Задание №19 высокой сложности с развернутыми ответами ЕГЭ математика профиль, ФИПИ

Тип ответа: Развернутый ответ. Самое сложное задание в профильном ЕГЭ, много логики и смекалки, но на пункты а) и б) бывает ответить очень даже возможно, так что не игнорируйте это задание, выжмите хотя бы 1 балл, а лучше все 4.

Задания ниже собраны из ОБОИХ банков ФИПИ без дублей.

Заданий линейки 19 ЕГЭ математика профиль из банков ФИПИ

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2022)
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

решение
Ответ: а) да б) нет в) 283/190

Номер: 30D64C

Дайте развернутый ответ.
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

КЭС: 1.1.1 Целые числа 1.1.3 Дроби, проценты, рациональные числа 1.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Решение:

Решение.

а) Предположим, что в школе №1 n учеников писали тест и набрали средний балл, равный A. Значит, суммарный балл будет равен n∙A и при переходе одного ученика в школу №2 суммарный балл должен стать равным 2A(n-1). Получаем уменьшение суммарного балла на

nA-2A(n-1)=nA-2nA+2A=2A-nA=A(2-n)

Учитывая, что перешедший учащийся набрал положительное число баллов и n≥2, имеем отрицательное значение нашего выражения, что противоречит сути задачи.

б) Предположим, что в школе №2 средний балл равен B и перешедший ученик набрал u баллов. Учитывая, что после перехода ученика в школу №2 средний балл в школе №1 вырос на 10% (в 1,1 раз), то для u можно записать равенство:

u=nA-1.1(n-1)A

Аналогичное равенство можно записать и через B, учитывая, что изначально в школе №2 было 51-n учеников, а затем, стало 52-n учеников:

u=1.1(52-n)B-(51-n)B

Приравняем все эти выражения и умножим их на 10:

10u=(11-n)A=(62-n)B

Так как B=1 по условию, то

10u=62-n

u=(62-n)/10

А из выражения (11 - n)A следует, что n≤11 , значит, подходит только значение n=2, чтобы получить натуральное u. Но при n=2 из выражения

(11 - 2)A = (62-2)*1

9A=60

не получается целое A. Поэтому ситуация под буквой б невозможна.

в) Предположим, что минимальный средний балл B=2 (случай при B=1 уже рассмотрен в б). Тогда получаем, что n=2 или 7, но при этих значениях нельзя получить целое A. Не подходит.

Если B=3, то n=2. Имеем u=18 и A=20. Подходит.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

Номер: F58FFD

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 7B10F3

Дайте развернутый ответ.
Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, а в третьей — 15?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

...
Ответ:

Номер: 7CA5F3

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2022)
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли N быть равным 200?

б) Может ли N быть равным 109?

в) Найдите наибольшее значение N.

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

...
Ответ:

Номер: AB3CF8

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2022)
Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

а)  да. Можно, например, сделать такие действия:
(101,102,103,0) → (100,101,102,3) → (99,100,101,6) → (98,99,104,5) → (97,102,103,4).

б)  Если в одной коробке окажется 306 камней, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках 1 и 2 количества камней каждый ход меняют четность, поэтому всегда остаются разной четности и не могут оба стать нулями.

в)  Покажем, как получить в первой коробке 303 камня:
(101,102,103,0) → (100,101,102,3) → (99,100,101,6) → ... → (75,76,77,78) → (78,75,76,77) → (81,74,75,76) → ... → (303,0,1,2)

Больше сделать нельзя. Действительно, начальные количества камней давали разные остатки от деления на 4, и это свойство сохранится, поскольку от каждого количества вычитают 1, а потом к одному прибавляем 4. Значит, минимум камня не попадут в четвертую коробку, что дает оценку 101+102+103-0-1-2=303 камня.

Ответ: а) да, б) нет, в) 303.

Заметим, что и в четвертой коробке можно получить максимум 303 камня: если проделать описанную в условии операцию 101 раз с первыми тремя коробками, то в четвертой окажется 303 камня. Большее количество получить нельзя, поскольку, как показано выше, разные остатки при делении на 4 являются инвариантом при перекладывании камней.

Номер: 8381FC

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

КЭС: 1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

Решение:

...
Ответ:

Номер: 2B4308

Дайте развернутый ответ.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: AB0F0C

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2023)
В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %.

