КЭС: Геометрия. Тип ответа: Развернутый ответ. Мы для вас перебрали весь новый и весь старый банк, оставили дубли в единичном экземпляре, ничего лишнего и, в то же время, полный комплект заданий по геометрии с развернутым ответом ко второй части ЕГЭ по профильной математике.
ВСЕ задания из ОБОИХ банков ФИПИ.
Ответы в процессе подготовки. Наш проект волонтерский. Если вы можете помочь с ответами, прикрепляйте их в комментариях в печатном виде.
Все задания с развернутым ответом по геометрии из нового банка ФИПИ
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 30° , В1С1 = 5 и площадь треугольника АВ1С1 в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Четырехугольник BCB1C1 вписанный, отсюда имеем:
∠BCB1 +∠B1C1B = 180º = ∠B1C1B + ∠B1C1A
∠BCB1 =∠B1C1A так как: 180º - ∠B1C1B = ∠B1C1A
Тогда △ ABC ∼ △AB1C1 по двум углам, так как ∠BCA = ∠B1C1A и ∠A — общий.
б) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AB1C1 равен k. Тогда имеем:
`SABC: S_AB1C1 = (S+5S)/S= k^2`
k = √6
Из подобия получаем
BC = √6B1C1 = 5√6
Так как треугольники подобные, то ВС||В1С1, получается вписанная трапеция равнобедренная, а значит треугольники тоже равнобедренные
Пусть AB1=x, тогда АВ=x√6
По теореме косинусов для ΔABB1:
В1В2 = АВ2+АВ12-2АВ1*cosA
В1В2 = (x√6)2+x2-2*x*x√6 cos30
В1В2 = 7x2-x2√18
`ВВ_1 = xsqrt(7-3sqrt2)`
По теореме синусов для ΔABB1:
`(AB)/(sinAB1B) = (BB1)/(sinA)=(AB1)/(sinABB1)`
`sinAB1B =(AB sinA)/(BB1)`
sinAB1B = sinBB1C
`sinBB1C=(xsqrt6*1/2)/(xsqrt(7-3sqrt2))`
`sinBB1C=(sqrt6)/(2(7-3sqrt2))`
Тогда радиус
`2R = (BC)/(sinBB1C)`
`R = (5sqrt6 * 2 sqrt (7-3sqrt2))/(2*sqrt6)`
`R = 5sqrt(7-3sqrt2)`
Ответ:
б) `5sqrt6`; `5sqrt(7-3sqrt2)`
Номер: AA7FF7
Дайте развернутый ответ.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M , а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P .
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7 , AD=23 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что точка P лежит на OD.
Углы ∠AMD = ∠CND = 90º, так как это вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей. Тогда точка P — ортоцентр (пересечение высот) треугольника ACD. Угол AOD между диагоналями прямой по условию, значит, DO — третья высота в треугольнике ACD и тоже проходит через точку P.
Трапеция ABCD равнобокая, следовательно, треугольники DBC и ACB равны, откуда ∠DBC =∠ACB и OB = OC. Угол ∠BOC = 90° по условию, тогда треугольник BOC — прямоугольный равнобедренный, а ∠OBC = 45°. Углы
∠CND = ∠BCN = 90° как накрест лежащие.
Тогда по сумме углов треугольника BCP:
∠CP B =180º− 90º− 45º = 45º = ∠CBP ⇒ CB = CP
Прямая OC — серединный перпендикуляр к отрезку BP, точка A лежит на прямой OC, следовательно, AB = AP. Получили, что в выпуклом четырехугольнике ABCP суммы противоположных сторон равны:
AB + CP = BC + AP
Значит в четырехугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники AOD и BOC:
∠OBC =∠OAD = 45º ⇒ BO = BC = `7/(sqrt2)`, AO = OD = `23/(sqrt2)`
Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABO:
`AB = sqrt(BO^2+AO^2) =sqrt(24,5+264,5) = 17 = AP`
Площадь четырехугольника ABCP из соображений симметрии равна удвоенной площади треугольника ABC:
`S_ABCP =2S_ABC=
=2*1/2(AO+OC)*BO=
=2*1/2(23/(sqrt2)+7/(sqrt2))*7/(sqrt2)=
=30/(sqrt2)*7/(sqrt2)=105`
Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности S = p⋅r, значит
`r=S_(ABCP)/p=105/((17+17+7+7)/2)=105/24=35/8`
Ответ:
б) 35/8
Номер: B45F0C
Дайте развернутый ответ.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD .
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=12 и BD=6,5 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
Номер: 5CBC00
Дайте развернутый ответ.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Так как плоскость, проведенная через точку Т параллельна АС, то линия пересечения TS этой плоскости с гранью ADC параллельна AC, а так как плоскость параллельна BD, то линия пересечения TK этой плоскости с гранью ABD параллельна BD. AC лежит в плоскости основания ABC, поэтому линия пересечения KP основания ABC и плоскости TSPK параллельна AC, наконец, BD принадлежит грани BDC, и поэтому линия пересечения SP плоскости TSPK и грани BDC параллельна BD.
