Python

word = 'INFINITY'

print(sum((ord(ch) - ord('A') + 1) * 26**p for ch, p in zip(word[::-1], range(len(word)))))

Ответ: \(76686766181\)

Python

word = 'PRODUCT'

print(sum((ord(ch) - ord('A') + 1) * 26**p for ch, p in zip(word[::-1], range(len(word)))))

Ответ: \(5163456422\)

Python

word = 'SCREEN'

print(sum((ord(ch) - ord('A') + 1) * 26**p for ch, p in zip(word[::-1], range(len(word)))))

Ответ: \(227436964\)

Python

word = 'PRINT'

print(sum((ord(ch) - ord('A') + 1) * 26**p for ch, p in zip(word[::-1], range(len(word)))))

Ответ: \(7634452\)

Python

word = 'KBYTE'

print(sum((ord(ch) - ord('A') + 1) * 26**p for ch, p in zip(word[::-1], range(len(word)))))

Ответ: \(5079313\)

Python

from itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if i == 3282210:
            print(''.join(p))
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Ответ: \(GDSHV\)

Python

from itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if i == 1253217:
            print(''.join(p))
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Ответ: \(BSGVQ\)

Python

from itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if i == 777332:
            print(''.join(p))
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Ответ: \(AREWJ\)

Python

Грубый перебор (медленная версия)

from itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if ''.join(p) == 'DEFFED':
            print(i)
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Оптимизированный код

alph = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
d = {c: i for i, c in enumerate(alph, 1)}
ans = 0
p = 0
for c in 'DEFFED':
    ans += d[c] * 26**p
    p += 1
print(ans)

Ответ: \(49920030\)

Python

Грубый перебор (медленная версия)

from itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if ''.join(p) == 'FEDBED':
            print(i)
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Оптимизированный код

alph = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
d = {c: i for i, c in enumerate(alph, 1)}
ans = 0
p = 0
for c in 'FEDBED'[::-1]:
    ans += d[c] * 26**p
    p += 1
print(ans)

Ответ: \(73644926\)

Python

Грубый перебор (медленная версия)

from itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if ''.join(p) == 'DEABED':
            print(i)
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Оптимизированный код

alph = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
d = {c: i for i, c in enumerate(alph, 1)}
ans = 0
p = 0
for c in 'DEABED'[::-1]:
    ans += d[c] * 26**p
    p += 1
print(ans)

Ответ: \(49829446\)

Python

Грубый перебор (медленная версия)

rom itertools import product

k = 1
n = 1
t = 1
f = False

while True:
    if f: break
    for i, p in enumerate(product('ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ', repeat=k), n):
        t = i
        if ''.join(p) == 'DEAED':
            print(i)
            f = True
            break
    k += 1
    n = t + 1

Оптимизированный код

alph = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
d = {c: i for i, c in enumerate(alph, 1)}
ans = 0
p = 0
for c in 'DEAED':
    ans += d[c] * 26**p
    p += 1
print(ans)

Ответ: \(1916594\)

Решение:

Запишем друг под другом восьмиричное и шестнадцатиричное представления числа \(X\) в двоичной системе исчисления

* * * * | * * *   * | * *   * * | *  * * *  | 1 0 1   0 | * *  * * | *   * * *     (16-ричная)
  * * * | * * * | *   * * | * *   * | 0 1 0 | * * * | *   * * |* *   * | 0 1 1      (8-ричная)

Видно, что десять разрядов числа \(X\) зафиксированы. Старший \(27\)-й разряд в \(16\)-ричной записи должен равняться \(0\), т.к. его нет в \(8\)-ричной записи (счёт разрядов с \(0\)). Нефиксированными остались \(17\) разрядов. По условию задачи один из трёх старших разрядов \(8\)-ричной записи должен быть ненулевым. Поэтому, если \(26\)-й разряд равен \(1\), то получаем \(2^{16}\) различных \(X\). Если \(26\)-й разряд равен нулю, но не равен нулю \(25\), имеем \(2^{15}\) различных чисел \(X\), удовлетворяющих условию задачи. Наконец, если равны нулю и \(26\)-й и \(25\)-й, то обязательно тогда не ноль \(24\)-й разряд. А значит, в этом случае получим \(2^{14}\) различных чисел \(X\). Окончательно, количество \(X\), удовлетворяющих условию задачи, равно $$2^{16} + 2^{15} + 2^{14} = 114688$$

Ответ: \(114688\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
b = 'AEIUYO'
q = 0

for p in product(alph, repeat=4):
    q += p[0] != '0' and sum(c in b for c in p) > 1 and sum(c in alph[:14] for c in p) < 3
print(q)

Ответ: \(203929\)

Переведём число \(X\) из \(16\)-ричной системы исчисления в четверичную и сравним с тем, что дано в условии задачи.

* * 3 2 * *  (16)
* * * * * 2  (4)

Видно, что три разряда так или иначе зафиксированы, а три могут быть произвольными, кроме самого старшего, который должен быть ненулевым. Значит, количество чисел \(X\), удовлетворяющих условию задачи, будет \(3 \cdot 4^2 = 48.\)

Ответ: \(48\)

Python

d = {ch: str(i) for i, ch in enumerate(sorted(list('ТОКСИЧНЫЙ')))}
num = ''.join(d[ch] for ch in 'ТОКСИЧНЫЙ')
print(int(num, 9) + 5)

Ответ: \(278775753\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNO'
q = 0

for p in product(alph, repeat=4):
    q += p[0] != '0' and all((x in alph[::2]) == (y in alph[1::2]) for x, y in zip(p, p[1:])) \
         and sum(int(ch, 25) for ch in p) % 5 == 0
print(q)

Ответ: \(9363\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNO'
q = 0

for p in product(alph, repeat=4):
    q += p[0] != '0' and sum(x in alph[::2]  for x in p) == 1 \
         and sum(ch in alph[16:] for ch in p) < 3
print(q)

Ответ: \(77184\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNO'
q = 0

for p in product(alph, repeat=4):
    q += p[0] != '0' and sum(x in alph[::2]  for x in p) > 0 \
         and sum(ch in alph[16:] for ch in p) > 2
print(q)

Ответ: \(50184\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNO'
q = 0

for p in product(alph, repeat=4):
    q += p[0] != '0' and sum(x in alph[1::2]  for x in p) == 1 \
         and sum(ch in alph[:6] for ch in p) < 3
print(q)

Ответ: \(95700\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEFGHIJ'
q = 0

for p in product(alph, repeat=5):
    q += p[0] != '0' and all((x in alph[::2]) == (y in alph[1::2]) for x, y in zip(p, p[1:])) \
         and int(p[0], 20) + int(p[-1], 20) == 26
print(q)

Ответ: \(13000\)

Решение:

$$C_7^1 (18^7 - 9^7 - 7 \cdot 9 \cdot 9^6) = 4017693960$$

Ответ: \(4~017~693~960\)

$$C^2_6 (14^5 - 5^5 - 5 \cdot 9 \cdot 5^4) = 7598610$$

Ответ: \(7~598~610\)

$$C^2_7 (13^6 - 4^6 - 6 \cdot 9 \cdot 4^5 ) = 100115757$$

Ответ: \(100~115~757\)

Python

alph = '0123456789ABCD'

q = 0

for a in alph[1:]:
    for b in alph:
        for c in alph:
            for d in alph:
                for e in alph:
                    n = a + b + c + d + e
                    if n.count('9') == 1 and \
                    sum([n.count(x) for x in 'BCD']) <= 3:
                        q += 1

print(q)

Ответ: \(133612\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDE'

q = 0
for a, b, c, d, e in product(alph, repeat=5):
    if a == '0':
        continue
    num = a + b + c + d + e
    s9 = sum(num.count(x) for x in 'ABCDE')
    if num.count('8') == 1 and s9 > 1:
        q += 1
print(q)

Ответ: \(83175\)

Python

from itertools import product

alph = 'КОСУФ'
n = 0
i = 0
for a, b, c, d, e in product(alph, repeat=5):
    i += 1
    word = a + b + c + d + e
    if word.count('Ф') == 0 and word.count('У') == 2:
        n = i
print(n)

Ответ: \(2313\)

Python

nums = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
nums_begin = [2, 4, 6, 8]
nums_end = [0, 1, 4, 5, 6, 7, 8]

q = 0

for a in nums_begin:
    for b in nums:
        for c in nums:
            for d in nums:
                for e in nums:
                    for f in nums_end:
                        if [a, b, c, d, e, f].count(1) >= 2:
                            q += 1

print(q)

Ответ: \(19868\)

Python

from itertools import product

alph = '01234567'
q = 0

for a, b, c, d, e in product(alph, repeat=5):
    if a in '01357' or e in '26':
        continue
    num = a + b + c + d + e
    q += int(num.count('7') < 3)
print(q)

Ответ: \(9135\)

Python

def not_zero_odd(x, y):
    if (x == 0 and y % 2 == 1) or (y == 0 and x % 2 == 1):
        return False
    return True

nums = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
q = 0

for a in nums[1:]:
    for b in nums:
        for c in nums:
            for d in nums:
                for e in nums:
                    n = [a, b, c, d, e]
                    if n.count(0) == 1 and all([not_zero_odd(x, y) for x, y in zip(n, n[1:])]):
                        q += 1

print(q)

Ответ: \(5120\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if any(s.count(ch) > 1 for ch in '0123567'):
        return False
    if s.count('4') != 2:
        return False
    elif '44' in s:
        return False
    else:
        st, fin = (i for i in range(len(s)) if s[i] == '4')
        t = s[st + 1: fin]
        if any(ch in t for ch in '0123'):
            return False
        return True

alph = '01234567'
q = 0
for p in product(alph, repeat=6):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += int(valid(''.join(p)))
print(q)

Ответ: \(1614\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s.count('3') != 2:
        return False
    elif '33' in s:
        return False
    else:
        st, fin = (i for i in range(len(s)) if s[i] == '3')
        t = s[st + 1: fin]
        if any(ch in t for ch in '012'):
            return False
        return True

alph = '01234567'
q = 0
for p in product(alph, repeat=6):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += int(valid(''.join(p)))
print(q)

Ответ: \(8116\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s.count('У'):
        return False
    if s.count('Р') < 2:
        return False
    elif any(r in s for r in ('РАР', 'РЭР', 'РОР', 'РБР', 'РСР')):
        return True
    return False

q, i = 0, 0

for p in product('АБОРСУЭ', repeat=5):
    i += 1
    q += int(i % 2 == 0 and valid(''.join(p)))

print(q)

Ответ: \(235\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s.count('Н') < 2:
        return False
    if s.count('А') < 2:
        return False
    else:
        pos = [i for i in range(len(s)) if s[i] == 'А']
        if  any(y - x == 3 for x, y in zip(pos, pos[1:])):
            return True
        else:
            return False

q, i = 0, 0

for p in product('УНЛИГБА', repeat=6):
    i += 1
    q += int(i % 2 and valid(''.join(p)))

print(q)

Ответ: \(318\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] in '01357' or s[6] in '036' or not s.count('6'):
        return False
    return True

alph = '012345678'
q = 0

for p in product(alph, repeat=7):
    q += int(valid(''.join(p)))

print(q)

Ответ: \(827352\)

Python

from itertools import permutations
alph = "АААВВРР"

i = 0
s = set()
for p in permutations(alph):
    s.add(''.join(p))
codes = list(s)
codes.sort()

for idx, item in enumerate(codes):
    if item[0] == 'В' and 'ААА' in item and 'РР' not in item and idx % 2:
        i = idx
print(i + 1)

Ответ: \(146\)

Пусть \(i\) — количество трёхбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв алфавита. Так как два одинаковых корня не могут встретиться в слове, то для каждой такой трёхбуквенной комбинации можно составить \(2 \cdot i (i-1)\) слов. Например, для комбинации АБВ можно выбрать комбинацию ПРС. Тогда получаются слова АБВОПРС и АБВЕПРС. Заметим, что ПРСОАБВ — это уже другое слово.

