С

Обозначим точку пересечения касательных как С. ∠С по условию 58°
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому
AC=BC,
следовательно, треугольник ABC — равнобедренный.
Отсюда
∠CAB = ∠CBA = (180 - ∠ACB) / 2  = (180° - 58°) / 2 = 61°
Касательные перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания, следовательно
∠CBO = 90°
∠ABO = ∠CBO - ∠CBA = 90° - 61° = 29°
Ответ: 29

Еще вариант решения:

∠С по условию 58°
OA и OB - радиусы, значит △OAB равнобедренный и ∠OAB=∠OBA
Сумма углов четырехугольника 360°. 2 угла прямые (так как СА и СВ - касательные, а они всегда под прямым углом к радиусу) и дают в сумме 180°.
∠AOB = 180° - 58° = 122°
Сумма углов треугольника 180°
∠OAB=∠OBA=(180° - 122°)/2 = 58/2 = 29°
Ответ: 29

∠AOB = 180° - 87° = 93°
Ответ: 93

Угол AOB является центральным углом, ∠ACB — вписанным.
Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠ACB в два раза меньше ∠AOB. 
∠ACB = ∠AOB / 2 = 64° / 2 = 32°.
Ответ: 32

Углы АОD и ВОС  - вертикальные, значит ∠АОD = ∠ВОС = 72°
Поскольку АС и ВD - диаметры, ВО = ОС, то есть треугольник ВОС - равнобедренный, значит его углы при основании равны.
Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АСВ = ∠ОСВ = (180° - 72°) / 2 = 108° / 2 = 54°

Ответ: 54

Поскольку АС и ВD - диаметры, ВО = ОС, то есть треугольник ВОС - равнобедренный, значит его углы при основании равны.
∠АСВ = ∠ОСВ = ∠ОВС = 25°
Сумма углов треугольника равна 180°.
∠ВОС = 180° - 2*25° = 130°

Углы АОD и ВОС  - вертикальные, значит они равны:
∠АОD = ∠ВОС = 130°

Ответ: 130

Угол NBA — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается.
Следовательно, дуга AN = 2∠NBA = 2 · 55° = 110°

Диаметр AB делит окружность на две равные части, поэтому величина дуги ANB равна 180°,
откуда дуга NB = 180° − 110° = 70°

Угол NMB — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен
70°/2 = 35°

Ответ: 35

Проведём радиус OB.
Рассмотрим треугольник AOB:
AO = OB, следовательно, углы при основании равнобедренного треугольника 
∠OAB = ∠ABO = 34°.

Рассмотрим треугольник BOC:
BO = OC, следовательно,
∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 49° −34° = 15°.

Ответ: 15

Проведем отрезки из центра окружности к точкам А и В.
∠AOB - центральный, следовательно равен градусной мере дуги,
т.е. ∠AOB=136°.

Рассмотрим треугольник AОB:
OA=OB, так как это радиусы окружности.
Получается, что данный треугольник равнобедренный. Следовательно,
∠OAB=∠OBA (по свойству равнобедренного треугольника)
По теореме о сумме углов треугольника:
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°
∠OAB = ∠OBA = (180-136) : 2 = 44 : 2 = 22°

∠OBC = 90° (по свойству касательной он перпендикулярен радиусу).
∠ABC = ∠OBC - ∠OBA
∠ABC = 90° - 22°= 68°

Ответ: 68

PC = DP
BP     АР

АР =  BP*DP
            PC  
AP = (20*24)/30=480/30=16
Ответ: 16

По теореме о касательной и секущей:
AK²=AB*AC
AK²=7*28
AK²=196
AK=√196=14

Ответ: 14

По теореме о касательной и секущей:
AK²=AB*AC
АС=АВ+ВС=6+18=24
AK²=6*24
AK²=144
AK=√144=12

Ответ: 12

Собственно из рисунка видно, что диаметр окружности равен высоте окружности, особенно это становится очевидным, если высоту провести перпендикулярно основаниям через центр окружности. То есть получается высота равна два радиуса

2*38=76

Ответ: 76

Если провести линию через центр окружности, параллельно стороне квадрата, она окажется диаметром окружности. Значит, ее радиус равен половине стороны квадрата.
46/2 = 23

Ответ: 23

Так как радиус 11, значит диаметр 22, и он равен длине стороны квадрата.
Sкв.= 22² = 484

Ответ: 484

Запишем равенство, используя теорему Пифагора

х=2√((10√2)²+(10√2)²)=2√(100*2+100*2)=2*20=40

Ответ: 40

По второму свойству вписанной в четырехугольник окружности: если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

AB+CD=BC+AD
AD=AB+CD-ВС
AD= 14 + 23 - 15 = 22

Ответ: 22

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 56/2 * 5 = 140

Длина одной из сторон - лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 140

Проведем еще две высоты в равностороннем треугольнике. Причем высоты являются биссектрисами и медианами. В итоге получим 6 прямоугольных треугольников, у которых есть угол в 30 градусов, а значит R =2r, то есть вся высота H=2r+r=3r

11*3=33

Ответ: 33

Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных  треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.

