На ЕГЭ по математике в заданиях из тригонометрии часто нужно перевести один угол в другой, синус в косинус и тому подобное, используя формулы приведения. Обычно учитель заставляет эти формулы выучить. Но зачем учить гору формул, когда достаточно запомнить пару правил!

Часто в задачах встречаются выражения вида `cos⁡(x+(3π)/2)`, `sin⁡(π/2−x)`, `tg(x+π/2)`, а также `sin⁡(x+π)` или `cos⁡(π−x)` — то есть такие, где к аргументу прибавляется нечетное число, умноженное на `π/2`, или целое число, умноженное на `π`. Они упрощаются с помощью формул приведения. Эти формулы называются так потому, что с их помощью можно привести выражения к более простым.

Вот эти формулы:

`cos⁡(x+(3π)/2)=sin⁡x`,

`cos⁡(x+π/2)=−sin⁡x`

`sin⁡(π/2−x)=cos⁡x`,

`tg(x+π/2)=−ctgx`,

`sin⁡(x+π)=−sin⁡x`,

`cos⁡(π−x)=−cos⁡x`,

`sin⁡(x-π)=sin⁡x`.

Зубрить наизусть формулы приведения не нужно. Достаточно действовать по алгоритму.

Алгоритм для правил приведения

1) Сначала определим ЗНАК. У получившегося выражения знак такой же, каким будет знак тригонометрической функции в левой его части, при условии, что аргумент х мы берем из первой четверти.

Пример. Упростим выражение `cos⁡(x+π/2)`.
Определяем знак. Взяв x из первой четверти и прибавив к нему `π/2`, попадем во вторую четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит знак минус.

Записываем `cos⁡(x+π/2)=− ...` , теперь нужно определить функцию.

2) Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из него) `π/2`, `(3π)/2`, `(7π)/2`, ... 90°, 270° ... — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция МЕНЯЕТСЯ на кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.

Если же мы прибавляем или вычитаем `π`, `3π`, `5π`, ... 180°, 360° ... — то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию НЕ меняется.

А если промежуточные точки типа `(3π)/4`? А промежуточных ни в формулах приведения, ни на ЕГЭ не бывает.

Запминалка:
Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».

Пример. Упростим выражение `cos⁡(x+π/2)`.
Знак определили в пункте 1, получился минус.
Видим `π/2` ⇒ функция меняется на кофункцию — и в результате в правой части напишем синус.
В итоге получится `cos⁡(x+π/2)=−sin⁡x`

 Но теория без практики - пустая болтовня. Давайте решим несколько заданий ЕГЭ, в которых используются формулы приведения.

Задания ЕГЭ

Посмотрим, как формулы приведения применяются в задачах ЕГЭ по математике.

1. Найдите значение выражения: `(11cos28°)/(sin⁡62°)`.

Решение:

`(11cos⁡28°)/(sin⁡62°)=(11cos⁡(90°−62°))/(sin⁡62°)=(11sin⁡62°)/(sin⁡62°)=11`

Ответ: 11

2. Вычислите: `4tg18°⋅tg72°`.

Решение:

`4tg18°⋅tg72°=4tg18°⋅tg(90°−18°)=4tg18°⋅ctg18°=4`

Ответ: 4

3. Вычислите: `(12)/(sin⁡(−(25π)/4)cos⁡((23π)/4))`.

Тут сложность в том, что один из углов отрицательный, а это значит, что когда определяем четверть, в которой он будет находиться, ИДЕМ по кругу В ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ СТОРОНУ! От этого будет зависеть знак функции.

Решение:

`12/(sin⁡(−(25π)/4)cos⁡((23π)/4))=12/(sin⁡(−(6π+π/4))⋅cos⁡(6π−π/4))=(12)/(−sin  π/4⋅cos  π/4)=−(12)/(sqrt2/2⋅sqrt2/2)=−24`

Мы упростили выражения в скобках.

`-(25π)/4=-(6π+π/4)` Пойдем по кругу из 0 вниз, потому что отрицательный угол

`(23π)/4=(24π)/4−π/4=6π−π/4` Пойдем по кругу в положительную сторону (вверх) на `6π`, а потом откатимся немного назад на `π/4`.

Ответ: - 24

4. Найдите значение выражения: `(2sin⁡152°)/(cos76°⋅cos14°)`.

Решение:

Видим, что 152° может быть двойным углом (2*76°), раскладываем синус152 по формуле синуса двойного угла. Затем применяем формулы приведения.

`(2sin⁡152°)/(cos⁡76°⋅cos⁡14°)=(4sin⁡76°⋅cos⁡76°)/(cos⁡76°⋅cos⁡14°)=(4sin⁡76°)/(cos⁡14°)=(4sin⁡(90°−14°))/(cos⁡14°)=(4cos⁡14°)/(cos⁡14°)=4`

Ответ: 4

5. Упростите выражение: `(3cos⁡(π−β)+sin(π/2+β))/(cos⁡(β+3π))`.

Решение:

`(3cos⁡(π−β)+sin(π/2+β))/(cos⁡(β+3π))=(−3cos⁡β+cos⁡β)/(−cos⁡β)=(−2cos⁡β)/(−cos⁡β)=2`.

Ответ: 2.

6. Найдите значение выражения: `(3cos⁡(−3π−β) +sin⁡(π/2+β))/(5cos⁡(β+3π))`.

Решение:

Используя формулы приведения, получим

`(3cos⁡(−3π−β) +sin⁡(π/2+β))/(5cos⁡(β+3π))=(3cos⁡(−(3π+β)) +sin⁡(π/2+β))/(5cos⁡(β+3π))=(−3cos⁡β+cos⁡β)/(−5cos⁡β)=(−2cos⁡β)/(−5cos⁡β)=0,4`

Ответ: 0,4

7. Найдите значение выражения: `12sqrt2 cos(−225°)`.

Решение:

`12sqrt2 cos(−225°)=12sqrt2⋅cos(−(180°+45°))=`идем по кругу из 0 вниз, потому что отрицательный угол`=−12sqrt2⋅cos45°=−12sqrt2⋅ sqrt2/2=−12`

Ответ: -12

8. Найдите значение выражения: `(35cos⁡11°)/(sin⁡79°) +7`.

Решение:

Используем формулу приведения для синуса 79°.

`(35cos⁡11°)/(sin⁡79°) +7=(35cos⁡11°)/(sin⁡(90°−11°)) +7=(35cos⁡11°)/(cos⁡11°) +7=35+7=42`

А можно не для синуса 79°, а для косинуса 11°? Можно.

`(35cos⁡11°)/(sin⁡79°) +7=(35cos(90-79°))/(sin79°) +7=(35sin79°)/(sin79°) +7=35+7=42`

Ответ: 42

9. Найдите значение выражения: `38/(sin^2 51°+3+sin^2 141°)`.

Решение:

Воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством (сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице):

`38/(sin^2 51°+3+sin^2 141°)=38/(sin^2 51°+3+sin^2 (90°+51°))=38/(sin^2 51°+3+cos^2 51°)=38/4=9,5`

Ответ: 9,5

Лайфхак 1. Если видите в задании ЕГЭ кривые градусы или радианы, не относящиеся к характерным точкам тригонометрического круга, то скорее всего тут надо использовать формулы приведения!

Лайфхак 2. В заданиях краткой части эти синусы-косинусы с кривыми градусами должны сократиться. Если ответ не приводится к целому числу или десятичной дроби, ищите ошибку в решении!