Python

from itertools import product

alph = 'АБВЕОПРС'
i = 0
for p in product(alph, repeat=3):
    i += 1

print(2 * i * (i - 1))

Ответ: \(523264\)

Python

from itertools import product

alph = 'АИКМНОПЯ'
q = 0

for idx, p in enumerate(product(alph, repeat=6)):
    if idx % 2 == 0 and p[0] != 'М' and p.count('И') == 3:
        q += 1

print(q)

Ответ: \(1848\)

Python

from itertools import product

alph = '567'
q = 0

for p in product(alph, repeat=12):
    q += int('55' not in ''.join(p))

print(q)

Ответ: \(186304\)

Python

from itertools import product

alph = list('ПРИВЫЧКА')
alph.sort()

idx, n = 0, 0

for p in product(alph, repeat=5):
    idx += 1
    if idx % 5 == 0:
        continue
    n += 1
    if sorted(list(p)) == ['В', 'К', 'П', 'Р', 'Ч']:
        print(n)
        break

Ответ: \(4754\)

Python

n = 0
for a in 'АБВГ':
    for b in 'АЕ' if a == 'А' else 'БВГД':
        for c in 'БВДЕ':
            for d in 'БВГД':
                if c == a or c == b or d == b or d == c:
                    continue
                n += 1
                w = a + b + c + d
                if w == 'ГВЕД':
                    print(n)

Ответ: \(84\)

Python

from itertools import permutations

q = 0
d = dict(zip('ГЛУБИНА', [0]*7))
for p in permutations('ГЛУБИНА'):
    for idx, ch in enumerate(p):
        d[ch] = idx
    if d['Г'] > d['А'] and d['Г'] > d['И']:
        q += 1
print(q)

Ответ: \(1680\)

Python

from itertools import permutations

q = 0
d = dict(zip('ГЛУБИНА', [0]*7))
for p in permutations('ГЛУБИНА'):
    for idx, ch in enumerate(p):
        d[ch] = idx
    if d['Г'] > d['А'] and d['Г'] - d['А'] > 1:
        q += 1
print(q)

Ответ: \(1800\)

Python

from itertools import permutations

q = 0
d0 = dict(zip('ГЛУБИНА', range(7)))
d = dict(zip('ГЛУБИНА', [0]*7))
for p in permutations('ГЛУБИНА'):
    for idx, ch in enumerate(p):
        d[ch] = idx
    if all(d[x] != d0[x] for x in 'ГЛУБИНА'):
        q += 1
print(q)

Ответ: \(1854\)

Python

from itertools import product

q = 0
for idx, p in enumerate(product('БЖОУФЦЮ', repeat=4)):
    if idx % 2 and p[0] == 'Ж' and p[1] == 'О':
        q += 1
print(q)

Ответ: \(25\)

Python

from itertools import product

n = 0
for idx, p in enumerate(product('БНПЭ', repeat=4)):
    if idx % 2 and p[0] != 'П' and p[3] != 'П' and 'ЭЭ' not in ''.join(p):
        n = idx
print(n + 1)

Ответ: \(238\)

Python

from itertools import product

alph = '012345678'

def valid(s):
    even_num = '02468'
    if s.count('4') != 1:
        return False
    pos4 = s.find('4')
    if pos4 == 0:
        return s[1] in even_num
    elif pos4 == 5:
        return s[4] in even_num
    else:
        return all(s[i] in even_num for i in [pos4-1, pos4+1])

q = 0
for p in product(alph, repeat=6):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += int(valid(''.join(p)))
print(q)
    

Ответ: \(58368\)

\(5 \cdot 9^3 + 5^2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 5^2 \cdot 8 \cdot 9 + 5 \cdot 8 \cdot 9^2\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789'

def valid(s):
    odd_num = '13579'
    if s.count('2') != 1:
        return False
    pos = s.find('2')
    if pos == 0:
        return s[1] in odd_num
    elif pos == 4:
        return s[3] in odd_num
    else:
        return all(s[i] in odd_num for i in [pos-1, pos+1])

q = 0
for p in product(alph, repeat=5):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += int(valid(''.join(p)))
print(q)

Ответ: \(12510\)

Python

from itertools import product

alph = sorted(list('ЖЮЯУЗЧДОФ'))

for idx, p in enumerate(product(alph, repeat=6)):
    w = ''.join(p)
    if idx % 2 == 0 and w[0] != 'У' and w[5] != 'У' and 'ЮЮ' in w:
        print(idx + 1)
        break

Ответ: \(71\)

Python

from itertools import product

alph = sorted(list('ТБДЦЭЕКНЧ'))

for idx, p in enumerate(product(alph, repeat=6)):
    s = ''.join(p)
    if idx % 2 and s[0] != 'Н' and s[-1] != 'Н' and s.count('Е') > 2:
        print(idx + 1)
        break

Ответ: \(912\)

Python

from itertools import product

alph = sorted(list('МБНОВШЩУ'))
q = 0

for idx, p in enumerate(product(alph, repeat=4)):
    s = ''.join(p)
    if idx % 2 == 0 and s[-1] != 'В':
        q += 1
print(q)

Ответ: \(2048\)

Python

from itertools import product

alph = sorted(list('ДОЩГХИМТЭ'))
q = 0

for idx, p in enumerate(product(alph, repeat=5)):
    s = ''.join(p)
    if idx % 2 == 1 and s[0] not in 'МИ':
        q += 1
print(q)

Ответ: \(22963\)

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('ЕКМОСЧ', repeat=4), 1):
    if i % 2 == 0 and p[0] == 'Ч' and p[3] == 'О':
        ans = i
print(ans)

Ответ: \(1294\)

Python

from itertools import product

q = 0
for i, p in enumerate(product('ВЕЛНРХ', repeat=5), 1):
    q += i % 2 and p[0] == 'Е' and p[1] == 'Н'
print(q)

Ответ: \(108\)

Python

from itertools import product

q = 0
for idx, word in enumerate(product('БЕЧЮ', repeat=5), 1):
    q += idx % 2 == 0 and word[0] != 'Ю' and 'ЕЕ' not in ''.join(word)
print(q)

Ответ: \(285\)

Python

from itertools import product

for idx, word in enumerate(product('АДИУХШ', repeat=6), 1):
    if idx % 2 and word[0] != 'А' and word.count('Ш') < 4 and word.count('Х') == 0:
        print(idx)
        break

Ответ: \(7777\)

Python

from itertools import product

for idx, word in enumerate(product('АМНФ', repeat=4), 1):
    if idx % 2 == 0 and word[0] != 'А' and word.count('Н') > 1 and word.count('Ф') == 0:
        print(idx)
        break

Ответ: \(106\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ОСЕЮГХНТ'))
ans = 0
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=4), 1):
    if idx % 2 and word[0] != 'Н' and word.count('О') > 1 and 'С' not in word:
        ans = idx

print(ans)

Ответ: \(3807\)

Python

from itertools import product

q = 0
s = sorted(list('ОЗСЕНЮГТП'))

for idx, word in enumerate(product(s, repeat=6), 1):
    q += idx % 2 and word[0] != 'С' and word.count('Т') < 2
print(q)

Ответ: \(202712\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ХЩНГБЛЗЦ'))
q = 0
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=5), 1):
    q += idx & 1 == 0 and word[0] == 'Б'and word.count('Ц') > 1
print(q)

Ответ: \(88\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ЧРМЮЗНАДЯ'))
q = 0

for idx, word in enumerate(product(s, repeat=5), 1):
    q += idx & 1 and word[0] == 'А' and word.count('Ю') == 2
print(q)

Ответ: \(204\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ЖКРШЛВЕ'))
n = 0
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=6), 1):
    if word[0] == 'К' and word[-1] == 'Ш':
        n = idx
print(n)

Ответ: \(67228\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('КОУБВЕЛФ'))
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=5), 1):
    if word[0] == 'Ф' and word[-1] == 'Л':
        print(idx)
        break

Ответ: \(28677\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ОЩХУ'))
n = 0
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=6), 1):
    if ''.join(word[:2]) == 'ОО':
        n = idx
print(n)

Ответ: \(256\)

Python

from itertools import product

n = 0
for idx, word in enumerate(product('МОТЮ', repeat=5), 1):
    if word[0] == 'О':
        n = idx
print(n)

Ответ: \(512\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ЖЧГМЯФИ'))
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=6), 1):
    if word[0] == 'Ж' and word[1] == 'Я':
        print(idx)
        break

Ответ: \(31214\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('ФЯХДКАУ'))
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=6), 1):
    if word[0] == 'Х':
        print(idx)
        break

Ответ: \(84036\)

Однострочное решение

Python

int('760220', 8) + 1

Решение перебором

Python

from itertools import product

s = sorted(list('УЦЮТПСОШ'))
for idx, word in enumerate(product(s, repeat=6), 1):
    if ''.join(word) == 'ЮШОССО':
        print(idx)
        break

Ответ: \(254097\)

Прямым подсчётом получаем \(7^8 + 8 \cdot 7^7 = 12353145\). Тот же самый ответ можно получить, написав программу, которая будет работать довольно долго.

Python

from itertools import product

q = 0
for word in product('КХНЭШЧФЖ', repeat=8):
    q += word.count('Ш') < 2
print(q)

Ответ: \(12353145\)

\(6 \cdot 5^5 = 18750\). Или программно

Python

from itertools import product

q = 0
for word in product('ЭШЖМГТ', repeat=6):
    q += word.count('Ш') == 1
print(q)

Ответ: \(18750\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('8') > 2:
        return False
    forb = [f'{x}8' for x in '13579'] + [f'8{x}' for x in '13579']
    return not any(v in s for v in forb)

alph = '0123456789'
q = 0
for d in product(alph, repeat=4):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(6804\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('6') > 2:
        return False
    forb = [f'{x}6' for x in '02468'] + [f'6{x}' for x in '02468']
    return not any(v in s for v in forb)

alph = '012345678'
q = 0
for d in product(alph, repeat=4):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(4352\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('4') > 1:
        return False
    return all(int(x) % 2 != int(y) % 2 for x, y in zip(s, s[1:]))

alph = '0123456789'
q = 0
for d in product(alph, repeat=6):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(25000\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('3') > 1:
        return False
    return all(int(x) * int(y) % 2 == 0 for x, y in zip(s, s[1:]))

alph = '01234567'
q = 0
for d in product(alph, repeat=5):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(10768\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('5') != 1:
        return False
    wish = [f'5{x}' for x in '1357']
    return any(v in s for v in wish)

alph = '012345678'
q = 0
for d in product(alph, repeat=5):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(5568\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('2') != 1:
        return False
    wish = ['20', '22']
    return any(v in s for v in wish)

alph = '012'
q = 0
for d in product(alph, repeat=6):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(48\)

Двойка в числе, удовлетворяющем условию задачи, может быть либо на первом месте, либо на втором. Если двойка стоит на первом месте, то на оставшихся двух позициях могут находится нечётные числа, которых в \(12\)-ричной системе счисления ровно \(6\). Т.о. получаем \(6^2 = 36\) комбинаций. Если же двойка стоит на втором месте, тогда на первом может разместится любое число кроме \(0\) или \(2\) (всего \(10\) вариантов)), а на третьей позиции только нечётное число, которых у нас \(6\). Всего получается \(10 \cdot 6 = 60\) вариантов. Окончательно, получаем \(36 + 60 = 96\) вариантов.