$4\left(11\surd3\right)^2=\left(11\surd3\right)^2+x^2\\x^2=\;3\left(11\surd3\right)^2\\х^2=3\ast121\ast3\\х=\sqrt{1089}\\х=33$

33*2=66

Ответ: 66

Проведем две высоты. При этом точка пересечения высот O является центром окружностей, из свойств равностороннего треугольника. Также высота будет являться биссектрисой, а значит угол BCO в прямоугольном треугольнике равен 30º Мы знаем, что катет в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы OC = 2R. Теперь используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника выразим R, через сторону AC. Получаем.

$\left(\frac{AC}2\right)^2+R^2\;=\left(2R\right)^2\\\left(\frac{AC}2\right)^2=4R^2-R^2\\\left(\frac{AC}2\right)^2=3R^2\\R^2=\frac{AC}4^2\ast\frac13\\R=\frac{AC}{2\sqrt3}$

Подставляем в формулу значение и считаем.

R=AC/2√ 3=4√ 3/2√ 3=2

Ответ: 2

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны:
∠CBD = ∠CAD =  54°

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 38° + 54° = 92°

Ответ: 92

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны:
∠CBD = ∠CAD = 80°

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD, отсюда
∠ABD = ∠ABC - ∠CBD
∠ABD = 132° - 80° = 52°

Ответ: 52

Сумма углов треугольника равна 180°.
Треугольник ABC — равнобедренный, следовательно
∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 

Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается.
Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается.
Углы BAC и BOC опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
∠BOC = 2∠BAC = 2 * (180° - ∠ABC) / 2 = 180° - ∠ABC

∠BOC = 180° - 57° = 123 °.

Ответ: 123

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол ACB равен 90°. 
Сумма углов треугольника равна 180°, значит
∠ABC = 180°  - 90° - 9° = 81°

Ответ: 81

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.
AB = 12,5*2 = 25
По теореме Пифагора
AB² = АС² + ВС²
АС² = AB² - ВС² 
АС² = 25² - 24² 
АС² = 49
АС = 7

Ответ: 7

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°:
∠A + ∠C = 180°, отсюда

∠C = 180 - ∠A = 180° - 62° = 118°

Ответ: 118

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°:
∠A + ∠C = 180°, отсюда

∠C = 180 - ∠A = 180° - 111° = 69°

Ответ: 69

Посмотрим на основания трапеции как на параллельные прямые, а на боковую сторону AB как на секущую.
Тогда углы A и B - внутренние односторонние, а сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°, значит:
∠A + ∠B = 180°
∠B = 180° - ∠A
∠B = 180° - 76° = 104°

Ответ: 104

По условию задачи, четырехугольник вписан в окружность, следовательно, сумма его противоположных углов равна 180° (по свойству описанной окружности).
Т.е. ∠BAD+∠BCD=180°
∠BCD=180°-∠BAD
∠KCB является смежным углу BCD, следовательно:
∠KCB+∠BCD=180°
Подставляем значение угла BCD:
∠KCB+(180°-∠BAD)=180°
∠KCB+180°-∠BAD=180°
∠KCB+180°-180°=∠BAD
∠KCB=∠BAD
Т.е. эти углы равны.

Рассмотрим треугольники AKD и BKC.
∠BKC - общий.
∠KCB=∠BAD (это мы определили ранее)
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия).

Тогда:
BK = BC
DK    AD

AD = DK*BC
            BK

AD = 12*6
            8
AD = 9

Ответ: 9

Если провести диагонали в квадрате, который вписан в окружность, то радиус окружности будет равен половине диагонали квадрата. Отсюда по теореме Пифагора можно выразить неизвестный нам радиус, который является катетом для равнобедренного треугольника с гипотенузой - стороной квадрата. И так как гипотенуза нам известна, то можно выразить будет этот самый радиус R.

Получаем:
a²=R²+R²
a²=2R²
R=a/√ 2

Теперь подставляя в полученное равенство известную нам сторону квадрата находим радиус окружности.

R=a/√ 2=14√ 2/√ 2=14

Ответ: 14

Если провести в квадрате диагонали, от точки пересечения этих диагоналей до вершин квадрата получится радиус описанной окружности. А если провести из точки пересечения диагоналей высоту к одному из 4 получившихся равнобедренных прямоугольных треугольников, то получим радиус вписанной окружности, которая нам известна. Теперь руководствуясь этими выводами можно вывести соотношение радиусов вписанной и описанной окружности используя теорему Пифагора.