TS||AC и KP||AC ⇒ TS||KP, TK||BD и SP||BD ⇒ TK||SP получается TSPK - параллелограмм. Докажем что какой-либо угол прямой.
Точка H середина AC. Так как AD = DC, то DH⊥AC, так как AB = BC, то BH⊥AC, и DHB⊥AC. Через прямую ТK, параллельную BD, проведем плоскость, параллельную DHB, которая пересечет AC в точке М,
TMK||DHB ⇒ TMK⊥AC ⇒ TK⊥AC. TK⊥AC и TS||AC ⇒ TS⊥TK и TSPK - прямоугольник.
б) AT:TD=2:1 и AD=3x, тогда TD = x, AT = 2x TD:AD=1:3 AT:AD=2:3
ΔATK ∼ ΔADB ⇒ `TK/BD=AT/AD=2/3 ⇒ TK=2/3 BD = 2/3 * 5 = 10/3 `
ΔTDS ∼ ΔADC ⇒ `TS/AC=TD/AD=1/3 ⇒ TS=1/3 *AC = 1/3 * 6 = 2 `
`S_(TSPK)= TK*TS=10/3 * 2 = 20/3`
Ответ:20/3
Номер: 30ED04
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 45∘ , В1С1= 6 и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Четырехугольник BCB1C1 вписанный, отсюда имеем:
∠BCB1 +∠B1C1B = 180º = ∠B1C1B + ∠B1C1A
∠BCB1 =∠B1C1A так как: 180º - ∠B1C1B = ∠B1C1A
Тогда △ ABC ∼ △AB1C1 по двум углам, так как ∠BCA = ∠B1C1A и ∠A — общий.
б) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AB1C1 равен k. Тогда имеем:
`S_ABC : S_AB1C1 = (S+8S)/S= k^2`
k = 3
Из подобия получаем
BC = 3B1C1 = 18
По условию ∠A = 45∘. Обозначим угол CC1B через α. Так как он внешний в треугольнике CAC1, то имеем:
∠ACC1 =∠CC1B − ∠CAC1 = α − 45∘
Обозначим искомый радиус через R. Запишем теорему синусов для треугольников CB1C1 и CC1B с учетом того, что у них общая описанная окружность:
`(B_1C_1)/(sin∠B_1C C_1) = 2R = (CB)/(sin∠C C_1B)`
`6/(sin (α − 45°)) = 2R = 18/(sinα)`
`sin (α − 45°) = (sin α)/3`
`sin α cos(−45°) + sin(−45°) cos α = (sin α)/3`
`sin α - cos α = (sqrt2)/3 * sin α`
`sin α (1 - (sqrt2)/3) = cos α`
Далее имеем:
α < 180° тогда sin α > 180°
`sqrt(1-cos^2 α) (1 - (sqrt2)/3) = cos α cos α≥180°`
`(1-cos^2 α) (1 - (2sqrt2)/3 +2/9) = cos^2 α `
`(11 - 6sqrt2) = cos^2 α(20 - 6sqrt2)`
`cos^2 α = 1-9/(20 - 6sqrt2)`
`sin^2 α = 9/(20 - 6sqrt2)`
`sin α = 3/(sqrt(20 - 6sqrt2))`
Отсюда окончательно получаем
`R = 9/(sinα)= 3sqrt(20− 6sqrt2)`
Ответ:
б) 18; `3sqrt(20− 6sqrt2)`
Номер: 2EBDBF
Дайте развернутый ответ.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M , а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P .
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7 , AD=17 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что точка P лежит на OD.
Углы ∠AMD = ∠CND = 90º, так как это вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей. Тогда точка P — ортоцентр (пересечение высот) треугольника ACD. Угол AOD между диагоналями прямой по условию, значит, DO — третья высота в треугольнике ACD и тоже проходит через точку P.
Трапеция ABCD равнобокая, следовательно, треугольники DBC и ACB равны, откуда ∠DBC =∠ACB и OB = OC. Угол ∠BOC = 90° по условию, тогда треугольник BOC — прямоугольный равнобедренный, а ∠OBC = 45°. Углы
∠CND = ∠BCN = 90° как накрест лежащие.
