.

42. Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника
𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты,
опущенной из вершины 𝐶. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники
𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷.
а) Докажите, что 𝐼 и 𝐽 лежат на отрезке 𝐸𝐹.
б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 15, 𝐵𝐶 = 20.

43. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸.
а) Докажите, что 𝐴𝐿 : 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶.
б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 21, tg∠𝐵𝐶𝐴 = 0,4.

44. На стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 так, что 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 4. Через точку 𝐸 перпендикулярно 𝐵𝐶 провели прямую, которая пересекает диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 в точках 𝑅 и 𝑀 соответственно , при этом 𝐵𝑅 : 𝑅𝐷 = 1 : 3.
a) Докажите, что точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐶 в отношении 2 : 1, считая от вершины 𝐶.
б) Найдите периметр ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝑀𝑅 = 2√3.

45. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, а диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, причём 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1:2, причём 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1:3.
a) Докажите, что прямая 𝑀𝑁 делит сторону ромба 𝐵𝐶 в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если 𝑀𝑁 = `sqrt12`.

46. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С вне треугольника АВС построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LС = 4.

47. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника АВС отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2 KN. Точка Р — середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ = 1 и ∠ВСМ = 15°.

48. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что АВ = ВС = CD = 36.
а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
б) Найдите AD.

49. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол АВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

50. Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром О₂ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 9, ВС = 8, CD = 4, AD = 15.
а) Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите О₁О₂.

51. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

52. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника AB₁C₁.
а) Докажите, что C₁Q - биссектриса угла AC₁B₁.
б) Найдите расстояние от точки O до центра окружности, вписанной в треугольник AC1B1, если известно, что BC=15, AB=13, AC=14.

53. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC=120°.
а) Докажите, что ∠ CBE = ∠COE
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE=40 и CE=24.

54 см. в старом банке

55. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону.

56. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причем H - середина AE.
а) Докажите, что четырехугольник BCFE - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB =5 и AH = 4.