Программное решение

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('2') != 1 or s[2] == '2':
        return False
    pos2 = 0 if s[0] == '2' else 1
    return all(int(x, 12) % 2 for x in s[pos2+1:])

alph = '0123456789AB'
q = 0
for d in product(alph, repeat=3):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(96\)

Двойка не может стоять на последнем месте. Числа, стоящие перед двойкой могут быть любыми, кроме \(2\) и на первой позиции кроме \(0\). Т.о., на первой позиции (если там не двойка) может быть одно из \(10\), на любой другой позиции перед двойкой расположится одна из \(11\) цифр. После \(2\) могут идти только ч1тные цифры, которых у нас \(5\) (двойку туда не включаем). Поэтому, количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, считаем так $$ 5^4 + 10 \cdot 5^3 + 10 \cdot 11 \cdot 5^2 + 10 \cdot 11^2 \cdot 5 = 10675 $$

Или программно

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('2') != 1 or s[4] == '2':
        return False
    return all(int(x, 12) % 2 == 0 for x in s[s.find('2') + 1:])

alph = '0123456789AB'
q = 0
for d in product(alph, repeat=5):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(10675\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('4') != 2:
        return False
    forb = [f'4{x}' for x in '13579B'] + [f'{x}4' for x in '13579B']
    return all(v not in s for v in forb)

alph = '0123456789AB'
q = 0
for d in product(alph, repeat=5):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(2750\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('1') != 2:
        return False
    forb = [f'1{x}' for x in '02468'] + [f'{x}1' for x in '02468']
    return all(v not in s for v in forb)

alph = '012345678'
q = 0
for d in product(alph, repeat=4):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(81\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('4') != 1:
        return False
    forb = [f'4{x}' for x in '13579B'] + [f'{x}4' for x in '13579B']
    return all(v not in s for v in forb)

alph = '0123456789AB'
q = 0
for d in product(alph, repeat=5):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(20625\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('5') != 1:
        return False
    forb = [f'5{x}' for x in '024'] + [f'{x}5' for x in '024']
    return all(v not in s for v in forb)

alph = '012345'
q = 0
for d in product(alph, repeat=3):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(22\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('3') != 2:
        return False
    return all(int(x, 13) % 2 != 0 or int(y, 13) % 2 != 0 for x, y in zip(s, s[1:]))

alph = '0123456789ABC'
q = 0
for d in product(alph, repeat=3):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(35\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('2') != 1:
        return False
    return all(int(x, 13) % 2 != int(y, 13) % 2 for x, y in zip(s, s[1:]))

alph = '0123456789ABC'
q = 0
for d in product(alph, repeat=5):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(6048\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('1') == 0:
        return False
    return all(int(x) % 2 != int(y) % 2 for x, y in zip(s, s[1:]))

alph = '01234'
q = 0
for d in product(alph, repeat=4):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(45\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    if s[0] == '0' or s.count('8') > 0 or len(s) != len(set(s)):
        return False
    return all(int(x, 13) % 2 != int(y, 13) % 2 for x, y in zip(s, s[1:]))

alph = '0123456789ABC'
q = 0
for d in product(alph, repeat=3):
    q += valid(''.join(d))
print(q)

Ответ: \(330\)

Левая часть палиндрома «себенаумегородничи». Она состоит из \(18\) символов. Среди этих символов буква «е» встречается \(3\) раза, а буквы «н», «о» и «и» — по два раза. Остальные буквы встречаются только один раз. Таким образом, количество перестановок букв в фразе будет $$ N = \frac{18!}{(2!)^3 \cdot 3!} = 133382785536000 $$

Python

from math import factorial
print(factorial(18) // (factorial(2)**3 * factorial(3)))

Ответ: \(133382785536000\)

Левая часть палиндрома — строка «удорогкинулескин» имеет длину \(16\). В этой строке буквы «у», «о», «к», «и» и «н» встречаются по два раза, остальные — по одному разу. Поэтому из этой фразы можно составить $$ N = \frac{16!}{(2!)^5} = 653837184000 $$ различных палиндромов

Python

from math import factorial
print(factorial(16) // (factorial(2)**5))

Ответ: \(653837184000\)

Левая часть палиндрома — строка «лёшанаполк» имеет длину \(10\). В этой строке буквы «л» и «а» встречаются по два раза, остальные — по одному разу. Поэтому из этой фразы можно составить $$ N = \frac{10!}{(2!)^2} = 907200 $$ различных палиндромов

Python

from math import factorial
print(factorial(10) / (factorial(2)**2))

Ответ: \(907200\)

Левая часть палиндрома — строка «негнип» имеет длину \(6\). В этой строке буква «н» встречается два раза, остальные — по одному разу. Поэтому из этой фразы можно составить $$ N = \frac{6!}{2!} = 360 $$ различных палиндромов

Python

from math import factorial
print(factorial(6) / (factorial(2)))

Ответ: \(360\)

Шестизначных чисел, удовлетворяющих первому условию всего \(9 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 6480\). Четырёхзначных, удовлетворяющих второму условию, всего \(9^ 4 = 6561\). Видно, что четырёхзначных чисел больше на \(81\).

Ответ: \(281\)

Python

from itertools import product

def valid(s):
    vow = sum(c in 'ЕИ' for c in s)
    return s.count('Й') < 3 and vow > 0 and vow % 2 == 0

q = 0
for word in product('КРЕМНИЙ', repeat=5):
    q += valid(''.join(word))
print(q)

Ответ: \(5360\)

Слово состоит из семи букв. На первую позицию можно поставить одну из \(5\) согласных. Тогда на последнюю позицию можно разместить одну из \(4\) оставшихся согласных. «Внутренние» буквы (которых теперь \(5\), включая гласные) можно разместить \(5!\) способами. Итого, \(5\cdot 4 \cdot 5!\) способов. Теперь, из количества перестановок внутренних букв нужно вычесть такие перестановки, где гласные буквы идут рядом. Среди внутренних букв три согласные. Количество их перестановок \(3!\). Рассматривая конкретную из таких перестановок, нетрудно понять, что две подряд идущие гласные можно разместить четырьмя разными способами среди трёх согласных. Наконец, учитывая, что комбинаций гласных две («ИО» и «ОИ»), получаем окончательную формулу: $$ N = 5 \cdot 4 \cdot (5! - 2 \cdot 4 \cdot 3!) = 1440 $$

Программный способ:

Python

from itertools import permutations

q = 0
cons = 'ПРБНК'
for p in permutations('ПРОБНИК'):
    word = ''.join(p)
    q += word[0] in cons and word[-1] in cons and not ('ОИ' in word or 'ИО' in word)
print(q)

Ответ: \(1440\)

Python

from itertools import product

s = 'ЕИЙКНОТ'
q = 0

for p in product(s, repeat=7):
    q += 'КОТ' in ''.join(p)
print(q)

Ответ: \(11984\)

Python

from itertools import product

s = 'ЧИСТЫЙРАЗУМ'
q = 0

for p in product(s, repeat=5):
    q += p.count('Й') < 2
print(q)

Ответ: \(150000\)

Python

from itertools import product

q = 0

for p in product('ВАСЯ', repeat=5):
    q += p.count('А') > 0
print(q)

Ответ: \(781\)

Python

from itertools import permutations

q = 0

b1 = 'ВБНР'
b2 = 'ЕИА'

for p in permutations('ВЕБИНАР'):
    q += all((x in b1) == (y in b2) for x, y in zip(p, p[1:]))
print(q)

Ответ: \(144\)

Python

from itertools import product

s = 'ПРИКАЗ'
q = 0

for p in product(s, repeat=4):
    q += p.count('К') == 1
print(q)

Ответ: \(500\)

Python

from itertools import permutations

words = set(''.join(p) for p in permutations('НОСОЧЕЧКИ'))
b1 = 'НСЧК'
b2 = 'ОЕИ'
q = 0

for w in words:
    q += all((x in b1) == (y in b2) for x, y in zip(w, w[1:]))
print(q)

Ответ: \(720\)

Python

def conv(n):
    s = ''
    while n:
        s = str(n % 4) + s
        n //= 4
    return s

print(sum(len(conv(x)) > len(set(conv(x))) for x in range(int('1000', 4), int('10000', 4))))

Ответ: \(174\)

Python

from itertools import permutations

q = 0
for xs in permutations('01234567', 5):
    q += xs[0] != '0' and all(int(xs[i-1]) % 2 != int(xs[i+1]) % 2 for i in range(1, 4))
print(q)

Ответ: \(1008\)

Семеричный алфавит 0123456, цифры могут повторяться, с 0 начинать нельзя.
6*7*7*7*7
_  _  _  _ _

$$6 \cdot 7^4 = 14406$$

Ответ: \(14406\)

Python

from itertools import product

words = list(''.join(p) for p in product('АИМРЯ', repeat=4))
print(words[210])

Ответ: ИРМА

Python

from itertools import product

words = {''.join(p): i for i, p in enumerate(product('АИМРЯ', repeat=4), 1)}
print(words['АРИЯ'])

Ответ: \(85\)

Python

from itertools import permutations

b1 = 'КБР'
b2 = 'ОУА'
words = {''.join(p) for p in permutations('КОБУРА')
         if all((x in b1) == (y in b2) for x, y in zip(p, p[1:]))}
print(len(words))

Ответ: \(72\)

Python

from itertools import product

words = {b + ''.join(p) + e for b, e in product('ОЕЭ', repeat=2)
         for p in product('КМПГ', repeat=4)}
print(len(words))

Ответ: \(2304\)

Python

from itertools import permutations

words = {''.join(p) for p in permutations('БИТКОИН')}
print(len(words))

Ответ: \(2520\)

Python

from itertools import permutations
ov = 'abde'
d = {''.join(p) for p in permutations('abcdef', 4)
     if all(not (x in ov and y in ov) for x, y in zip(p, p[1:]))}
print(len(d))

Ответ: \(72\)

Python

from itertools import product

odd = '1357'
even = '0246'

nums = {b + ''.join(p) + e for b in even[1:]
        for e in even
        for p in product(odd + even, repeat=6)
        if any(x in odd and y in odd and z in odd for x, y, z in zip(p, p[1:], p[2:]))}
print(len(nums))

Ответ: \(983040\)

Python

from itertools import product

odd = '1357'
even = '0246'

nums = {b + ''.join(p) + e for b, e in product(odd, repeat=2)
        for p in product(odd + even, repeat=6)
        if any(x in even and y in even for x, y in zip(p, p[1:]))
            and not any(x in even and y in even and z in even for x, y, z in zip(p, p[1:], p[2:]))}
print(len(nums))

Ответ: \(1507328\)

Python

from itertools import permutations

s = 'ТИМАШЕВСК'
gl = 'ИАЕ'

words = {''.join(p) for p in permutations(s)
         if p[0] not in gl and p[-1] not in gl
         and any(x in gl and y in gl and z in gl for x, y, z in zip(p, p[1:], p[2:]))}
print(len(words))

Ответ: \(21600\)

Python

from itertools import permutations

gl = 'ИАЕ'
q = 0

for p in permutations('ТИМАШЕВСК'):
    t = ''.join(p).replace('И', 'А').replace('Е', 'А')
    q += (t[0] not in gl) and (t[-1] not in gl) and t.count('АА') == 1 and t.count('ААА') == 0
print(q)

Ответ: \(86400\)