Тогда по сумме углов треугольника BCP:
∠CP B =180º− 90º− 45º = 45º = ∠CBP ⇒ CB = CP
Прямая OC — серединный перпендикуляр к отрезку BP, точка A лежит на прямой OC, следовательно, AB = AP. Получили, что в выпуклом четырехугольнике ABCP суммы противоположных сторон равны:
AB + CP = BC + AP
Значит в четырехугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники AOD и BOC:
∠OBC =∠OAD = 45º ⇒ BO = BC = `7/(sqrt2)`, AO = OD = `17/(sqrt2)`
Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABO:
`AB = sqrt(BO^2+AO^2) =sqrt(24,5+144,5) = 13 = AP`
Площадь четырехугольника ABCP из соображений симметрии равна удвоенной площади треугольника ABC:
`S_ABCP =2S_ABC=
=2*1/2(AO+OC)*BO=
=2*1/2(17/(sqrt2)+7/(sqrt2))*7/(sqrt2)=
=24/(sqrt2)*7/(sqrt2)=84`
Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности S = p⋅r, значит
`r=S_(ABCP)/p=84/((13+13+7+7)/2)=84/20=21/5`
Ответ:
б) 21/5
Номер: D57CB9
Дайте развернутый ответ.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Так как плоскость, проведенная через точку Т параллельна АС, то линия пересечения TS этой плоскости с гранью ADC параллельна AC, а так как плоскость параллельна BD, то линия пересечения TK этой плоскости с гранью ABD параллельна BD. AC лежит в плоскости основания ABC, поэтому линия пересечения KP основания ABC и плоскости TSPK параллельна AC, наконец, BD принадлежит грани BDC, и поэтому линия пересечения SP плоскости TSPK и грани BDC параллельна BD.
TS||AC и KP||AC ⇒ TS||KP, TK||BD и SP||BD ⇒ TK||SP получается TSPK - параллелограмм. Докажем что какой-либо угол прямой.
Точка H середина AC. Так как AD = DC, то DH⊥AC, так как AB = BC, то BH⊥AC, и DHB⊥AC. Через прямую ТK, параллельную BD, проведем плоскость, параллельную DHB, которая пересечет AC в точке М,
TMK||DHB ⇒ TMK⊥AC ⇒ TK⊥AC. TK⊥AC и TS||AC ⇒ TS⊥TK и TSPK - прямоугольник.
б) AT:TD=1:2 и AD=3x, тогда TD = 2x, AT = x AT:AD=1:3 TD:AD=2:3
ΔATK ∼ ΔADB ⇒ `TK/BD=AT/AD=1/3 ⇒ TK=1/3 BD = 1/3 * 9 = 3 `
ΔTDS ∼ ΔADC ⇒ `TS/AC=TD/AD=2/3 ⇒ TS=2/3 AC = 2/3 * 5 = 10/3 `
`S_(TSPK)= TK*TS=10/3 * 3 = 10`
Ответ:10
Номер: 149319
Дайте развернутый ответ.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4 , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12 , угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
Смотреть ответ аналогичного задания где AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4 (A96557)
Номер: 56C211
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 135∘ , B1C1=10 и площадь треугольника АВ1С1 в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Четырехугольник BCB1C1 вписанный, отсюда имеем:
∠BCB1 +∠B1C1B = 180º = ∠B1C1B + ∠B1C1A
∠BCB1 =∠B1C1A так как: 180º - ∠B1C1B = ∠B1C1A
Тогда △ ABC ∼ △AB1C1 по двум углам, так как ∠BCA = ∠B1C1A и ∠A — общий.
б) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AB1C1 равен k. Тогда имеем:
`SABC: S_AB1C1 = (S+8S)/S= k^2`
k = √9 = 3
Из подобия получаем
BC = 3B1C1 = 30
Так как треугольники подобные, то ВС||В1С1, получается вписанная трапеция равнобедренная, а значит треугольники тоже равнобедренные
Пусть AB1=x, тогда АВ=x*3
По теореме косинусов для ΔABB1:
В1В2 = АВ2+АВ12-2АВ1*cosA
В1В2 = (3x)2+x2-2*x*3x cos135
`ВВ_1^2 = 10x^2 + 6x^2/(sqrt2)` меняется знак, так как cos 135 =`(-1)/sqrt2`
`ВВ_1 = xsqrt(10+6/sqrt2)`
По теореме синусов для ΔABB1:
`(AB)/(sinAB1B) = (BB1)/(sinA)=(AB1)/(sinABB1)`
`sinAB1B =(AB sinA)/(BB1)`
sinAB1B = sinBB1C
`sinBB1C=(3x(sqrt2)/2)/(xsqrt(10+6/sqrt2))`
`sinBB1C=(3(sqrt2)/2)/(sqrt(10+6/sqrt2))`
Тогда радиус
`2R = (BC)/(sinBB1C)`
`2R = (30sqrt(10+6/sqrt2))/(3(sqrt2)/2)`
`2R = (20sqrt(10+6/sqrt2))/(sqrt2)`
`2R = (20sqrt2sqrt(10+6/sqrt2))/2`
`2R = 10sqrt2sqrt(10+6/sqrt2)`
`R = 5sqrt2sqrt(10+6/sqrt2)`
`R = 5sqrt(20+12/sqrt2)`
Ответ:
б) 30; `5sqrt(20+12/sqrt2)`
Номер: 3CDB1B
Дайте развернутый ответ.