а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Решение:

решение
Ответ: а) да б) нет в) 25%

Номер: D3C577

Дайте развернутый ответ.
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S быть равной `16 5/6` ?

б) Может ли S быть равной `569 29/126` ?

в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

...
Ответ:

Номер: 920C72

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S−B .

КЭС: 1.1.1 Целые числа 1.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Решение:

...
Ответ:

Номер: AED2BB

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: A8EFB6

Дайте развернутый ответ.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: B5D110

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 9C9614

Дайте развернутый ответ.
Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.

а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60?

б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно 15?

в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: E5791E

Дайте развернутый ответ.
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 132, если n=60?

б) Можно ли получить сумму 132, если n=80?

в) Для скольких значений n можно получить сумму 132?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 34A218

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

КЭС: 1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

Решение:

...
Ответ:

Номер: D8F724

Дайте развернутый ответ.
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе № 2 средний балл равнялся 42.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № 2 изначально?

б) Каждый учащийся школы № 2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы № 1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы № 2?

в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?

Решение:

...
Ответ:

Номер: D6152F

Дайте развернутый ответ.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: EC9829

а) Можно ли получить сумму 113, если n=50?

б) Можно ли получить сумму 114, если n=50?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n=50?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 4B81D5

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?

б) В школе № 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе № 2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе № 2 изначально?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 40BED3

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

КЭС: 1.1.1 Целые числа 1.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Решение:

...
Ответ:

Номер: 7C3FDA

Дайте развернутый ответ.
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение:

а) Пусть учащиеся школы № 1 набрали 2 и 38 баллов соответственно. Средний балл школы № 1 составил 20 баллов. Если перешел человек с 38 баллами, то средний балл школы № 1 станет равен 2, т.е. уменьшится в 10 раз.

б) Пусть в первой школе было x учеников, а их средний балл – A , тогда во второй школе 9-х учеников, их средний балл – B . Тогда, после перехода ученика средний балл стал 0,9A, а во второй - 0,9B. Баллов всего было Ax+B(9−x).

Таким образом, т.к. количество баллов после переходов не изменилось, получим:

Ax+B(9−x)=(x−1)⋅0,9A+(10−x)⋅0,9B

Если B=7, имеем:

xA+63−7x=0,9Ax−0,9A+63−6,3x
0,1Ax+0,9A=0,7x
Ax+9A=0,7x
A(x+9)=7x⇒

правая часть делится на 7, следовательно, левая тоже, то есть, либо x+9 делится на 7, либо A кратно 7.

1. Если A делится на 7, то

A=7k⇒ 7k(x+9)=7x
k(x+9)=x
kx+9k=x

такого быть не может, поскольку числа были положительными ⇒k – положительно, значит, kx– положительно, и kx>x, что невозможно.

2. x+9 делится на 7. Количество учеников равно 9, отсюда x лежит в промежутке от 2 до 7 (чтобы выполнялось условие). Значит, x+9 может равняться только 14⇒x=5
14A=7⋅5
A=35/14=5/2

Противоречие с условием, значит, такого быть не могло.

в) Аналогично предыдущему пункту:

xA+9B−xB=0,9xA−0,9A+9B−0,9xB
0,1Ax+0,9A=0,1xB
Ax+9A=xB
`B=(A(x+9))/x`

A>1, т.к. средний балл станет 0,9A, но при A=1 это невозможно (имеем хотя бы 2 ученика и натуральное число набранных баллов).

Перебор по x от 2 до 7 (выше указано, почему именно эти x - всевозможные)

x=2
`B=(11A)/2`⇒ минимально возможное A равно 2, а B=11
x=3
`B=(12A)/3`⇒ B=4A минимально возможное A равно 2, а B=8
x=4
`B=(13A)/4`⇒ минимально возможное A равно 4, а B=13
x=5
`B=(14A)/5`⇒ минимально возможное A равно 5, а B=14
x=6
`B=(15A)/6`⇒ минимально возможное A равно 2, а B=5
x=7
`B=(16A)/7`⇒ минимально возможное A равно 7, а B=16

Минимальное значение для B получилось равным 5. Необходимо построить пример:

Первая школа: было 2, стало 1,8
Вторая школа: было 5, стало 4,5

Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 - по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося - 3 балла.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Номер: E983D6

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2023)
Из пары натуральных чисел (a; b) за один ход можно получить пару (a+2; b−1) или (a−1; b+2) при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара (5; 7) .