Python

from itertools import product
n = 0

for i, p in enumerate(product('АГИЛМОРТ', repeat=5), 1):
    if i % 2 and p[0] != 'Т' and p.count('Г') == 2:
        n = i
print(n)

Ответ: \(28239\)

Python

from itertools import product

alph = '0123456789ABCDEF'
q = 0

for p in product(alph, repeat=3):
    q += p[0] != '0' and len(set(p)) == 3 \
            and all(int(x, 16) % 2 != int(y, 16) % 2 for x, y in zip(p, p[1:]))
print(q)

Ответ: \(840\)

Python

from itertools import product

gl = 'АУ'
words = {}
i = 1

for p in product('АДУЧ', repeat=5):
    if p[0] in 'АУ':
        words[''.join(p)] = i
        i += 1
print(words['УДАЧА'])

Ответ: \(333\)

Python

from itertools import product

words = {''.join(p) for p in product('ПРОЛИВ', repeat=6) if 'П' in p}
print(len(words))

Ответ: \(31031\)

$$7 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 8 + 4 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 5 = 17600$$

Программно

Python

n2 = '02468ACE'
n3 = '0369C'

q = 0
for a in n2[1:]:
    for b in n3:
        for c in n2:
            for d in n3:
                for e in n2:
                    q += 1
for a in n3[1:]:
    for b in n2:
        for c in n3:
            for d in n2:
                for e in n3:
                    q += 1
print(q)

Ответ: \(17600\)

Python

from itertools import product

n = 0

for i, p in enumerate(product('АГМНСТУ', repeat=6), 1):
    if p[0] != 'У' and p.count('М') == 2 and p.count('Г') <2:
        n = i
print(n)

Ответ: \(100810\)

Python

from itertools import product

s = sorted(list('КОМПЬЮТЕР'))
n = 0

for i, p in enumerate(product(s, repeat=5), 1):
    if i % 2 and p[0] != 'Ь' and p.count('К') == 2:
        n = i
print(n)

Ответ: \(58979\)

Python

from itertools import product

n = 0
for i, p in enumerate(product('ЁИКЛНОС', repeat=5), 1):
    if p.count('Ё') > 1 and p[0] != 'О' and p[1] == 'К':
        n = i

print(n)

Ответ: \(15387\)

Python

from itertools import product

q = 0
for i, p in enumerate(product('ЬРПЛЕА', repeat=5), 1):
    if i > 387:
        break
    q += p[-1] == 'Ь'
print(q)

Ответ: \(65\)

$$12! - 8 \cdot 5! \cdot 7! = 474163200$$

Ответ: \(474163200\)

$$3 \cdot 8^3 \cdot 4^3 + 8^4 \cdot 4^3 = 360448$$

Ответ: \(360448\)

Python

from itertools import product

words = {}
i = 1

for p in product('ЕПСУХ', repeat=5):
    if p[-1] in 'ПСХ':
        words[''.join(p)] = i
        i += 1
print(words['УСПЕХ'])

Ответ: \(1293\)

Python

from itertools import product

words = {}

for i, p in enumerate(product('АЕКРТ', repeat=6), 1):
    words[''.join(p)] = i

print(words['РАКЕТА'] - words['КАРЕТА'] - 1)

Ответ: \(2999\)

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('ЛЕОНАРД')])
print(words[4320])

Ответ: РАДЕЛНО

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('ДОБРЫНЯ')])
print(words[3376])

Ответ: РЫБОЯДН

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('КОНДРАТ')])
print(words[2232])

Ответ: НАРДКОТ

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('ГЕРАСИМ')])
print(words[1898])

Ответ: ЕМСАИГР

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('МОДЕСТ')])
print(words[376])

Ответ: ОДСТЕМ

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('РУСЛАН')])
print(words[441])

Ответ: РСЛНУА

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('ГЕРМАН')])
print(words[521])

Ответ: НГМРЕА

Python

from itertools import permutations

words = sorted([''.join(p) for p in permutations('АВГУСТ')])
print(words[310])

Ответ: ГСУТАВ

Python

from itertools import product

words = set()
for p in product('ЕСТВО', repeat=8):
    b1 = 'ЕО'
    b2 = 'СТВ'
    s = ''.join(p)
    if sum(c in b1 for c in s) > 2 and sum(c in b2 for c in s) > 3\
        and all(x not in s for x in ('ЕЕ', 'ЕО', 'ОЕ', 'ОО')):
        words.add(s)
print(len(words))

Ответ: \(45360\)

Python

from itertools import product

words = set()
for p in product(set('ГАЛАКТИКА'), repeat=8):
    b1 = 'АИ'
    b2 = 'ГЛКТ'
    s = ''.join(p)
    if s[0] in b2 and s[-1] in b1\
        and all(ord(y) - ord(x) != 1  for x, y in zip(s, s[1:])):
        words.add(s)
print(len(words))

Ответ: \(309268\)

Python

from itertools import product

words = set()
for p in product(set('ДЕВИАЦИЯ'), repeat=8):
    b1 = 'АИЕЯ'
    b2 = 'ДВЦ'
    s = ''.join(p)
    if s[0] in b1 and s[-1] in b2 \
        and any(ord(y) - ord(x) == 1  for x, y in zip(s, s[1:])):
        words.add(s)
print(len(words))

Ответ: \(140544\)

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('АГНРТ', repeat=6), 1):
    if ''.join(p) == 'ГРАНАТ':
        print(i)
        break

Ответ: \(5055\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for p in permutations('ВАРФОЛМЕЙ', 6):
    b1 = 'ВРФЛМЙ'
    b2 = 'АОЕ'
    if sum(c in b1 for c in p) > sum(c in b2 for c in p) \
        and all(c not in ''.join(p) for c in ('АО', 'ОА', 'АЕ', 'ЕА', 'ОЕ', 'ЕО')):
        words.add(''.join(p))

print(len(words))

Ответ: \(35280\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for p in permutations('ГЕРАКЛИТ', 6):
    s = ''.join(p)
    b1 = 'ЕАИ'
    b2 = 'ГРКЛТ'
    if sum(c in b2 for c in s) > sum(c in b1 for c in s) \
        and all(''.join(c) not in s for c in permutations(b1, 2)):
        words.add(s)

print(len(words))

Ответ: \(9360\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for p in permutations('МСТИЛАВ', 5):
    s = ''.join(p)
    b1 = 'АИ'
    b2 = 'МСТЛВ'
    if sum(c in b2 for c in s) > sum(c in b1 for c in s) \
        and all(''.join(c) not in s for c in permutations(b1, 2)):
        words.add(s)

print(len(words))

Ответ: \(2040\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for p in permutations('ДОБРЫНЯ', 6):
    s = ''.join(p)
    b1 = 'ОЫЯ'
    b2 = 'ДБРН'
    if sum(c in b2 for c in s) > sum(c in b1 for c in s) \
        and all(''.join(c) not in s for c in permutations(b1, 2)):
        words.add(s)

print(len(words))

Ответ: \(1440\)

Python

from itertools import combinations, product

tea = [c for i in range(2, 5) for c in combinations([10, 13, 16, 19], i)]
tea3 = [p for p in product(tea, repeat=3)]
print(sum([sum(13 in x for x in y) > 1 for y in tea3]))

Ответ: \(931\)

Python

from itertools import product

deny = list(product('6', '1357')) + list(product('1357', '6'))
q = 0
for p in product('01234567', repeat=6):
    n = ''.join(p)
    q += n[0] != '0' and n.count('6') == 2 and all(''.join(x) not in n for x in deny)
print(q)

Ответ: \(5229\)

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('АИМНР', repeat=8), 1):
    if ''.join(p) == 'МАРИАННА':
        print(i)
        break

Ответ: \(169466\)

Сразу после цифры \(B\) может стоять одно из \(29\) оставшихся цифр тридцатеричной системы счисления. На остальных позициях могут размещаться только \(28\) цифр. (Если это первая цифра, то она точно не \(0\)). Рассмотрим два случая. Первый, когда одна из цифр \(B\) находится на последнем месте. Тогда вторая \(B\) может находиться на одной из первых пяти позиций. Количество таких комбинаций \(5 \cdot 28^4 \cdot 29.\) Второй случай, когда последняя цифра не \(B.\) Тогда в записи числа присутствуют две комбинации вида \(B\#,\) где \(\#\) — любая цифра кроме \(B.\) Всего имеется \(10\) разных шаблонов записи таких чисел. Поэтому таких комбинаций \(10 \cdot 28^3 \cdot 29^2.\) Окончательно, количество чисел, удовлетворяющих условию задачи будет $$5 \cdot 28^4 \cdot 29 + 10 \cdot 28^3 \cdot 29^2 = 273741440.$$

Ответ: \(273741440\)

Python

from itertools import permutations

words = set()
for p in permutations('ВОДОПАД'):
    s = ''.join(p)
    if all(c not in s for c in ('ОО', 'ОА', 'АО')):
        words.add(s)
print(len(words))

Ответ: \(360\)

Python

from itertools import product

b1 = 'ТМФЙ'
b2 = 'ИОЕ'
q = 0

for p in product('ТИМОФЕЙ', repeat=6):
    q += sum(c in b1 for c in p) == sum(c in b2 for c in p)
print(q)

Ответ: \(34560\)

Python

from itertools import product

b1 = 'СВТЛ'
b2 = 'ЯОА'
q = 0

for p in product(set('СВЯТОСЛАВ'), repeat=7):
    q += sum(c in b1 for c in p) < sum(c in b2 for c in p)
print(q)

Ответ: \(285687\)

Python

from itertools import product

b1 = 'ВСЛ'
b2 = 'АИ'
q = 0

for p in product(set('ВАСИЛИСА'), repeat=6):
    q += sum(c in b1 for c in p) < sum(c in b2 for c in p)
print(q)

Ответ: \(2800\)

Python

from itertools import product
alph = '012345678'
odd = '1357'

q = 0
for p in product(alph, repeat=7):
    q += p[0] != '0' and p.count('8') == 1 and sum(c in odd for c in p) == 4
print(q)

Ответ: \(399360\)

Python

from itertools import product
alph = '012345678'
odd = '1357'

q = 0
for p in product(alph, repeat=7):
    q += p[0] != '0' and p.count('2') == 1 and sum(c in odd for c in p) == 3
print(q)

Ответ: \(25\)

Python

from itertools import permutations

b = 'ХЛБНЙМКШ'
q = 0

for p in permutations('ХЛЕБНЫЙМЯКИШ', 7):
    q += p[0] == 'Х' and p[3] in 'БЫКИШ' and not any(x in b and y in b for x, y in zip(p, p[1:]))

print(q)

Ответ: \(5400\)

