Задания разбросаны по КЭС 2, 3 и 4. Тип ответа: Развернутый ответ. Задания высокой сложности. Как правило, на реальном ЕГЭ по профильной математике формулировка задания уникальна, но близка к тем, что есть в банках ФИПИ или была на ЕГЭ прошлых лет. Вот что есть в банках ФИПИ на данный момент.

Задания из ОБОИХ банков ФИПИ без дублей.

Все задания из нового банка ФИПИ с параметром, ЕГЭ математика профиль

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при которых уравнение

`(x+ln(x+a))^2=(x−ln(x+a))^2`

имеет единственное решение на отрезке [0;  1].

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: 8D6C09

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение `4^x+(a−6)2^x=(2+3|a|)2^x+(a−6)(3|a|+2)` имеет единственное решение.

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: 617476

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение `25^x−(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x−(a+6)(3|a|+5)` имеет единственное решение.

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: B384BC

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `sqrt(x^4−4x^2+9a^2)=x^2+2x−3a` имеет ровно 3 решения.

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: E1F91F

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при которых уравнение

`(2x+a+1−tg x)^2=(2x+a−1+tg x)^2`

имеет единственное решение на отрезке [0;   π].

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: 36F316

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `sqrt(x^4−16x^2+64a^2)=x^2+4x−8a` имеет ровно 3 решения.

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: 8C0C15

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при которых уравнение

`(2x+a+1+tg x)^2=(2x+a−1−tg x)^2`

имеет единственное решение на отрезке [−π/2;   π/2].

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: 211B61

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при которых уравнение

`(2x+ln(x+2a))^2=(2x−ln(x+2a))^2`

имеет единственный корень на отрезке [0;  1].

КЭС: 4 Постинструкции

Номер: 3DD135

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((xy^2​−3xy−3y+9)sqrt(3−x)=0), (y=ax):}`

имеет ровно три различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 56C747

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`sqrt(2−3x)⋅ln(16x^2−a^2)=sqrt(2−3x)⋅ln(4x+a)` имеет ровно один корень.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: A22E40

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

`{(log_7(36-y^2)=log_7(36-a^2x^2)),(x^2+y^2=2x+6y):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

Номер: CF1240

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(x^4+y^2=a^2),(x^2+y=|2a−4|):}`

имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.9 Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных 2.2.1 Квадратные неравенства

Номер: EE054F

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(x^2+y^2− 4(a+1)x− 2ay+5a^2+8a+3=0),(y^2=x^2):}`

 имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем 2.2.1 Квадратные неравенства

Номер: CDB8F3

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`sqrt(4x−1)⋅ln(x^2−2x+2−a^2)=0` имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 9F53F5

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств

`{(2a≤x),(6x>x^2+a^2),(x+a≤6):}`

имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: BB4A02

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(ax^2+ay^2−(2a−5)x+2ay+1=0),(x^2+y=xy+x):}`

имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.2.1 Квадратные неравенства

Номер: 45927B

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`x^2+a^2−x−7a=|7x−a|` имеет ровно два различных корня.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 44907E

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((x+ay−5)(x+ay−5a)=0),(x^2+y^2=16):}`

 имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.2 Рациональные уравнения 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем 2.2.1 Квадратные неравенства

Номер: D5CA79

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`(9x^2−a^2)/(x^2+8x+16−a^2)=0` имеет ровно два различных корня.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.2 Рациональные уравнения

Номер: 831474

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((x^2−5x−y+3)⋅sqrt(x−y+3)=0),(y=3x+a):}`

 имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 04FEB6

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств

`{(a(x−1)≥4),(2sqrt(x−2)≥a),(3x<a+14):}`

 имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: AD93BF

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(y=(a+2)x^2+2ax+a−2),(y^2=x^2):}`

имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.10 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем 2.2.1 Квадратные неравенства

Номер: 07CC1C

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((x^2−5x−y+3)⋅sqrt(x−y+3)=0),(y=ax+a):}`

 имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 37FD10

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((x^2+y^2+4x)⋅sqrt(2x+y+6)=0),(y=ax−2a):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 4A8E2F

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`∣x^2+a^2−6x+4a∣=2x−2a` имеет ровно два различных корня.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 093D22

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((x^2+y^2+4x)⋅sqrt(2x+y+6)=0),(y=x+a):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: F3A6D5

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

`{(log_(11)(a-y^2)=log_(11)(a-x^2)),(x^2+y^2=2x+6y):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

Номер: D354DE

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`(5x−2)⋅ln(x+a)=(5x−2)⋅ln(2x−a)` имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 9437D5

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`x^2+a^2+x−7a=|7x+a|` имеет больше двух различных корней.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: EDB7D3

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`a^2+ax−2x^2−6a−3x+9|x|=0` имеет меньше четырёх различных корней.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.1.3 График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях

Номер: 577658

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((xy−2x+12)⋅sqrt(y−2x+12)=0),(y=ax−10):}`

 имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 752FA4

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`sqrt(7x−4)⋅ln(x^2−8x+17−a^2)=0` имеет на отрезке [0; 4] ровно один корень.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 7F7EC4

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{((xy−2x+12)⋅sqrt(y−2x+12)=0),(y=3x+a):}`

 имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 6854C0

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств

`{(ax≥2),(sqrt(x−1)>a),(3x≤2a+11):}`

имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 8257C0

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств

`{(x≤2a+6),(6x≥x^2+a^2),(x+a>0):}`

 имеет хотя бы одно решение на отрезке [1; 2].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 456B95

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`a^2−ax−2x^2−6a+3x+9|x|=0` имеет четыре различных корня.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.1.3 График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях

Номер: 073F98

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

`{(x^2+y^2=6x+8x-9),(x^2+y^2=a^2):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

Номер: DADE95

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`ln(4x−1)⋅sqrt(x^2−6x+6a−a^2)=0` имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 3E3293

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

`{(log_3(16-y^2)=log_3(16-a^2x^2)),(x^2+y^2=8x+4y):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

Номер: FF3CE9

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(ax^2+ay^2+2ax+(a+2)y+1=0),(xy+1=x+y):}`

имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.2.1 Квадратные неравенства

Номер: D5A8E6

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(x^4−y^4=12a−28),(x^2+y^2=a):}`

имеет ровно четыре различных решения.

КЭС: 2.1.9 Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных 2.2.2 Рациональные неравенства 2.2.6 Системы неравенств с одной переменной

Номер: E156E1

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(sqrt(36-y^2)=sqrt(36-a^2x^2)),(x^2+y^2=2x+6y):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

Номер: 8F61E2

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`∣x^2+a^2−6x−4a∣=2x+2a` имеет четыре различных корня.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Номер: 421A63

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`(4x^2−a^2)/(x^2+6x+9−a^2)=0` имеет ровно два различных корня.

КЭС: 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.2 Рациональные уравнения

Номер: 162563

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`sqrt(x+2a)⋅ln(x−a)=(x−1)⋅ln(x−a)` имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: C7C26F

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`sqrt(2x−1)⋅ln(4x−a)=sqrt(2x−1)⋅ln(5x+a)` имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства 3.2 Элементарное исследование функций 3.3 Основные элементарные функции

Номер: 997C65

Дайте развернутый ответ.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

`{(sqrt(a-y^2)=sqrt(a-x^2)),(x^2+y^2=2x+4y):}`

имеет ровно два различных решения.

КЭС: 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

Номер: 3D7367

Задания из старого банка ФИПИ

КЭС: Уравнения и неравенства

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy+3x−y−6)sqrt(x+2))/(sqrt6−x)=0),(x+y−a=0):}`

имеет ровно два различных решения.

Номер: 7810B7

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy+4x−7y+12)sqrt(x+5))/sqrt(5−x)=0),(x+y−a=0):}`

имеет ровно два различных решения.