Получаем:
$R^2=a^2+a^2\\R^2=2a^2$
R=a*√ 2

Теперь подставляя в полученное равенство известную нам величину (радиус вписанной окружности), мы получаем радиус описанной окружности.

R=20√ 2*√ 2=20*2=40

Ответ: 40

Получаем:
$R^2=a^2+a^2\\2a^2=R^2\\a^2=\frac{R^2}2\\a=\frac R{\sqrt2}$

Теперь подставляя в полученное равенство известную нам величину (радиус вписанной окружности), мы получаем радиус описанной окружности.

a=R/√ 2=6√ 2/√ 2=6

Ответ: 6

Радиус окружности равен половине диаметра. В данном случае диаметром является диагональ квадрата. А значит исходя из того, что диагональ в квадрате образует два прямоугольных треугольника можно ее найти стороны, используя теорему Пифагора. Записываем. 

$\left(2\ast32\surd2\right)^2=2x^2\\x^2=\frac{\left(2\ast32\surd2\right)^2}2\\x=\sqrt{\frac{\left(2\ast32\surd2\right)^2}2}\\х=\frac{2\ast32\surd2}{\sqrt2}=64$

Ответ: 64

Проведем еще две прямые в равностороннем треугольнике. Причем на прямой часть ее будет высотой, а одновременно биссектрисой и медианой. В итоге получим 6 прямоугольных треугольников, у которых есть угол в 30 градусов, а значит R =2r, то есть вся высота H=1.5R

16*1.5=24

Ответ: 24

Достраиваем в нашем равностороннем треугольнике две высоты, которые также являются и биссектрисами. В итоге каждый угол из которого выходит высота делится пополам и для равностороннего треугольника становится равен 60º/2=30º
При этом высота перпендикулярна к основанию и мы получаем прямоугольный треугольник. А в прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. То есть BC=AC/2.
Но также при пересечении высот мы получаем и еще один меньший прямоугольный треугольник BCD, где также есть угол в 30 градусов. И опять же делаем заключение, что CD=2*BD, а CD является радиусом описанной окружности. Теперь выражаем радиус через сторону используя теорему Пифагора.

$R^2=\left(\frac{AC}2\right)^2+\left(\frac R2\right)^2\\R^2-\left(\frac R2\right)^2=\left(\frac{AC}2\right)^2\\\frac{4R^2}4-\frac R4^2=\frac{AC^2}4\\\frac{3R^2}4=\frac{AC^2}4\\3R^2=AC^2\\R^2=\frac{AC^2}3\\R=\frac{AC}{\sqrt3}$

Подставляем значение и вычисляем.

R = 18√ 3/√ 3=18
Ответ: 18 

Проведем еще две прямые (биссектрисы, медианы, высоты) в равностороннем треугольнике. Получим 6 прямоугольных равных  треугольников, в который один угол равен 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы. Используя теорему Пифагора можем вычислить второй катет этого треугольника и умножить на два, тем самым получив сторону треугольника.

$\left(11\surd3\right)^2=\left(\frac{11\surd3}2\right)^2+x^2\\x^2=\;\frac{4\left(11\surd3\right)^2}4-\frac{\left(11\surd3\right)}4^2\\х^2=\frac{3\left(11\surd3\right)^2}4\\х=\sqrt{\frac{3\ast121\ast3}4}\\х=\sqrt{\frac{1089}4}=\frac{33}2=16.5$

16.5*2=33

Ответ: 33

Обобщенная теорема синусов гласит, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. При этом для треугольника АВС с радиусом описанного круга R верно соотношение:
$\frac{AB}{\sin\angle C}=2R\\R=\frac{AB}{2\sin\angle C}$

sin45°=√ 2/2

Подставляем в формулу значение:

R=AB/2sin∠C=

= 8√ 2 *2
      2√ 2       = 8

Ответ: 8

Обобщенная теорема синусов гласит, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. При этом для треугольника АВС с радиусом описанного круга R верно соотношение:
$\frac{AB}{\sin\angle C}=2R\\R=\frac{AB}{2\sin\angle C}$
Подставляем в формулу значение:

R=AB/2sin∠C=

= 14√ 2 *2
      2√ 2       = 14

Ответ: 14

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 120°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° - 120° = 240°

Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
120°    -      67
240°  -      х

120  = 67
240     х

x =  240*67
          120
x = 16080
        120
х = 134

Ответ: 134

Круг составляет 360°, его площадь равна 123.
Пусть х - площадь сектора, центральный угол которого равен 120°. Составим пропорцию.

угол   площадь
360°  -     123
120°   -      х

360/120 = 123/x
х = (123 * 120) / 360 = 14760 / 360 = 41 
Значит, площадь сектора равна 41 кв. единица.

Ответ: 41

15

16

10

6

36

46

28

76

56,5

29,5

83,5

23,5

23

162

97

47

9

27

148

99

32

56

68

124

19

16

143