В алфавите \(42\)-ричной системы счисления \(42\) цифры, которые соответствуют десятичным числам от \(0\) до \(41.\) Четных символов всего \(21\). Обозначим через \(E\) множество чётных цифр от \(0\) до \(40\), исключая \(6\) (их всего \(20\)), через \(Z\) — множество чётных цифр СИ за исключением \(0\) и \(6\) (их ровно \(19\)), через \(X\) — множество всех символов алфавита нашей системы за исключением \(6\) (таких символов всего \(41\)) и через \(Y\) множество всех символов алфавита за исключением \(6\) и \(0\) (их ровно \(40\)). Всего имеется четыре принципиально различных типа чисел, указанных в задаче. Первый — когда цифра \(6\) стоит на первом месте. Тогда на втором месте должна находиться любая четная цифра алфавита за исключением \(6,\) т.е. число имеет вид \(6EXXXX.\) Нетрудно посчитать, что всего таких чисел будет \(20 \cdot 41^4.\) Если цифра \(6\) находится на втором месте, то шаблон нашего числа будет следующим: \(Z6EXXX.\) Чисел такого вида \(19 \cdot 20 \cdot 41^3.\) Третий случай — цифра \(6\) стоит на третьем, четвёртом или пятом месте. Она, в этом случае, окружена цифрами из множества \(E\) и имеет шаблон вида (если \(6\) стоит, скажем на \(3\) месте) \(YE6EXX\). Количество чисел такого вида \(3 \cdot 40 \cdot 20^2 \cdot 41^2.\) Наконец, четвёртый случай — цифра \(6\) стоит на последнем месте и число имеет вид \(YXXXE6.\) Таких чисел всего \(40 \cdot 41^3 \cdot 20.\) Итого получаем $$20 \cdot 41^4 + 19 \cdot 20 \cdot 41^3 + 3 \cdot 40 \cdot 20^2 \cdot 41^2 + 40 \cdot 41^3 \cdot 20 = 218530000$$

Ответ: \(218530000\)

Всего девятиразрядных десятичных чисел \(9 \cdot 10^8.\) Количество таких чисел, которые записываются с помощью одной цифры — 9. Посчитаем количество девятизначный чисел, которые можно записать с помощью двух цифр. Если одна из этих цифр \(0\), то таких чисел всего \(9 \cdot 2^8\). Заметим, что в это количество попадают также числа, которые записываются с помощью одной цифры. Количество девятизначных чисел, которые записываются с помощью двух ненулевых цифр будет \(C_9^2 \cdot 2^9.\) Теперь учтём, что среди них есть числа, которые запишутся с помощью только одной цифры. Всего таких чисел \(2 C^2_9.\) Итого получаем $$9 \cdot 10^8 - 9 \cdot 2^8 - C_9^2 \cdot 2^9 + 2 C_9^2 = 899979336$$

Ответ: \(899979336\)

Python

from math import factorial

def A(n, m):
    return factorial(n) // factorial(n - m)

N = A(26, 10) - A(20, 10) - 6 * 10 * A(20, 9)
print(sum(int(x) for x in str(N)))

Ответ: \(54\)

Python

from itertools import product

alph ='01234567'
even ='0246'
q = 0

for p in product(alph, repeat=6):
    q += p[0] != '0' and all(x < y for x in p[:2] for y in p[2:]) \
        and not any(x in even and y in even and z in even for x, y, z in zip(p, p[1:], p[2:]))
print(q)

Ответ: \(5528\)

В слове может быть три или две гласные буквы. Если гласных три, то они расположены на \(1,\) \(3\) и \(5\) позициях. Между ними находятся согласные. Всего таких комбинаций \(3^3 \cdot 4^2.\) Если в слове две гласные буквы, то они могут стоять на \(1\) и \(3\), \(1\) и \(4\), \(1\) и \(5\), \(2\) и \(4\), \(2\) и \(5\), \(3\) и \(5\) местах. Всего \(6\) вариантов. На остальных позициях должны находиться согласные. Таких комбинаций \(6 \cdot 3^2 \cdot 4^3.\) Итого $$3^3 \cdot 4^2 + 6 \cdot 3^2 \cdot 4^3 = 3888$$ комбинаций.

Программно

Python

from itertools import product
b1 = 'КНФТ'
b2 = 'ОЕА'
q = 0
for p in product('КОНФЕТА', repeat=5):
    q += sum(c in b2 for c in p) > 1 and not any(x in b2 and y in b2 for x, y in zip(p, p[1:]))
print(q)

Ответ: \(3888\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for p in permutations('ХОЧУ СОТКУ'):
    s = ''.join(p)
    if s[0] not in (' ', 'У') and s[-1] != ' ' and ' У' not  in s:
        words.add(s)
print(len(words) - 1)v

Ответ: \(423359\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for p in permutations('ХОЧУ В ВУЗ'):
    s = ''.join(p)
    if s[0] not in (' ', 'У') and s[-1] != ' ' and all(c not in s for c in ('  ', ' У')):
        words.add(s)
print(len(words) - 1)

Ответ: \(75599\)

$$3 \cdot 4^2 \cdot 2^2 = 192$$

Или программно

Python

from itertools import product, permutations

words = set()
cons = 'ЛС'
vow = 'ЕЯ'
for p in product('ЛЕСЯ', repeat=4):
    for perm in permutations(list(p) + [' ']):
        if perm[0] != ' ' and perm[-1] != ' ' \
                and not any((x in cons and y in cons) or (x in vow and y in vow) for x, y in zip(perm, perm[1:])):
            words.add(''.join(perm))
print(len(words))

Ответ: \(192\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for perm in permutations('АМФИБРАХИЙ'):
    s = ''.join(perm)
    if any(c in s for c in ('АА', 'АИ', 'ИА', 'ИИ')):
        words.add(s)
print(len(words))

Ответ: \(756000\)

Python

from itertools import permutations

words = set()
cons = 'МФБРХ'

for perm in permutations('АМФИБРАХИЙ'):
    if all(ch in cons for ch in perm[1::2]):
        words.add(''.join(perm))
print(len(words))

Ответ: \(3600\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for perm in permutations('АМФИБРАХИЙ'):
    s = ''.join(perm)
    if s[4:6] == 'БР':
        words.add(''.join(perm))
print(len(words))

Ответ: \(10080\)

Python

from itertools import permutations

words = set()

for perm in permutations('АМФИБРАХИЙ'):
    s = ''.join(perm)
    if any(c in s for c in ('ААФИИ', 'ИИФАА')):
        words.add(''.join(perm))
print(len(words))

Ответ: \(1440\)

$$6! = 720$$

Программно

Python

from itertools import permutations

words = set()

for perm in permutations('АМФИБРАХИЙ'):
    s = ''.join(perm)
    if s[:2] == 'АМ' and s[-2:] == 'ИЙ':
        words.add(''.join(perm))
print(len(words))

Ответ: \(720\)

Python

from math import comb

def C(m, n):
    if m < 0 or m > n:
        return 0
    return comb(n, m) * 5**m * 3**(n - m)

s = 0
for m in range(7):
    s += sum(C(x, m) * (C(x - 1, 6 - m) + C(x + 1, 6 - m)) for x in range(m + 1))
print(s)

Ответ: \(418530\)

Python

from itertools import product

word = set()
for p in product('КОМПЮЬТЕР', repeat=6):
    w = ''.join(p)
    kpos = w.find('К')
    opos = w.find('О', kpos)
    tpos = w.find('Т', opos)
    if all(x != -1 for x in [kpos, opos, tpos]):
        word.add(w)
print(len(word))

Ответ: \(11249\)

$$C_9^3 \cdot 3 \cdot 5 C_4^2 + 2 C_9^2 (C_5^1 + C_5^2) + C_9^1 = 8649$$

Python

from itertools import product

word = set()
for p in product('КОМПЮЬТЕР', repeat=5):
    w = ''.join(p)
    if len(set(w)) < 3 or len(set(w)) == 3 and sorted([w.count(c) for c in set(w)]) == [1, 2, 2]:
        word.add(w)
print(len(word))

Ответ: \(8649\)

Python

from itertools import product

words = set()
for p in product('ДЕРВО', repeat=6):
    even_arr = list(p)[::2]
    odd_arr = list(p)[1::2]
    if sorted(even_arr) == even_arr and sorted(odd_arr) == odd_arr:
        words.add(''.join(p))

print(len(words))

Ответ: \(1225\)

Python

q = 0
for x in range(8**5, 8**6):
    oct_x = oct(x)[2:]
    q += sum(int(z) for z in oct_x if int(z) % 2 == 0) <= sum(int(z) for z in oct_x if int(z) % 2 != 0) \
        and oct_x == oct_x[::-1]
print(q)

Ответ: \(268\)

Python

from itertools import product
alph = '01234'

q = 0
for p in product(alph, repeat=5):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += all(abs(int(x) - int(y)) > 1 for x, y in zip(p, p[1:]))
print(q)

Ответ: \(140\)

Python

from itertools import product
alph = '01234567'
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13]

q = 0
for p in product(alph, repeat=5):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += any(x != y and int(x) + int(y) in primes for x, y in product(p, repeat=2))
print(q)

Ответ: \(27170\)

Python

from itertools import product
alph = '0123456'
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31]

q = 0
for p in product(alph, repeat=5):
    if p[0] == '0':
        continue
    q += sum(int(x) % 2 == 0 for x in p) > 2 and sum(int(x) for x in p) in primes
print(q)

Ответ: \(1986\)

Python

from itertools import product
alph = '012345678'

q = 0
for p in product(alph, repeat=6):
    if p[0] == '0':
        continue
    s = sum(int(x) for x in p)
    q += sum(int(x) % 2 == 1 for x in p) < 3 and s % 6 == 0 and s % 4 != 0
print(q)

Ответ: \(23733\)

Так как нам необходимо составлять \(5\)-буквенные слова, в которых гласные и согласные должны чередоваться, а гласных в нашем распоряжении только \(2,\) получаем, что гласные могут располагаться только на чётных позициях в слове. Значит, всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить \(2! \cdot 3! = 12.\)

Ответ: \(12\)

Переставляя буквы в слове НОДА можно получить \(4!=24\) различных слов. Слов, в которых идут подряд две гласные букв О и А, всего \(3 \cdot 2! \cdot 2! = 12.\) Столько же слов, в которых две согласные буквы Н и Д идут рядом. Наконец, слов в которых и две гласные буквы и две согласные буквы идут рядом всего \(2 \cdot 2! \cdot 2! = 8.\) Поэтому слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(24 - 12 - 12 + 8 = 8.\)

Ответ: \(8\)

Путём перестановки букв в слове НОБЕЛИЙ можно получить \(7!=5040\) слов. Слов, которые начинаются на Й среди них \(6! = 720.\) Слов, в которых содержится ИЙО всего \(5 \cdot 4! = 120.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(5040 - 720 - 120 = 4200.\)

Ответ: \(4200\)

Путём перестановки букв в слове НАДПИСЬ можно получить \(7!=5040\) слов. Слов, которые начинаются на Ь среди них \(6! = 720.\) Слов, в которых содержится ЬИЯ всего \(5 \cdot 4! = 120.\) Наконец, слов, которые начинаются на Ь и содержат ЬИЯ всего \(4! = 24.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(5040 - 720 - 120 + 24 = 4224.\)

Ответ: \(4224\)

Путём перестановки букв в слове КУПЧИХА можно получить \(7!=5040\) слов. Слов, которые начинаются на Ч среди них \(6! = 720.\) Слов, в которых содержится ИАУ всего \(5 \cdot 4! = 120.\) Наконец, слов, которые начинаются на Ч и содержат ИАУ всего \(4 \cdot 3! = 24.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(5040 - 720 - 120 + 24 = 4224.\)

Ответ: \(4224\)

Путём перестановки букв в слове НИГРОЛ можно получить \(6!=720\) слов. Слов, которые начинаются на О среди них \(5! = 120.\) Слов, в которых содержится ОИГ всего \(4 \cdot 3! = 24.\) Наконец, слов, которые начинаются на О и содержат ОИГ всего \(3! = 6.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(720 - 120 - 24 + 6 = 582.\)

Ответ: \(582\)

Путём перестановки букв в слове НИЧЬЯ можно получить \(6!=720\) слов. Слов, которые начинаются на Ь среди них \(5! = 120.\) Слов, в которых содержится ЕАЬ всего \(4 \cdot 3! = 24.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(720 - 120 - 24 = 576.\)

Ответ: \(576\)