Номер: 0CF09B

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy+5x−4y−5)sqrt(x+3))/sqrt(7−x)=0),(x+y−a=0):}`

имеет ровно два различных решения.

Номер: 2BC43D

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy−9y+5x+20)sqrt(x+5))/sqrt(7−y)=0),(a=x+y):}`

имеет единственное решение.

Номер: CC601C

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy−7y+4x+12)sqrt(x+4))/sqrt(7−y)=0),(a=x+y):}`

имеет единственное решение.

Номер: FA5193

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy−4y+2x+4)sqrt(x+4))/sqrt(5−y)=0),(a=x+y):}`

имеет единственное решение.

Номер: 1C359C

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(2x−2y−2=∣x^2​+y^2​−1∣),(y=a(x−1)):}`

имеет более двух решений.

Номер: 4912F3

Найдите все значения a, при каждом из которых система

`{((x−4)^2+(y−4)^2=9),(y=|x−a|+1):}`

имеет ровно три различных решения.

Номер: BCE7C8

Найдите все значения a, при каждом из которых система

`{((x−3)^2+(y−6)^2=25),(y=|x−a|+1):}`

имеет ровно три различных решения.

Номер: D6829D

Найдите все значения a, при каждом из которых система

`{(y=sqrt(5+4x−x^2)+2),(y=sqrt(9−a^2+2ax−x^2)+a):}`

имеет единственное решение.

Номер: F61A75

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

`f(x)=4x^2−4ax+a^2+2a+2` на множестве |x|≥1 не меньше 6.

Номер: 2329AC

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`∣2x^2−3x−2∣=a−2x^2−8x` либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Номер: B6BF67

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`a|x−3|=5/(x+2)` на промежутке [0 ; + ∞) имеет ровно два корня.

Номер: 0C8722

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`∣5/x−3∣=ax−2` на промежутке (0 ; + ∞) имеет более двух корней.

Номер: 16176D

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`ax+sqrt(−7−8x−x^2)=2a+3`

имеет единственный корень.

Номер: 70EDA0

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`ax+sqrt(−3−4x−x^2)=3a+1`

имеет единственный корень.

Номер: 9D4E47

Найдите все значения a, при которых уравнение

`6a+sqrt(5+4x−x^2)=ax+3`

имеет единственный корень.

Номер: 1C9A53

Найдите все значения a, при которых уравнение

`10a+sqrt(− 35+12x−x^2)=ax+1`

имеет единственный корень.

Номер: 0E7560

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`x^2+(2−a)^2=|x−2+a|+|x−a+2|`

имеет единственный корень.

Номер: FB361B

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`x^2+(a+4)^2=|x−4−a|+|x+a+4|`

имеет единственный корень.

Номер: 9B19AF

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`x^2−|x+2+a|=|x−a−2|−(a+2)^2`

имеет единственный корень.

Номер: 5CD4A7

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

`x^2−|x−5+a|=|x−a+5|−(5−a)^2`

имеет единственный корень.

Номер: A19A49

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система

`{((|x|−5)^2+(y−4)^2=9),((x+2)^2+y^2=a^2):}`

имеет единственное решение.

Номер: 5B8915

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система

`{((|x|−6)^2+(y−12)^2=4),((x+1)^2+y^2=a^2):}`

имеет единственное решение.

Номер: 122B71

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(x^2​+20x+y^2​−20y+75=|x^2​+y^2​−25|),(x−y=a):}`

имеет более одного решения.

Номер: 249DBE

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(((y^2​−xy+3x−y−6)sqrt(x+2))/(6−x)=0),(x+y−a=0):}`

имеет ровно два различных решения.

Номер: 84AED7

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(x^2​+5x+y^2​−y−|x−5y+5|=52),(y−2=a(x−5)):}`

имеет ровно два решения.

Номер: D659A8

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

`{(x^2​−8x+y^2​+4y+15=4|2x−y−10|),(x+2y=a):}`

имеет более двух решений.

Номер: 0A9AEE

27