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC , перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K . При этом AK:KC=1:2 .
а) Докажите, что ∠BAC=30° .
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P , а прямые AP и BK — в точке Q . Найдите KQ , если BC=√21 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 5E7BDE
Дайте развернутый ответ.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4 , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12 , угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
Номер: A96557
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А= 45° , В1С1= 6 и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Четырехугольник BCB1C1 вписанный, отсюда имеем:
∠BCB1 +∠B1C1B = 180º = ∠B1C1B + ∠B1C1A
∠BCB1 =∠B1C1A так как: 180º - ∠B1C1B = ∠B1C1A
Тогда △ ABC ∼ △AB1C1 по двум углам, так как ∠BCA = ∠B1C1A и ∠A — общий.
б) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AB1C1 равен k. Тогда имеем:
`SABC: S_AB1C1 = (S+8S)/S= k^2`
k = √9 = 3
Из подобия получаем
BC = 3B1C1 = 3*6=18
Так как треугольники подобные, то ВС||В1С1, получается вписанная трапеция равнобедренная, а значит треугольники тоже равнобедренные
Пусть AB1=x, тогда АВ=x*3
По теореме косинусов для ΔABB1:
В1В2 = АВ2+АВ12-2АВ1*cosA
В1В2 = (3x)2+x2-2*x*3x cos45
`ВВ_1^2 = 10x^2 - 6x^2/(sqrt2)` cos 45 =`1/sqrt2`
`ВВ_1 = xsqrt(10-6/sqrt2)`
По теореме синусов для ΔABB1:
`(AB)/(sinAB1B) = (BB1)/(sinA)=(AB1)/(sinABB1)`
`sinAB1B =(AB sinA)/(BB1)`
sinAB1B = sinBB1C
`sinBB1C=(3x(1/sqrt2))/(xsqrt(10-6/sqrt2))`
`sinBB1C=3/(sqrt(20-12/sqrt2))`
Тогда радиус
`2R = (BC)/(sinBB1C)`
`2R = (18)/(3/(sqrt(20-12/sqrt2))`
`R = (18sqrt(20-12/sqrt2))/(2*3)`
`R = 3sqrt(20-12/sqrt2)`
Ответ:
б) 18; `3sqrt(20-12/sqrt2)`
Номер: 829956
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC . Точка K — середина ребра A1B1 , а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3 .
а) Докажите, что KM⊥AC .
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1 , если AB=6 , AC=8 и AA1=3 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: F7B7A1
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1
б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если ∠A=150° , BC=√55 и площадь треугольника АВ1С1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Четырехугольник BCB1C1 вписанный, отсюда имеем:
∠BCB1 +∠B1C1B = 180º = ∠B1C1B + ∠B1C1A
∠BCB1 =∠B1C1A так как: 180º - ∠B1C1B = ∠B1C1A
Тогда △ ABC ∼ △AB1C1 по двум углам, так как ∠BCA = ∠B1C1A и ∠A — общий.
б) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AB1C1 равен k. Тогда имеем:
`SABC: S_AB1C1 = (S+4S)/S= k^2`
k = √5
Из подобия получаем
B1C1 = BC/√5 = √55/√5=√11
Так как треугольники подобные, то ВС||В1С1, получается вписанная трапеция равнобедренная, а значит треугольники тоже равнобедренные
Пусть AB1=x, тогда АВ=x*√5
По теореме косинусов для ΔABB1:
В1В2 = АВ2+АВ12-2АВ1*cosA
В1В2 = (√5 x)2+x2-2*x*√5 x cos150
`ВВ_1^2 = 6x^2 + 2sqrt5sqrt3x^2/2` cos 120 =`-√3/2`
`ВВ_1^2 = 6x^2 + sqrt15x^2`
`ВВ_1 = xsqrt(6+sqrt15)`
По теореме синусов для ΔABB1:
`(AB)/(sinAB1B) = (BB1)/(sinA)=(AB1)/(sinABB1)`
`sinAB1B =(AB sinA)/(BB1)`
sinAB1B = sinBB1C
`sinBB1C=(xsqrt5*(sqrt(3)/2))/(xsqrt(6+sqrt15))`
`sinBB1C=(sqrt15)/(2sqrt(6+sqrt15))`
Тогда радиус
`2R = (BC)/(sinBB1C)`
`R = (sqrt55*2sqrt(6+sqrt15))/(2sqrt15)`
`R = sqrt825*sqrt(6+sqrt15)`
`R = 5sqrt(198+33sqrt15)`
Ответ:
б) √11; `5sqrt(198+33sqrt15)`
Номер: 8F66A4
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1
б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если ∠A=120° , BC=10√7 и площадь треугольника АВ1С1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
а) Четырехугольник BCB1C1 вписанный, отсюда имеем:
∠BCB1 +∠B1C1B = 180º = ∠B1C1B + ∠B1C1A
∠BCB1 =∠B1C1A так как: 180º - ∠B1C1B = ∠B1C1A
Тогда △ ABC ∼ △AB1C1 по двум углам, так как ∠BCA = ∠B1C1A и ∠A — общий.
б) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AB1C1 равен k. Тогда имеем:
`SABC: S_AB1C1 = (S+3S)/S= k^2`
k = √4 = 2
Из подобия получаем
B1C1 = BC/2 = (10√7)/2=5√7
Так как треугольники подобные, то ВС||В1С1, получается вписанная трапеция равнобедренная, а значит треугольники тоже равнобедренные
Пусть AB1=x, тогда АВ=x*2
По теореме косинусов для ΔABB1:
В1В2 = АВ2+АВ12-2АВ1*cosA
В1В2 = (2x)2+x2-2*x*2x cos120
`ВВ_1^2 = 5x^2 + 4x^2/2` cos 120 =`-1/2`
`ВВ_1^2 = 5x^2 + 2x^2`
`ВВ_1 = xsqrt7`
По теореме синусов для ΔABB1:
`(AB)/(sinAB1B) = (BB1)/(sinA)=(AB1)/(sinABB1)`
`sinAB1B =(AB sinA)/(BB1)`
sinAB1B = sinBB1C
`sinBB1C=(2x((sqrt3)/2))/(xsqrt7)`
`sinBB1C=(sqrt3)/(sqrt7)`
Тогда радиус
`2R = (BC)/(sinBB1C)`
`R = (5sqrt7sqrt7)/(sqrt3)`
Ответ:
б) 18; `35/sqrt3`
Номер: 2B52E7
Дайте развернутый ответ.
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC , пересекает сторону AD в точке M , равноудалённой от вершин B и D .
а) Докажите, что ∠ABM=∠DBС=30° .
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM , если BC=9 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: FAAE63
Дайте развернутый ответ.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1:2 , на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1:5 , а точка Т — середина ребра B1C1 . Известно, что AB=2 , AD=6 , AA1=6 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1 .
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: E95564
Дайте развернутый ответ.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD .
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
б) Найдите CD , если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5 .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 00E23C
Дайте развернутый ответ.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9 . Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E , а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4 .
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q . Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC .
КЭС: 5 Геометрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: EA6B32
Дайте развернутый ответ.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1:C1B=8:3, BA1:A1C=1:2, AB1:B1C=1:3. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если отрезки AD иBC перпендикулярны, AC=16, BC=15.
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 4F4F44
Дайте развернутый ответ.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=2, SK=1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 03B44B
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=60° , ∠BCA=45° .
а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H , если BC=2√3 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 2AE241
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C1 , причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45° , AB=2√3 , CC1=2√6 .
а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60° .
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1 .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями
Решение:
...
Ответ:
Номер: C84642
Дайте развернутый ответ.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8 . Известно, что AB=BC=CD=12 .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD .
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.3 Трапеция 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: C5B743
Дайте развернутый ответ.
Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. а) Докажите, что cos∠ ASC+cos∠ BSC=1,5. б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1, cos∠ ASC=2/3.
КЭС: 5.4.2 Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 6B5C41
Дайте развернутый ответ.
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD=3:2, BN:NC=1:2.
Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K. а) Докажите, что SK:KC=6:1. б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
КЭС: 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 8EEB4F
Дайте развернутый ответ.
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α , содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1=10 , AB=12 .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: 8A0B46
Дайте развернутый ответ.
В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC . Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.
а) Докажите, что AM=DM .
б) Найдите угол BAD , если угол ADC равен 70° , а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 4E19FD
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC , пересекаются в точке H . Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC .
а) Докажите, что AH=AO .
б) Найдите площадь треугольника AHO , если BC=√15 , ∠ABC=45° .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 41A5F8
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и C параллелограмма ABCD , пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K .
а) Докажите, что BK=BE .
б) Найдите отношение KE:AC , если ∠BAD=30° .
КЭС: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0BC5F1
Дайте развернутый ответ.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO. а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.
КЭС: 5.1.3 Трапеция 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: B58CFA
Дайте развернутый ответ.
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α , если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
КЭС: 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 182CF4
Дайте развернутый ответ.
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠ BAD=60°.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Дополнительно: Решение аналогичной задачи с другими данными
Решение аналога 2412FA
Номер: 2412FA
Дайте развернутый ответ.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M — середина ребра AB . Плоскость a перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и D . Прямая SC пересекает плоскость a в точке K .
а) Докажите, что KM=KD .
б) Найдите объём пирамиды CDKM .
КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 9A3AF9
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB=20 , BB1=15 , B1C1=21 .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 416B0F
Дайте развернутый ответ.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC .
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD , если AD=15 и AC=261−−√ .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 060A0A
Дайте развернутый ответ.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 5, а боковое ребро SA равно 9. Точка M лежит на ребре AB , AM=1 , а точка K лежит на ребре SC . Известно, что MK=KD .
а) Докажите, что плоскость DKM перпендикулярна плоскости ABC .
б) Найдите площадь треугольника DKM .
КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 065E0A
Дайте развернутый ответ.
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M .
а) Докажите, что ∠BAM=∠CAD .
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Найдите площадь треугольника AOB , если AB=√10 , а BC=2BM .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: B3890A
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если AB=7 , BB1=24 , B1C1=10 .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 13D60B
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка M — середина ребра A1B1.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K делит ребро B1C1 в отношении B1K:KC1=2:3.
КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: ED4407
Дайте развернутый ответ.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=2, SK=1. Плоскость a перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.
а) Докажите, что плоскость a содержит точку C.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью a.
КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 3C8708
Дайте развернутый ответ.
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15 , KL=6 , LB=5 .
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.3 Трапеция 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: D9D771
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C1 , причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30° , AB=√2 , CC1=2 .
а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 45° .
б) Найдите объём цилиндра.
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: D7147A
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC продолжения высоты CC1 и биссектрисы BB1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ ABC=40°, ∠ ACB=85°.
а) Докажите, что BM=CN.
б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 54E571
Дайте развернутый ответ.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно √21. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=4, SK:KB=1:3.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
КЭС: 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 4679B2
Дайте развернутый ответ.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.
б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: B5D2B2
Дайте развернутый ответ.
В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6√2 .
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2 . Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: 5D991D
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K .
а) Докажите, что AE=AK .
б) Найдите отношение KE:BD , если ∠BAD=60° .
КЭС: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: 813416
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что AB+BC=4AC. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=9/5, LN=3.
КЭС: 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: 7C842B
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M:MD1=1:2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD. б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями
Решение:
...
Ответ:
Номер: 72412D
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D .
а) Докажите, что AE=AK .
б) Найдите AD , если CE=10 , DK=9 и cos∠BAD=0,2 .
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: 73BE23
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120° , ∠BCA=45° .
а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H , если BC=6√3 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: EA7D2B
Дайте развернутый ответ.
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE. а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC. б) Найдите EL, если AC=8, tg∠ BCA=1/2.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: FC6FD7
Дайте развернутый ответ.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2 . Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC .
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA .
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями
Решение:
...
Ответ:
Номер: 142CDC
Дайте развернутый ответ.
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD , причём AB=2√2 , BC=4 . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB .
а) Докажите, что P — середина отрезка BQ .
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC , если SD=4 .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: C185DD
Дайте развернутый ответ.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6√2 , AD=10 , AA1=16 . На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=5:3 и B1F:FB=5:11 . Точка T — середина ребра B1C1 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1 .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: C300DC
Дайте развернутый ответ.
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC , а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C , причём CM=BC и CN=AC .
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K , а прямые BM и AN — в точке L . Найдите KL , если BC=1 , а AC=5 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: EF3DDA
Дайте развернутый ответ.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3 . Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC .
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA .
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями
Решение:
...
Ответ:
Номер: 876DD3
Дайте развернутый ответ.
В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2 .
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3 . Найдите площадь сечения MNB .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
Все грани правильной пирамиды – равнобедренные треугольники, а все её боковые ребра равны между собой.
Решение из демо 2024:
а) Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны, поскольку катет AD общий, а AB = AC. Прямоугольные треугольники ABD и BCD равны, поскольку катет BD общий, а AB = BC.
Значит, BD = CD = AD.
AB = BC = AC по условию,
следовательно, пирамида правильная, ч.т.д.
б) Найдём боковые рёбра. Треугольник BCD – равнобедренный и прямоугольный, поэтому
`BD=CD=(BC)/sqrt2=5`.
Аналогично, AD = 5 .
Найдём стороны треугольника MNB:
`MB=NB=sqrt(ND^2+DB^2)=sqrt29`,
`MN=sqrt(MD^2+DN^2)=2sqrt2`.
Площадь равнобедренного треугольника MNB равна
`1/2⋅MN⋅sqrt(MB^2-((MN)/2)^2)=3sqrt6 `
Ответ: б) `3sqrt6 `
Номер: 429E53
Дайте развернутый ответ.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM=BN=3 .
а) Точки O и O1 — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 соответственно. Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника CMN .
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости CMN .
КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями
Решение:
...
Ответ:
Номер: F416AF
Дайте развернутый ответ.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=5, BC=3, AA1=4. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
КЭС: 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0B28A5
Дайте развернутый ответ.
Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 5259A1
Дайте развернутый ответ.