Путём перестановки букв в слове ПАНЕЛЬ можно получить \(6!=720\) слов. Слов, которые начинаются на Ь среди них \(5! = 120.\) Слов, в которых содержится ЕАП всего \(4 \cdot 3! = 24.\) Наконец, слов, которые начинаются на Ь и содержат ЕАП всего \(3 \cdot 2! = 6.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(720 - 120 - 24 + 6 = 582.\)

Ответ: \(582\)

Путём перестановки букв в слове НИЧЬЯ можно получить \(5!=120\) слов. Слов, которые начинаются на Ь среди них \(4! = 24.\) Слов, в которых содержится ЬИЯ всего \(3 \cdot 2! = 6.\) Наконец, слов, которые начинаются на Ь и содержат ЬИЯ всего \(2.\) Окончательно, получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(120 - 24 - 6 + 2 = 92.\)

Ответ: \(92\)

Путём перестановки букв из слова ГЕЛИЙ можно составить \(5! = 120\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Й среди них \(4! = 24.\) Сочетание ИЕЙ можно в \(5\)-буквенном слове разместить \(3\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся двух позициях буквы Л и Г можно переставить \(2!=2\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ИЕЙ всего \(3 \cdot 2 = 6.\) Слов, начинающихся с буквы Й и содержащих сочетание ИЕЙ нет. Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(120 - 24 - 6 = 90.\)

Ответ: \(90\)

Путём перестановки букв из слова КАЛИЙ можно составить \(5! = 120\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Й среди них \(4! = 24.\) Сочетание ИАК можно в \(5\)-буквенном слове разместить \(3\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся двух позициях буквы Л и Й можно переставить \(2!=2\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ИАК всего \(3 \cdot 2 = 6.\) Слов, начинающихся с буквы Й и содержащих сочетание ИАК всего два. Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(120 - 24 - 6 + 2 = 92.\)

Ответ: \(92\)

Путём перестановки букв из слова КОМБАЙН можно составить \(7! = 5040\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Й среди них \(6! = 720.\) Сочетание АЙ можно в \(7\)-буквенном слове разместить \(6\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся пяти позициях буквы К, О, М, Б и Н можно переставить \(5!=120\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ЕА всего \(6 \cdot 120 = 720.\) Слов, начинающихся с буквы Й и содержащих сочетание АЙ нет. Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(5040 - 720 - 720 = 3600.\)

Ответ: \(3600\)

Путём перестановки букв из слова КАБИНЕТ можно составить \(7! = 5040\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Б среди них \(6! = 720.\) Сочетание ЕА можно в \(7\)-буквенном слове разместить \(6\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся пяти позициях буквы К, И, Б, Н, и Т можно переставить \(5!=120\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ЕА всего \(6 \cdot 120 = 720.\) Слов, начинающихся с буквы Б и содержащих сочетание ЕА \(5 \cdot 4! = 120.\) Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(5040 - 720 - 720 + 120 = 3720.\)

Ответ: \(3720\)

Путём перестановки букв из слова ПАНЕЛЬ можно составить \(6! = 720\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Ь среди них \(5! = 120.\) Сочетание ЕЬ можно в \(6\)-буквенном слове разместить \(5\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся четырёх позициях буквы П, А, Н и Л можно переставить \(4!=24\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ЕЬ всего \(5 \cdot 24 = 120.\) Слов, начинающихся с буквы Ь и содержащих сочетание ЕЬ нет. Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(720 - 120 - 120 = 480.\)

Ответ: \(480\)

Путём перестановки букв из слова ПАЙЩИК можно составить \(6! = 720\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Й среди них \(5! = 120.\) Сочетание ИА можно в \(6\)-буквенном слове разместить \(5\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся четырёх позициях буквы П, Й, Щ и К можно переставить \(4!=24\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ИА всего \(5 \cdot 24 = 120.\) Наконец, слов, начинающихся с буквы Й и содержащих сочетание ИА всего \(4 \cdot 3! = 24.\) Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(720 - 120 - 120 + 24 = 504.\)

Ответ: \(504\)

Путём перестановки букв из слова МАНОК можно составить \(5! = 120\) различных слова. Слов, начинающихся на букву О среди них \(4! = 24.\) Сочетание АО можно в \(5\)-буквенном слове разместить \(4\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся трёх позициях буквы М, Н и К можно переставить \(3!=6\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание АО всего \(6 \cdot 4 = 24.\) Значит, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(120 - 24 - 24 = 72.\)

Ответ: \(72\)

Путём перестановки букв из слова КАЛИЙ можно составить \(5! = 120\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Й среди них \(4! = 24.\) Сочетание ИА можно в \(5\)-буквенном слове разместить \(4\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся трёх позициях буквы К, Л и Й можно переставить \(3!=6\)-мя способами, получаем, кодов, содержащих сочетание ИА всего \(6 \cdot 4 = 24.\) Наконец, кодов, начинающихся на Й и содержащих сочетание ИА всего \(3 \cdot 2 = 6.\) Окончательно, различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(120 - 24 - 24 + 6 = 78.\)

Ответ: \(78\)

Путём перестановки букв из слова КРОЙ можно составить \(4! = 24\) различных слова. Слов, начинающихся на букву Й среди них \(3! = 6.\) Наконец, сочетание ОЙ можно в \(4\)-буквенном слове разместить \(3\)-мя различными способами. Учитывая при этом, что на оставшихся двух позициях буквы К и Р можно переставить \(2\)-мя способами, получаем, что различных кодов, удовлетворяющих условию задачи, всего \(24 - 6 - 3 \cdot 2 = 12.\)

Ответ: \(12\)

Из слова АПОРТ путём перестановок букв можно составить \(5! = 120\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Всего две гласные буквы А и О мы можем поставить рядом в пятибуквенном слове \(4 \cdot 2! = 8\)-мя различными способами. Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(3!=6\) способами, получаем, что Артур может составить \(120 - 6 \cdot 8 = 72\) кода.

Ответ: \(72\)

Из слова ВОРОН путём перестановок букв можно составить \(\cfrac{5!}{2!} = 60\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Всего две буквы О мы можем поставить рядом в пятибуквенном слове \(4\)-мя различными способами. Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(3!=6\) способами, получаем, что Артур может составить \(60 - 6 \cdot 4 = 36\) кодов.

Ответ: \(36\)

Из слова ЕСАУЛ путём перестановок букв можно составить \(5! = 120\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Найдем количество таких кодов. Всего количество вариантов, когда две гласные буквы стоят рядом, а третья — на произвольной оставшейся одной позиции из \(3,\) равно \( 4 \cdot 3 \cdot 3! = 72.\) Количество позиций, где \(3\) гласные буквы стоят рядом равно \(3 \cdot 3! = 18.\) Т.о., вариантов, когда как минимум две гласные буквы стоят рядом равно \(72 - 18 = 54.\) Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(2!=2\) способами, получаем, что Артур может составить \(120 - 2 \cdot 54 = 12\) кода.

Ответ: \(12\)

Из слова АРЕАЛ путём перестановок букв можно составить \(\cfrac{5!}{2!} = 60\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Найдем количество таких кодов. Всего количество вариантов, когда две гласные буквы стоят рядом, а третья — на произвольной оставшейся одной позиции из \(3,\) равно \( 4 \cdot 3 \cdot \cfrac{3!}{2!} = 36.\) Количество позиций, где \(3\) гласные буквы стоят рядом равно \(3 \cdot \cfrac{3!}{2!} = 9.\) Т.о., вариантов, когда как минимум две гласные буквы стоят рядом равно \(36 - 9 = 27.\) Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(2!=2\) способами, получаем, что Артур может составить \(60 - 2 \cdot 27 = 6\) кодов.

Ответ: \(6\)

Из слова АСПЕКТ путём перестановок букв можно составить \(6! = 720\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Всего вариантов, когда две гласные буквы стоят рядом равно \( 5 \cdot 2 = 10.\) Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(4!=24\) способами, получаем, что Артур может составить \(720 - 24 \cdot 10 = 480\) кодов.

Ответ: \(480\)

Из слова ЗДАНИЕ путём перестановок букв можно составить \(6! = 720\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Найдем количество таких кодов. Всего количество вариантов, когда две гласные буквы стоят рядом, а третья — на произвольной оставшейся одной позиции из \(4,\) равно \( 5 \cdot 4 \cdot 3! = 120.\) Количество позиций, где \(3\) гласные буквы стоят рядом равно \(4 \cdot 3! = 24.\) Т.о., вариантов, когда как минимум две гласные буквы стоят рядом равно \(120 - 24 = 96.\) Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(3!=6\) способами, получаем, что Артур может составить \(720 - 6 \cdot 96 = 144\) кода.

Ответ: \(144\)

Из слова ВОРОТА путём перестановок букв можно составить \(\cfrac{6!}{2!} = 360\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых гласные буквы стоят рядом. Найдем количество таких кодов. Всего количество вариантов, когда две гласные буквы стоят рядом, а третья — на произвольной оставшейся одной позиции из \(4,\) равно \( 5 \cdot 4 \cdot \cfrac{3!}{2!} = 60.\) Количество позиций, где \(3\) гласные буквы стоят рядом равно \(4 \cdot \cfrac{3!}{2!} = 12.\) Т.о., вариантов, когда как минимум две гласные буквы стоят рядом равно \(60 - 12 = 48.\) Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(3!=6\) способами, получаем, что Артур может составить \(360 - 6 \cdot 48 = 72\) кода.

Ответ: \(72\)

Из слова КАБАЛА путём перестановок букв можно составить \(\cfrac{6!}{3!} = 120\) различных кодов. Но среди них есть те, в которых буквы А стоят рядом. Найдем количество таких кодов. Всего количество вариантов, когда две буквы А стоят рядом, а третья — на произвольной оставшейся одной позиции из \(4,\) равно \( 5 \cdot 4 = 20.\) Количество позиций, где \(3\) буквы А стоят рядом равно \(4.\) Т.о., вариантов, когда как минимум две буквы А стоят рядом равно \(20 -4 = 16.\) Учитывая, что согласные буквы различные и их можно переставить \(3!=6\) способами, получаем, что Артур может составить \(120 - 6 \cdot 16 = 24\) кода.

