82

Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2.
Найдем скалярное произведение векторов a=(-13;4) и b(-6;1).
По формуле находим:
a·b=(-13)·(-6)+4·1=82

11

`veca`(4-1;5-1)=(3;4) 
`vecb`(5-3;2-3) , 4`vecb`(8;-4)
Координаты искомого вектора будут равны сумме соответствующих координат:
`veca` +4`vecb`(x1+x2; y1+y2) = `veca` +4`vecb`(3+8; 4-4) = `veca` +4`vecb`(11; 0)

А теперь находим его длину
|`veca` +4`vecb`|=`sqrt(11^2+0^2)`=11

86

Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2.
Найдем скалярное произведение векторов a=(14;-2) и b(5;-8).
По формуле находим:
a·b=14·5+(-2)·(-8)=86

62

Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2.
Найдем скалярное произведение векторов a=(-3;5) и b(1;13).
По формуле находим:
a·b=-3·1+5·13=62

8

71

`veca`(5;8)  `vecb`(3;7)
Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2.
Найдем скалярное произведение векторов a=(5;8) и b(3;7).
По формуле находим:
a·b=5·3+8·7=71

41

`veca`(3;7)  `vecb`(2;5)
Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2.
Найдем скалярное произведение векторов a=(3;7) и b(2;5).
По формуле находим:
a·b=3·2+7·5=41

63

Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2.
Найдем скалярное произведение векторов a=(5;-7) и b(14;1).
По формуле находим:
a·b=5·14-7·1=63

7,5

|3|*|5|*cos60°=15*1/2=7,5

10,5

|3|*|7|*cos60°=21*1/2=10,5

10

`|\veca|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10`

40

Координаты вектора `vec(AB)`(8-2;6-4)=(6;2)
Длина вектора `|vec(AB)|=sqrt(36+4)=sqrt(40)`
`vec(AB)`² = 40

200

`veca`(2;6) +  `vecb`(8;4) = `vecc`(10;10)
c²=10² +10²
c²=200

40

При скалярном произведении векторов получается число, не зависящее от системы координат, в которых находятся исходные вектора. Результат является характеристикой длин векторов, составляющих произведение, и угла между ними.
Существует еще векторное произведение, представляющее собой результирующий вектор.
Как вычислить скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов аb равно произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между ними:
аb = |а|*|b| * cos a
В случае плоскостного расположения векторов (а (х1; у1) и b (у1; у2) их скалярное произведение аb будет иметь вид:
аb = х1х2 + у1у2.

`veca`(2;6)`*vecb`(8;4) = 2*8+6*4=16+24=40

200

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(4-2;10-4) а(2;6)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(10-2;6-2) b(8;4)

Квадрат длины вектора a+b равен сумме квадратов его координат, то есть
`veca`(2;6) +  `vecb`(8;4) = `vecc`(10;10)
c²=10² +10²
c²=200

Ответ: 200

40

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(4-2;10-4) а(2;6)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(10-2;6-2) b(8;4)

Найдем координаты вектора a-b, - найдем разность соответствующих координат
a-b(2-8;6-4)=(-6;2)
Длина вектора a-b=√(-6)²+2²=√40
Квадрат из корня равен числу под корнем

Ответ: 40

40

Найдём скалярное произведение по формуле:

ab=a1*b1+a2*b2

 Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(4-2;10-4) а(2;6)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(10-2;6-2) b(8;4)

 Вычисляем скалярное произведение: a*b = x1*x2 + y1*y2

ab=2*8+6*4=40

 Ответ: 40

11

У нас есть векторы с целочисленными координатами, теперь переходим к координатам каждого из векторов по следующему алгоритму: 

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(5-1;8-2) а(4;6)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(11-5;2-4) b(6;-2)
Находим координаты вектора c, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
c(10-9;5-9) c(1;-4)

Координаты искомого вектора будут равны сумме соответствующих координат:
a+b+c(x1+x2+x3; y1+y2+y3) = a+b+c (4+6+1; 6-2-4) = a+b+c (11; 0)

А теперь находим его длину
/a+b+c/=`sqrt(11^2+0^2)`=11

Ответ: 11

-4

Найдём скалярное произведение по формуле:

a*b = x1*x2 + y1*y2

Однако прежде необходимо найти координаты векторов по целочисленным координатам.

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(1-2;3-3) а(-1;0)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(6-2;1-3) b(4;-2)

ab=-1*4+0*-2 = -4

Ответ: -4

2

Найдём скалярное произведение по формуле:

a*b = x1*x2 + y1*y2, при этом у векторов уже есть свой координаты, то есть они не с целочисленными координатами.

ab=1*-4+3*2=-4+6=2

Ответ: 2

12

Найдём скалярное произведение по формуле:

a*b = x1*x2 + y1*y2

Однако прежде необходимо найти координаты векторов по целочисленным координатам.