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: A7A4AB
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30° , ∠BCA=45° .
а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H , если BC=4√3 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 9595A4
Дайте развернутый ответ.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=2√2 , AD=6 , AA1=10 . На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=3:2 и B1F:FB=3:7 . Точка T — середина ребра B1C1 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1 .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: E8E9A7
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C1 , причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30° , AB=1 , CC1=2√2 .
а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60° .
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: E8FAA5
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ. а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру AB. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, считая от точки P, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.
КЭС: 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: 82F7A1
Дайте развернутый ответ.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD=1/5 .
б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 78A6C2
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1 , если AB=6 , BB1=15 , B1C1=8 .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: 77C190
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC точки A1 , B1 и C1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120° , ∠BCA=15° .
а) Докажите, что точки A1 , B1 , C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H , если BC=4√3 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: BAD790
Дайте развернутый ответ.
Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD , причём ∠BAD+∠ADC=90° . Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD .
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды KBCP , если AB=BC=CD=4 , а высота пирамиды PABCD равна 9.
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: 9B8297
Дайте развернутый ответ.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B1 и C1 , причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1 , если AB=21 , BB1=12 , B1C1=16 .
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: 8EBB9F
Дайте развернутый ответ.
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM=45°. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=2√10.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: 86B99A
Дайте развернутый ответ.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:MC=1:4.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: F2A2EB
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B1K:KC1=1:2. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0549EB
Дайте развернутый ответ.
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H . Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту AA1 в точке K.
а) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅C1H.
б) Найдите отношение площадей треугольников C1HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0063ED
Дайте развернутый ответ.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: BE8FE4
Дайте развернутый ответ.
Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2.
а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды равны 6.
КЭС: 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 1D76E2
Дайте развернутый ответ.
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2 . Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P , Q , M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: 1F7CE6
Дайте развернутый ответ.
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N=6.
КЭС: 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями
Решение:
...
Ответ:
Номер: A47BE8
Дайте развернутый ответ.
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что AB:BC=AE:EK. б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: 003F6E
Дайте развернутый ответ.
Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA. а) Плоскость α пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS. б) Плоскость α делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.
КЭС: 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.7 Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Решение:
...
Ответ:
Номер: DE9364
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M:MD1=1:2, а точка K — середина ребра DD1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: C87061
Дайте развернутый ответ.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4. б) Найдите сторону ромба, если MN=√6.
КЭС: 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: E80769
Дайте развернутый ответ.
На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M , причём SM:MD=2:1 . Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: 6F3F6D
Дайте развернутый ответ.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C . Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E , а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D .
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите BC , если радиусы окружностей равны √15 и 15.
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 7E3432
Дайте развернутый ответ.
Окружность с центром O1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD . Окружность с центром O2 касается сторон BC , CD и AD . Известно, что AB=10 , BC=9 , CD=30 , AD=39 .
а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна основаниям трапеции ABCD .
б) Найдите O1O2 .
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.3 Трапеция 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: 7EEB3E
Дайте развернутый ответ.
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α , содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1=6 , AB=4 .
КЭС: 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.3 Многогранники 5.5 Измерение геометрических величин
Решение:
...
Ответ:
Номер: 17B23F
Дайте развернутый ответ.
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD . На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O .
а) Докажите, что CO=KO .
б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD , если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 15EF35
Дайте развернутый ответ.
Окружность проходит через вершины A , B и D параллелограмма ABCD , пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N .
а) Докажите, что AM=AN .
б) Найдите отношение CD:DN , если AB:BC=1:2 , а cos∠BAD=2/3 .
КЭС: 5.1.1 Треугольник 5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 5.1.4 Окружность и круг
Решение:
...
Ответ:
Номер: 909839
Дайте развернутый ответ.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC .
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD . Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD , если BC=16 и AB=10 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 832C34
Дайте развернутый ответ.
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ. а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.
КЭС: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение:
...
Ответ:
Номер: FA228B
Дайте развернутый ответ.
На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1 , A1 и B1 соответственно, причём AC1:C1B=21:10 , BA1:A1C=2:3 , AB1:B1C=2:5 . Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D .
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD , если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=63 , BC=25 .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: AC2684
Дайте развернутый ответ.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.
КЭС: 5.1.3 Трапеция 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Решение:
...
Ответ:
Номер: E87882
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC , пересекаются в точке H . Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC .
а) Докажите, что AH=AO .
б) Найдите площадь треугольника AHO , если BC=3 , ∠ABC=15° .
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 3B468E
Дайте развернутый ответ.
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD , касается её боковой стороны CD в точке M . Луч AM вторично пересекает окружность в точке N , а прямую BC — в точке K , причём AN=4 , MN=12 .
а) Докажите, что ∠AMD=∠MCK .
б) Найдите основания трапеции.
КЭС: 5.1 Планиметрия
Решение:
...