Ответ: \(24\)

В распоряжении Василия \(2\) гласные буквы и \(3\) согласные. Из них он может составить всего \(5^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(3^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(5^4 - 3^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(5^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(3^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(5^3 - 3^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(5^4 - 3^4) - (5^3 - 3^3) = 446$$

Ответ: \(446\)

В распоряжении Василия \(2\) гласные буквы и \(4\) согласные. Из них он может составить всего \(6^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(4^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(6^4 - 4^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(6^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(4^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(6^3 - 4^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(6^4 - 4^4) - (6^3 - 4^3) = 888$$

Ответ: \(888\)

В распоряжении Василия \(3\) гласные буквы и \(3\) согласные. Из них он может составить всего \(6^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(3^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(6^4 - 3^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(6^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(3^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(6^3 - 3^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(6^4 - 3^4) - (6^3 - 3^3) = 1026$$

Ответ: \(1026\)

В распоряжении Василия \(2\) гласные буквы и \(3\) согласные. Из них он может составить всего \(5^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(3^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(5^4 - 3^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(5^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(3^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(5^3 - 3^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(5^4 - 3^4) - (5^3 - 3^3) = 446$$

Ответ: \(446\)

В распоряжении Василия \(3\) гласные буквы и \(4\) согласные. Из них он может составить всего \(7^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(4^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(7^4 - 4^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(7^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(4^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(7^3 - 4^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(7^4 - 4^4) - (7^3 - 4^3) = 1866$$

Ответ: \(1866\)

В распоряжении Василия \(2\) гласные буквы и \(5\) согласных. Из них он может составить всего \(7^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(5^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(7^4 - 5^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(7^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(5^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(7^3 - 5^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(7^4 - 5^4) - (7^3 - 5^3) = 1558$$

Ответ: \(1558\)

В распоряжении Василия \(4\) гласные буквы и \(3\) согласные. Из них он может составить всего \(7^4\) различных кодов. Кодов, которые не содержат гласные буквы всего \(3^4.\) Т.о. коды, в которых есть хотя бы одна буква насчитывается равно \(7^4 - 3^4.\) Однако среди них есть те, которые начинаются на букву Й. Посчитаем их. Кодов, начинающихся на Й всего \(7^3,\) из них тех, которые содержат только согласные буквы \(3^3.\) Значит количество кодов, начинающихся на букву Й и содержащих хотя бы одну гласную букву равно \(7^3 - 3^3.\) Окончательно, количество кодов, которые содержат хотя бы одну гласную букву и не начинающийеся на Й равно $$(7^4 - 3^4) - (7^3 - 3^3) = 2004$$

Ответ: \(2004\)

Слова мы можем составлять из четырёх согласных Р, С, Т и М и двух гласных А и У. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов заполнения этих позиций согласными \(4^3.\) Остальные позиции заполняем гласными буквами, причём всего вариантов размещения гласных букв по трём оставшимся позициям тоже \(2^3.\) Всего получается \(2^3 \cdot 4^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(2^2 \cdot 4^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(2 \cdot 4^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(4^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$2^3 \cdot 4^3 \cdot C_6^3 + 2^2 \cdot 4^4 \cdot C_6^4 + 2 \cdot 4^5 \cdot C_6^5 + 4^6 \cdot C_6^6 = 41984.$$

Ответ: \(41984\)

Слова мы можем составлять из трёх согласных З, М и Т и трёх гласных А, И и У. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов заполнения этих позиций согласными \(3^3.\) Остальные позиции заполняем гласными буквами, причём всего вариантов размещения гласных букв по трём оставшимся позициям тоже \(3^3.\) Всего получается \(3^3 \cdot 3^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(3^2 \cdot 3^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(3 \cdot 3^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(3^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$3^3 \cdot 3^3 \cdot C_6^3 + 3^2 \cdot 3^4 \cdot C_6^4 + 3 \cdot 3^5 \cdot C_6^5 + 3^6 \cdot C_6^6 = 3^6 (C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6)= 30618.$$

Ответ: \(30618\)

Слова мы можем составлять из трёх согласных Р, Д и Г и двух гласных А и У. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов заполнения согласными \(3^3.\) Остальные позиции заполняем буквами А и У: всего \(2^3\) вариантов. Итого получается \(2^3 \cdot 3^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(2^2 \cdot 3^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(2 \cdot 3^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(3^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$2^3 \cdot 3^3 \cdot C_6^3 + 2^2 \cdot 3^4 \cdot C_6^4 + 2 \cdot 3^5 \cdot C_6^5 + 3^6 \cdot C_6^6 = 12825.$$

Ответ: \(12825\)

Слова мы можем составлять из четырёх согласных Р, З, М и Х и одной гласной А. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов \(4^3.\) Остальные позиции заполняем буквой А. Всего получается \(4^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(4^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(4^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(4^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$4^3 \cdot C_6^3 + 4^4 \cdot C_6^4 + 4^5 \cdot C_6^5 + 4^6 \cdot C_6^6 = 15360.$$

Ответ: \(15360\)

Слова мы можем составлять из трёх согласных К, Р и Т и двух гласных О и И. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов \(3^3.\) Остальные три позиции заполняем гласными буквами. Всего получается \(3^3 \cdot 2^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(2^2 \cdot 3^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(2 \cdot 3^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(3^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$2^3 \cdot 3^3 \cdot C_6^3 + 2^2 \cdot 3^4 \cdot C_6^4 + 2 \cdot 3^5 \cdot C_6^5 + 3^6 \cdot C_6^6 = 12825.$$

Ответ: \(12825\)

Слова мы можем составлять из трёх согласных К, Р и С и одной гласной А. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов \(3^3.\) Остальные позиции заполняем буквой А. Всего получается \(3^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(3^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(3^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(3^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$3^3 \cdot C_6^3 + 3^4 \cdot C_6^4 + 3^5 \cdot C_6^5 + 3^6 \cdot C_6^6 = 3942.$$

Ответ: \(3942\)

Слова мы можем составлять из двух согласных К и Н и одной гласной А. Если в слове содержится \(3\) согласные, то разместить по \(6\) позициям мы можем \(C_6^3\) способами. Для каждого способа количество вариантов \(2^3.\) Остальные позиции заполняем буквой А. Всего получается \(2^3 \cdot C_6^3\) вариантов. Аналогично рассуждая, получаем, что если в слове \(4\) согласные, то количество различных таких слов \(2^4 \cdot C_6^4,\) для пяти согласных разных вариантов \(2^5 \cdot C_6^5,\) для \(6\) вариантов — \(2^6 \cdot C_6^6.\) Всего слов, удовлетворяющих условию задачи, можно составить $$2^3 \cdot C_6^3 + 2^4 \cdot C_6^4 + 2^5 \cdot C_6^5 + 2^6 \cdot C_6^6 = 656.$$

Ответ: \(656\)

Шестнадцатеричные \(5\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fefef},\) либо \(\overline{efefe},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6, 8, A, C, E\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7, 9, B, D, F\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_8^3 \cdot A_8^2.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fefe}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6, 8, A, C, E \}.\) Всего их \(A_8^2 \cdot A_7^2.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_8^3 \cdot A_8^2 - A_8^2 \cdot A_7^2 = 35280.$$

Ответ: \(35280\)

Шестнадцатеричные \(4\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fefe},\) либо \(\overline{efef},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6, 8, A, C, E\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7, 9, B, D, F\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_8^2 \cdot A_8^2.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fef}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6, 8, A, C, E \}.\) Всего их \(A_8^2 \cdot A_7^1.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_8^2 \cdot A_8^2 - A_8^2 \cdot A_7^1 = 5880.$$

Ответ: \(5880\)

Шестнадцатеричные \(3\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fef},\) либо \(\overline{efe},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6, 8, A, C, E\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7, 9, B, D, F\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_8^2 \cdot A_8^1.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fe}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6, 8, A, C, E \}.\) Всего их \(A_8^1 \cdot A_7^1.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_8^2 \cdot A_8^1 - A_8^1 \cdot A_7^1 = 840.$$

Ответ: \(840\)

Восьмеричные \(8\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fefefefe},\) либо \(\overline{efefefef},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_4^4 \cdot A_4^4.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fefefef}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6 \}.\) Всего их \(A_4^4 \cdot A_3^4.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_4^4 \cdot A_4^4 - A_4^4 \cdot A_3^3 = 1008.$$

Ответ: \(1008\)

Восьмеричные \(7\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fefefef},\) либо \(\overline{efefefe},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_4^4 \cdot A_4^3.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fefefe}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6 \}.\) Всего их \(A_4^3 \cdot A_3^3.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_4^4 \cdot A_4^3 - A_4^3 \cdot A_3^3 = 1008.$$

Ответ: \(1008\)

Восьмеричные \(6\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fefefe},\) либо \(\overline{efefef},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_4^3 \cdot A_4^3.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fefef}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6 \}.\) Всего их \(A_4^3 \cdot A_3^2.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_4^3 \cdot A_4^3 - A_4^3 \cdot A_3^2 = 1008.$$

Ответ: \(1008\)

Восьмеричные \(5\)-значные числа, удовлетворяющие условию задачи, могут иметь вид либо \(\overline{fefef},\) либо \(\overline{efefe},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7\}.\) Чисел первого вида, как и второго, всего существует \(A_4^3 \cdot A_4^2.\) Однако, число не может начинаться с \(0.\) Исключим такие числа. Они имеют вид \(\overline{0fefe}\) и здесь уже \(e \in \{2, 4, 6 \}.\) Всего их \(A_4^2 \cdot A_3^2.\) Окончательно, чисел, удовлетворяющих условию задачи, всего $$2 A_4^3 \cdot A_4^2 - A_4^2 \cdot A_3^2 = 504.$$

Ответ: \(504\)

Если число делится на \(5,\) то оно оканчивается либо на \(0,\) либо на \(5.\) Если число оканчивается на \(0,\) то оно имеет вид \(\overline{fefefef0},\) где \(f \in \{1, 3, 5, 7, 9\},\) а \(e \in \{2, 4, 6, 8\}.\) Всего таких чисел \(A_5^4 \cdot A_4^3.\) Если же число оканчивается на \(5,\) то оно имеет структуру \(\overline{efefefe5},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6, 8\},\) а \(f \in \{1, 3, 7, 9\}.\) Всего таких чисел тоже \(A_5^4 \cdot A_4^3.\) Однако, среди них есть те, которые начинаются на ноль. Исключим их. Такие числа имеют структуру \(\overline{0fefefe5},\) где \(e \in \{2, 4, 6, 8\},\) а \(f \in \{1, 3, 7, 9\}.\) Всего их \(A_4^3 \cdot A_4^3.\) Окончательно, количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно $$2 \cdot A_5^4 A_4^3 - A_4^3 \cdot A_4^3 = 5184.$$

Ответ: \(5184\)

Если число делится на \(5,\) то оно оканчивается либо на \(0,\) либо на \(5.\) Если число оканчивается на \(0,\) то оно имеет вид \(\overline{fefef0},\) где \(f \in \{1, 3, 5, 7, 9\},\) а \(e \in \{2, 4, 6, 8\}.\) Всего таких чисел \(A_5^3 \cdot A_4^2.\) Если же число оканчивается на \(5,\) то оно имеет структуру \(\overline{efefe5},\) где \(e \in \{0, 2, 4, 6, 8\},\) а \(f \in \{1, 3, 7, 9\}.\) Всего таких чисел тоже \(A_5^3 \cdot A_4^2.\) Однако, среди них есть те, которые начинаются на ноль. Исключим их. Такие числа имеют структуру \(\overline{0fefe5},\) где \(e \in \{2, 4, 6, 8\},\) а \(f \in \{1, 3, 7, 9\}.\) Всего их \(A_4^2 \cdot A_4^2.\) Окончательно, количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно $$2 \cdot A_5^3 A_4^2 - A_4^2 \cdot A_4^2 = 1296.$$

Ответ: \(1296\)

Если число делится на \(5,\) то его последняя цифра \(0\) или \(5.\) Если число оканчивается на \(0,\) то оно имеет следующую структуру \(\overline{efef0},\) где \(e \in \{2, 4, 6, 8\},\) а \(f \in \{ 1, 3, 5, 7, 9\}.\) Всего таких чисел \(A_4^2 \cdot A_5^2.\) Если же число оканчивается на \(5,\) то оно имеет структуру \(\overline{fefe5}.\) Здесь уже \(f \in \{ 1, 3, 7, 9\},\) а \(e \in \{0, 2, 4, 6, 8\}.\) Всего таких чисел тоже \(A_4^2 \cdot A_5^2.\) Окончательно, количество десятичных чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно $$2 \cdot A_4^2 \cdot A_5^2 = 480$$

Ответ: \(480\)