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(5-1;8-2) а(4;6)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(11-5;3-5) b(6;-2)

ab=4*6+6*-2=24-12=12

Ответ: 12

10

Сложение векторов производим складывая соответствующие координаты между собой

a+2b+c(0+2*-2+4; 3+2*4-1)=a+2b+c(0;10)

Получается вектор идет по оси ординат и значит его длина равна значению по этой оси 10
Ответ: 10

28

Сложение векторов производим складывая соответствующие координаты между собой

a+b=a+b(1+3; 2-6)=a+b(4;-4)

Умножение векторов производим по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2, где берем сумму произведений соответствующих координат

(a+b)*с=4*4+4*3=16+12=28

Ответ: 28 

18

Вычитание  векторов производим вычитая соответствующие координаты между собой. Так как векторы имеют целочисленные координаты найдем их упрощенные координаты.

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(3-1;3-2) а(2;1)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(2-3;8-4) b(-1;4)
Находим координаты вектора c, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
c(9-4;4-5) c(5;-1)

a-b =a-b(2+1;1-4)=a-b(3;-3)

Умножение векторов производим по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2, где берем сумму произведений соответствующих координат

(a-b)*с=(a-b)*с(3*5+3*1)=15+3=18

Ответ: 18

10

Вычитание  векторов производим вычитая соответствующие координаты между собой, а сложение складывая эти координаты

a-2b+c=a-2b+c(0-2*(-2)+4; 3-2*4+(-1))=c=a-2b+c(8; -6)

Теперь находим длину. 

/a-2b+c/=`sqrt(8^2+-6^2)`=10

Ответ: 10

1

Вычитание  векторов производим вычитая соответствующие координаты между собой

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(2-1;1-2) а(-1;1)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(3-5;2-1) b(-2;1)

Производим вычитание векторов

a-b=a-b(-1-(-2); 1-1)=a-b(1;0)

Теперь находим длину. 

/a-b/=`sqrt(1^2+0^2)`=1

Ответ: 1

-15

Скалярное произведение векторов аb равно произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между ними: аb = |а|*|b| * cos a 
При этом cos 150 = -√3/2, можно посмотреть в табличных значениях, тогда

аb = 2√3* 5 * cos 150 = 2√3 * -√3/2 * 5 = -3*5=-15
Ответ: -15

-0.96

Формула вычисления угла между векторами

cosα = `(ab)/(|а|*|b|)`

Произведение векторов находим по формуле a*b = x1*x2 + y1*y2

ab = 3*-4+4*-3=-12-12=-24

Найдем модули векторов, то есть их длины:
Если построить вектор а на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = 3, по y = 4 при этом длина вектора |a| = `sqrt(3^2+4^2)` = √25 = 5

Если построить вектор b на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = -4, по y = -3 при этом длина вектора |b| = `sqrt(-4^2+(-3)^2)` = √25 = 5

cosα = `-24/(5*5) =-24/25`= -0.96

Ответ: -0,96

0.96

Формула вычисления угла между векторами

cosα = `(ab)/(|а|*|b|)`

Находим координаты вектора а, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
а(4-1;4-8) а(3;-4)
Находим координаты вектора b, из координат его конца, отнимаем координаты его начала, тогда
b(6-2;1-4) b(4;-3)

Произведение векторов находим по формуле a*b = x1*x2 + y1*y2

ab = 3*4+(-4)*-3=12+12=24

Найдем модули векторов, то есть их длины:
Если построить вектор а на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = 3, по y = -4 при этом длина вектора |a| = `sqrt(3^2+(-4)^2)` = √25 = 5

Если построить вектор b на оси координат, то можно увидеть, что по оси x = 4, по y = -3 при этом длина вектора |b| = `sqrt(4^2+(-3)^2)` = √25 = 5

cosα = `24/(5*5) =24/25`= 0.96

6

Формула вычисления угла между векторами

cosα = `(ab)/(|а|*|b|)` при этом известно, что ab = 12 и |а| = 2√2. Также смотрим табличное значение cos45º= √2/2

√2/2 = `12/(2sqrt2*|b|)` отсюда |b|

|b| = `(12*2)/(sqrt2*2sqrt2)` = 24/4 = 6

Ответ: 6

5

Условно примем за начало координат точку А, тогда можно будет уйти от целочисленных координат векторов и получаем значения

АВ(4;3)
АС(2;-1)

Умножение векторов производим по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2, где берем сумму произведений соответствующих координат

ab=4*2+3*(-1)=8-3=5

Ответ: 5

3

Так как треугольник прямоугольный, то проекция АВ на ось абсцисс является фактически катетом АС, то есть АС=AB*cosα, 

cosα = AC/AB

Скалярное произведение векторов аb равно произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между ними:

AC*AB = |AC|*|AB| * cos a = |AC|*|AB|*`AC/AB`=|AC|²=√3²=3

Ответ: 3

-2

Умножение векторов производим по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2, где берем сумму произведений соответствующих координат

ab=a1*b1+a2*b2=3*0+(-2)*1=-2

Ответ: -2