Ответ:
Номер: 8C8D87
Все задания по геометрии 2-й части ЕГЭ из старого банка (без дублей нового)
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что A1P:PB1=3:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 132142
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 3. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=2 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A1B1 .
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 9DEFF7
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD , если ∠BAD=60° и BC=2 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: E16AF4
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD , если ∠BAD=67,5° и BC=3 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: B81100
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что A1P:PB1=2:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 39C879
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD , если ∠BAD=75° и BC=1 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: DDB7A7
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что A1P:PB1=1:2 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 474248
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что A1P:PB1=1:3 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: AC96DF
К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2 ?
Решение:
...
Ответ:
Номер: 6B7451
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=5 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что A1P:PB1=4:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 639055
К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:3 ?
Решение:
...
Ответ:
Номер: C131C9
К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:4 ?
Решение:
...
Ответ:
Номер: EE3463
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, пересекаются в точке P , причём BC=CD .
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD .
б) Найдите площадь треугольника COD , где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD , если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5 , а BC=52–√ .
Решение:
...
Ответ:
Номер: D81F46
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 64597E
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C . На катете AC взята точка M . Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N .
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN , если CN=4 и AM:MC=1:3 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 76AFB6
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6 . Длины боковых рёбер пирамиды SA=3 , SB=5 , SD=3√5 .
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC .
Решение:
...
Ответ:
Номер: DCA9B6
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6 . Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21 , SB=√85 , SD=√57 .
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD .
Решение:
...
Ответ:
Номер: A885B6
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 60, а боковое ребро SA равно 37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 257425
Две окружности касаются внутренним образом в точке A , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P . Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP . Найдите AL , если радиус большей окружности равен 10, а BC=16 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: C4A623
Точка B лежит на отрезке AC . Прямая, проходящая через точку A , касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K . Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D .
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC , если AK=3 и MK=12 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 1549DC
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD , причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD .
б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD , если известно, что BM:MC=1:3 , а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM , DM , BN и CN , равна 18.
Решение:
...
Ответ:
Номер: 2CAEDB
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C , а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 29565E
Две окружности касаются внутренним образом в точке K , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C . Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L .
а) Докажите, что CN:CM=LB:LA .
б) Найдите MN , если LB:LA=2:3 , а радиус малой окружности равен √23 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: AB1F55
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=3 . Длины боковых рёбер пирамиды SA=√11 , SB=3√3 , SD=2√5 .
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB .
Решение:
...
Ответ:
Номер: CB3CC8
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD , вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P . Докажите, что APPD=sinD .
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 43 и 13 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 999FC4
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD .
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD , если ∠BAD=75° и BC=1 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: F6716D
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3 . Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 .
а) Докажите, что A1P:PB1=2:1 , где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 .
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 039761
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1 , считая от точки C .
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 32528E
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM . На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC , если ∠ABC=30° .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 250B4D
В трапеции ABCD точка E — середина основания AD , точка M — середина боковой стороны AB . Отрезки CE и DM пересекаются в точке O .
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE , если BC=3 , AD=4 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: C5C4F4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK=B1L=2 . Точка M — середина ребра A1C1 . Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L .
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M , а основание — сечение данной призмы плоскостью γ .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0BDC03
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC , I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB .
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC .
б) Найдите угол OHI , если ∠ABC=40° .
Решение:
...
Ответ:
Номер: BF1575
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно √2 . На рёбрах AB , A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=B1N=C1K=1 .
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 025013
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2√3 . На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK=C1L=2 . Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L .
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1 , а основание — сечение данной призмы плоскостью γ .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 779E17
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 4√2 . На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK=C1L=2 . Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L .
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ .
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ .
Решение:
...
Ответ:
Номер: C29114
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K , L , M и N — середины сторон AB , BC , CD и AD соответственно.
Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17 .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD .
Решение:
...
Ответ:
Номер: A0FD25
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB , AC и AS отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=AN=3 и AK=74 .
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0E2FD2
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH . Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK , если AB=5 , AC=8 .
Решение:
...
Ответ:
Номер: AAF5C4
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH . На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найдите отношение BH к ED , если ∠BCD=120° .
Решение:
...
Ответ:
Номер: BD119B
В треугольнике ABC угол ABC равен 60° . Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M .
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC , если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Решение:
...
Ответ:
Номер: 6FC99C
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2√2 . На рёбрах AB , A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=B1N=C1K=2 .
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .
Решение:
...
Ответ:
Номер: F5A762
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC , I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB .
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC .
б) Найдите угол OHI , если ∠ABC=70° .
Решение:
...
Ответ:
Номер: A74E6D
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB , CD и AS отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=DN=4 и AK=3 .
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 859A67
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK=1 . Точки M и L — середины рёбер A1C1 и B1C1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L .
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ .
Решение:
...
Ответ:
Номер: 3B7532