Рассмотрим три случая размещения буквы О в слове: на первом месте, на последнем и внутри слова(на втором или третьем месте). 1) О на первом месте. Тогда на втором и третьем местах можно разместить любую букву, кроме О, а на последнем — кроме О и Ъ. Всего \(4^2 \cdot 3\) вариантов. 2) О на последнем месте. Подсчёт аналогичный. Всего тоже \(4^2 \cdot 3\) вариантов. 3) О в середине слова. Тогда на первом и последнем месте стоит буква кроме О и Ъ. Внутри на оставшихся двух позициях одна О. Всего \(2\) варианта её там поставить. На оставшуюся вакантную позицию ставим любую букву кроме О. Всего \(3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4\) варианта. Итого, количество вариантов, удовлетворяющих условию задачи, $$2 \cdot 3 \cdot 4^2 + 3^2 \cdot 2 \cdot 4 = 168.$$

Ответ: \(168\)

Пусть буква А используется в слове \(1\) раз. Разместить её мы можем одним из трёх способов. На оставшиеся две позиции разместим остальные буквы В, Е, С, Н. Всего получим \(3 \cdot 4^2\) вариантов. Пусть буква А теперь используется в слове \(2\) раза. Различных способов разместить их в \(3\)-х буквенном слове тоже \(3.\) Оставшуюся вакансию заполняем одной из \(4\) оставшихся букв. Всего получаем \(3 \cdot 4\) вариантов. Наконец, слово из трёх букв А только одно. Окончательно, количество слов, удовлетворяющих условию задачи, $$3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 1 = 61.$$

Ответ: \(61\)

Всего из слова УЛЕЙ путём перестановок букв можно создать \(4!\) слов. Слов, которые начинаются на Й всего \(3!,\) слов, которые содержат сочетание ЕУ — \(3 \cdot 2!,\) наконец, слов, которые начинаются на Й и содержат сочетание ЕУ всего 2. По формуле Эйлера получаем, что слов, удовлетворяющих условию задачи $$4! - 3! - 3 \cdot 2! + 2 = 14.$$

Ответ: \(14\)

Всего различных перестановок в слове ВУАЛЬ — \(5!\). Уберём отсюда лишние слова. Во-первых, количество слов, для которых Ь стоит на первом месте равно \(4!.\) Во вторых, нам не подходят слова, у которых на \(2,\) \(3\) или \(4\) местах стоит Ь, а после него стоит либо А, либо У. Таких слов всего \(2 \cdot 3 \cdot 3!.\) Итак, всего комбинаций, удовлетворяющих условию задачи, $$5! - 4! - 2 \cdot 3 \cdot 3! = 60$$

Ответ: \(60\)

Всего различных слов, образованных перестановками букв слова КАПКАН, с учётом того, что в нём есть две дважды повторяющиеся буквы, равно $$\frac{6!}{2! \cdot 2!}.$$ Среди этих слов есть те, в которых стоят рядом буквы К или А (КК или АА). Комбинацию из спаренной одной буквы (КК или АА) можно разместить \(5\)-ю различными способами. Оставшиеся \(4\) буквы можно переставить \(\cfrac{4!}{2!}\) способами (среди этих букв есть одна повторяющееся). Всего таких комбинаций $$\frac{2 \cdot 5 \cdot 4!}{2!}.$$ Наконец, слов, в которых и К и А стоят рядом \(4!.\) Действительно, обозначим КК как Щ, АА как Ц. Тогда у нас есть \(4\) различные буквы Щ, Ц, П, Н, из которых надо составить различные слова. Всего таких слов \(4!.\) Собирая всё вместе по формуле Эйлера получаем, что общее количество слов, удовлетворяющих условию задачи, $$\frac{6!}{2! \cdot 2!} - \frac{2 \cdot 5 \cdot 4!}{2!} + 4! = 84$$

Python

from itertools import permutations

words = set()
for p in permutations('КАПКАН'):
    if all(c not in ''.join(p) for c in ('КК', 'АА')):
        words.add(''.join(p))
print(len(words))

Ответ: \(84\)

Букву К можно расположить на одной из трёх позиций кода. На оставшихся \(2\) позициях размещаются произвольно остальные \(4\) буквы слова ШКОЛА. Всего получаем \(3 \cdot 4^2 = 48\) кодов.

Ответ: \(48\)

Если буква О стоит на первом месте, тогда среди оставшихся семи букв в слове одна из них — Ь. Всего \(7\) вариантов его размещения. На оставшихся шести позициях находятся буквы И, Г, Р. Всего получаем \(7 \cdot 3^6\) вариантов кодов, когда первая буква — это О. Если буква О находится не на первом месте, то на этом месте стоит одна из букв И, Г, Р. Среди оставшихся семи позиций на одной стоит О, на другой Ь. Различных способов разместить эти буквы \(A_7^2.\) На пяти вакантных позициях опять произвольно размещаем И, Г, Р. Всего вариантов кодов, когда первая буква кода не О — \(3 \cdot A_7^2 \cdot 3^5.\) Итого, количество кодов, удовлетворяющих условию задач $$7 \cdot 3^6 + 3 \cdot A_7^2 \cdot 3^5 = 35721$$

Ответ: \(35721\)

Если на первом месте стоит буква А, то среди оставшихся \(6\) букв есть одна буква Й. Зафиксировав её положение, у нас останется еще \(5\) вакансий, на каждую из которых мы может поместить одну из \(4\)-х оставшихся букв. Всего получается \(6 \cdot 4^5\) слов. Если А не стоит на первом месте, то тогда этом месте стоит одна из четырёх букв Н, Д, Р, Е. Среди оставшихся \(6\) позиций мы можем разместить А и Й всего \(A_6^2\) способами. Остаётся четыре вакансии для четырёх оставшихся букв. Здесь получаем всего \(4 \cdot A_6^2 \cdot 4^4\) комбинаций. Окончательно, всего кодов Андрей может составить такое количество $$6 \cdot 4^5 + 4 \cdot A_6^2 \cdot 4^4 = 36864$$

Python

from math import perm

print(6 * 4**5 + 4 * perm(6, 2) * 4**4)

Ответ: \(36864\)

Закодируем буквы следующим образом О — \(0,\) П — \(1,\) Р — \(2,\) Т — \(3.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой четверичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Теперь ТОПОР \(=30102_4,\) РОПОТ \(=20103_4.\) Т.е. между этими словами, включая эти слова, стоит \(30102_4 - 10203_4 + 1 = 256_{10}\) слов.

Ответ: \(256\)

Закодируем буквы следующим образом А — \(0,\) З — \(1,\) Н — \(2,\) С — \(3.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой четверичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Теперь САЗАН \(=30102_4,\) ЗАНАС \(=10203_4.\) Т.е. между этими словами, включая эти слова, стоит \(30102_4 - 10203_4 + 1 = 496_{10}\) слов.

Ответ: \(496\)

Закодируем буквы следующим образом Д — \(0,\) К — \(1,\) М — \(2,\) О — \(3.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой четверичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Теперь ДОМОК \(=03231_4,\) КОМОД \(=13230_4.\) Т.е. между этими словами, включая эти слова, стоит \(13230_4 - 3231_4 + 1 = 256_{10}\) слов.

Ответ: \(256\)

Закодируем буквы следующим образом А — \(0,\) М — \(1,\) Р — \(2,\) Т — \(3.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой четверичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Теперь МАРТ \(=1023_4,\) РАМТ \(=2013_4.\) Т.е. между этими словами, включая эти слова, стоит \(2013_4 - 1023_4 + 1 = 61_{10}\) слово.

Ответ: \(61\)

Закодируем буквы следующим образом А — \(0,\) К — \(1,\) Р — \(2,\) У — \(3.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой четверичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Теперь РУКАА \(=23100_4,\) УКАРА \(=31020_4.\) Т.е. между этими словами, включая эти слова, стоит \(31020_4 - 23100_4 + 1 = 121_{10}\) слов.

Ответ: \(121\)

Закодируем буквы следующим образом А — \(0,\) О — \(1,\) У — \(2.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой троичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Теперь УАУАУ \(= 20202_3,\) ОУОУА \(=12120_3.\) Поэтому \(20202_3 - 12120_3 + 1= 33_{10}.\)

Ответ: \(33\)

Закодируем буквы следующим образом К — \(0,\) Л — \(1,\) Р — \(2,\) Т — \(3.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой четверичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Число \(66 = 1002_4.\) Переводя в буквенное обозначение, получаем, что на \(67\)-м месте стоит слово ЛККР.

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('КЛРТ', repeat=4), 1):
    if i == 67:
        print(''.join(p))
        break

Ответ: ЛККР

Закодируем буквы следующим образом А — \(0,\) О — \(1,\) У — \(2.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой троичную запись числа, причём в десятичной записи это число представляет собой уменьшенный на единицу порядковый номер слова в списке. Число \(239 = 22212_3.\) Переводя в буквенное обозначение, получаем, что на \(240\)-м месте стоит слово УУУОУ.

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('АОУ', repeat=5), 1):
    if i == 240:
        print(''.join(p))
        break

Ответ: УУУОУ

Если заменить буквы на цифры: А — \(0,\) К — \(1,\) Л — \(2,\) О — \(3,\) Ш — \(4,\) все пятибуквенные слова превратятся в пятеричную запись некоторых чисел, причем их запись в десятичной СИ — это число на единицу меньшее порядкового номера в списке. А т.к. \(41320_5 = 2710,\) то слово ШКОЛА стоит в этом списке на \(2711\)-м месте.

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('АКЛОШ', repeat=5), 1):
    if ''.join(p) == 'ШКОЛА':
        print(i)
        break

Ответ: \(2711\)

Закодируем буквы следующим образом У — \(0,\) О — \(1,\) А — \(2.\) Тогда числа, представленные в списке представляют собой троичную запись числа, причём нумерация начинается с \(0.\) Число \(239 = 22212_3.\) Переводя в буквенное обозначение, получаем, что на \(240\)-м месте стоит слово АААОА.

Python

from itertools import product

for i, p in enumerate(product('УОА', repeat=5), 1):
    if i == 240:
        print(''.join(p))
        break

Ответ: АААОА

$$N = C_6^2 \cdot 3^4 = 15 \cdot 81 = 1215$$

Python

from itertools import product

word = 'КАНТ'

q = 0
for p in product(word, repeat=6):
    q += p.count('К') == 2
print(q)

Ответ: \(1215\)

$$N = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 2^2 \cdot 3^4 = 324$$

Python

from itertools import product

word = 'ГОД'

q = 0
for p in product(word, repeat=6):
    q += p[0] != 'О' and p[-1] != 'О'
print(q)

Ответ: \(324\)

$$N = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 = 150$$

Python

from itertools import product

word = 'МЕТРО'
vow = 'ЕО'

q = 0
for p in product(word, repeat=4):
    q += p[0] not in vow and p[-1] in vow
print(q)

Ответ: \(150\)

Python

from itertools import product

words = set()
for p in product('ABCD', repeat=3):
    s = ''.join(p)
    if p.count('A') > 0 and not any(c in s for c in ('AD', 'DA')) or 'AA' in s:
        continue
    if all(c not in s for c in ('BC', 'CB')):
        words.add(s)
print(len(words))

Ответ: \(29\)

$$4 \cdot 4^3 = 256$$

Ответ: \(256\)

$$3^4 + 3^5 = 324$$

Ответ: \(324\)

$$5 \cdot 3^4 = 405$$

Ответ: \(405\)

$$C_5^2 \cdot 3^3 = 270$$

Ответ: \(270\)

$$2 \cdot 3^4 = 162$$

Ответ: \(162\)

$$5 \cdot 2^4 = 80$$

Программным способом

Python

from itertools import product
print(len([p for p in product('ПИР', repeat=5) if p.count('П') == 1]))

Ответ: \(80\)