Биссектриса делит угол пополам, значит 
∠BAD = 82 / 2 = 41°

Ответ: 41

Медиана делит сторону пополам, значит
AM = АС/2 = 18/2 = 9

Ответ: 9

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, чтобы найти третий угол треугольника, нужно сложить два известных угла и вычесть их сумму из 180°
180° − (72° + 42°) = 66°

Ответ: 66

Внутренний угол С треугольника ABC и внешний угол при вершине C смежные, а значит их сумма равна 180°. Тогда, внешний угол при вершине C равен

180°-133°=47°

Ответ: 47

Сумма углов треугольника равна 180°.
Треугольник равнобедренный, значит углы при основании равны.

∠ВСА =∠ВАС = (180° - 124°) / 2 = 28°

Ответ: 28

Сумма углов треугольника равна 180°.
Прямой угол равен 90°.
Следовательно, чтобы найти другой острый угол треугольника, нужно из 180° отнять 90° и отнять известный угол.
180° − 90° − 53° = 37°

Ответ: 37

ABH - прямоугольный треугольник, так как BH - высота.
По теореме о сумме углов треугольника
∠ABH+∠AHB+∠BAH = 180°
∠ABH = 180° - ∠AHB - ∠BAH
∠BAH - это ∠BAC, он равен 64°
∠AHB = 90°
∠ABH = 180 - 90 - 64 = 26°

Ответ: 26

CM — медиана, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, значит,
CM = AB/2 = 36/2 = 18

Ответ: 18

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 6 * 7 = 21

Ответ: 21

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 24 * 19 = 228

Ответ: 228

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 6 + 10 = 16
S_ВСD  = 48 * 10 / 16 = 30

Ответ: 30

Поскольку отрезок MN соединяет середины двух сторон треугольника ABC, MN является средней линией, она параллельна AC и равна её половине:
МN = АС/2 = 72/2 = 36

Ответ: 36

Треугольники ABC и MBN подобны по двум углам: ∠B — общий, ∠BMN = ∠BAC — соответственные при секущей AB, MN и AC параллельны.
Из подобия треугольников следует:

BM = MN
AB      AC , поэтому

BM = ^MN/_AC * AB = 18/24 * 28 = 21, тогда
AM = AB − BM = 28  - 21 = 7

Ответ: 7

$\frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=\left(\frac{MN}{AC}\right)^2$, поэтому
$S_{MNB}=\left(\frac{MN}{AC}\right)^2\ast S_{ABC}$
S_MNB = (14/21)² * 27 = 12

Ответ: 12

Отрезки AN и CM — медианы. Медианы в треугольнике при пересечении делятся в отношении 2:1 (первое свойство медианы), считая от вершины:

AO = 2
ON    1 

Всего частей 3, следовательно, 

AO = 2  ⇒
AN    3

AO =  ²/₃ * AN = ²/₃ * 24 = 16

Ответ: 16

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 2*18
CH² = 36
CH =√36
CH =6

Ответ: 6

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
гипотенуза² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676
гипотенуза = √676 = 26

Ответ: 26

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.
√ 25² - 20² = √ 625 - 400 = √ 225 = 15

Ответ: 15

В равностороннем треугольнике высота является медианой и биссектрисой. Она делит этот треугольник на 2 прямоугольных треугольника.
Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и высота - катетом.
а = 9√ 3, b = с/2, с - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
$с^2=а^2+{(\frac с2)}^2$
$с^2-{(\frac с2)}^2=а^2$
$с^2-\frac{с^2}4=а^2$
$\frac{4с^2-с^2}4=а^2$
$\frac34с^2=а^2$
$с^2=\frac43а^2$
$с=\sqrt{\frac43а^2}$
$с=\frac2{\sqrt3}а$

c = ²/_√3 * 9√3 = 2 * 9 = 18

18*3=54

Ответ: 54

Поскольку проведена медиана, а медиана в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора.

Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны - катетом, и медиана - катетом.
с = 16√ 3, b = с/2, а - ?
По теореме Пифагора а² + b² = с²
а² = с² - b²

$а^2=с^2-{(\frac с2)}^2=\frac{4с^2-с^2}4=\frac{3с^2}4=\frac34с^2$

$а=\sqrt{\frac34с^2}=\frac{\sqrt3}2c$

a = √3/2 * 16√ 3 = 16 * 3/2 = 24

Ответ: 24

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. А значит найдем гипотенузу АВ треугольника АВС по теореме Пифагора и разделим ее пополам.

AB = √ (AC² + BC²) = √ (20² + 21²) = √ (400 + 441) = √ 841 = 29

Найдем радиус.

R = 1/2 * AB = 1/2 * 29 = 29/2 = 14,5

Ответ: 14,5

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 9/25 = 0,36
Ответ: 0,36

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/20 = 0,7
Ответ: 0,7

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 27/9 = 3
Ответ: 3

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=64*3/8=24

Ответ: 24

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=21*3/7=9

Ответ: 9

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=27*5/9=15

Ответ: 15

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 - sin²A =1 - (^√15/₄)² = 1 - ¹⁵/₁₆ = 1-0,9375 = 0,0625
cosA = 0,25

Ответ: 0,25

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 - cos²A =1 - (^√21/₅)² = 1 - ²¹/₂₅ = 1-0,84 = 0,16
sinA = 0,4

Ответ: 0,4

S = ¹/₂аb • sinγ = ¹/₂*12*10*8/15=32
Ответ: 32

По теореме синусов:

$\frac{АС}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

АС = ^ВС/_sinA * sinB

$АС=\frac{4\sqrt6}{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\ast\frac{\sqrt3}2=\frac{4\cancel{\sqrt6}^{(\sqrt{3)}}\ast\cancel2\ast\sqrt3}{\cancel{\sqrt2\ast2}}=4\ast3=12$

Ответ: 12

а² = b² + с² - 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² -  а²
$\cos\alpha=\frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$\cos\alpha=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\ast 2\ast 3}$= -3/12 = -0,25
Ответ: -0,25