а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Решение:

...
Ответ:

Номер: 6948DB

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2023)
Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют S — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел A=123 и B=579 получается сумма S=1⋅5+2⋅7+3⋅9=46 .

а) Существуют ли трёхзначные числа A и B, для которых S=200 ?

б) Существуют ли четырёхзначные числа A и B, для которых S=320 ?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой S для некоторых пятизначных чисел A и B ?

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Решение:

...
Ответ:

Номер: 4A9559

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2022)
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.

а) Может ли N быть равным 360?

б) Может ли N быть равным 149?

в) Найдите наибольшее значение N.

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

решение
Ответ: а) нет б) нет в) 212

Номер: D51CAD

Дайте развернутый ответ.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 6E32AD

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+…+90 , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 002FC3

Дайте развернутый ответ.
Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

КЭС: 1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

Решение:

...
Ответ:

Номер: C009C4

Дайте развернутый ответ.
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 37B190

Дайте развернутый ответ.
По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 5066E8

Дайте развернутый ответ.
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 6?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Решение:

...
Ответ:

Номер: A0A7EB

Дайте развернутый ответ. ²⁰²⁴
Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое —
трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

КЭС: 1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

Решение:

...
Ответ:

Номер: CFEFEF

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Решение:

...
Ответ:

Номер: C690EB

Дайте развернутый ответ.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: EA76EF

Дайте развернутый ответ.
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

КЭС: 1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

Решение:

...
Ответ:

Номер: 8755EE

Дайте развернутый ответ.
Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

КЭС: 1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

Решение:

...
Ответ:

Номер: 0FB969

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2023)
Из правильной несократимой дроби a/b , где a и b — натуральные числа, за один ход получают дробь `(a+b)/(2a+b)`.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1/3 получить дробь 22/31 ?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 7/12 ?

в) Несократимая дробь c/d больше 0,7. Найдите наименьшую дробь c/d, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Решение:

...
Ответ:

Номер: 7F366B

Дайте развернутый ответ.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

КЭС: 1.1 Числа, корни и степени 1.4 Преобразования выражений

Решение:

...
Ответ:

Номер: 2A4168

Дайте развернутый ответ.
Ваня написал на доске трёхзначное число A. Петя переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число B. Коля тоже переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число C.

а) Может ли быть верным равенство A=B⋅C, если A>150 ?

б) Может ли быть верным равенство A=B⋅C, если 540≤A<600 ?

в) Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A=B⋅C.

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Решение:

...
Ответ:

Номер: 724631

Дайте развернутый ответ. (ЕГЭ 2023)
Из пары натуральных чисел (a;b), где a>b, за один ход получают пару (a+b;a-b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару (806;788)?

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a;b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806;788)?

КЭС: 2.1 Уравнения 2.2 Неравенства

Решение:

решение
Ответ: а) да б) нет в) 403

Номер: 12AE34

Дайте развернутый ответ.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение:

...
Ответ:

Номер: FB6A82

Дайте развернутый ответ.
Над парами целых чисел проводится операция: из пары (a; b) получается пара (3a+b; 3b−a).

а) Можно ли из какой-то пары получить пару (5; 5)?

б) Верно ли, что если пара (c; d) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара (−d; c) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел (a; b) и (c; d) выражением |a−c|+|b−d|. Найдите наименьшее расстояние от пары (9; 2) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

КЭС: 1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

Решение:

...
Ответ:

Номер: 2DC181

Дайте развернутый ответ.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

КЭС: 1.1.1 Целые числа 1.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Решение:

...
Ответ:

Номер: D5588E

Дайте развернутый ответ.
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

КЭС: 1.1.1 Целые числа

Решение:

...
Ответ:

Номер: 9BC08F

Задания из строго банка ФИПИ (без дублей нового)

КЭС: Алгебра

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: 69A802

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: 8EDB25

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: E0F4E9

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: 4830FC

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1782. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5,5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: 5A8B7C

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: D8C7AB

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решение:

...
Ответ:

Номер: A98046

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 04AAD6

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 85636F

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

...
Ответ:

Номер: B867EE

На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается их сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9; а вместо 3,3 и 5 записывается 8).

а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.

б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?

в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?

Решение:

...
Ответ:

Номер: B0BC42

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b , записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a−1 , или a+b и 2b−1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?

в) Сделали 1007 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Решение:

...
Ответ:

Номер: EC5146

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 58 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 05A0D0

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 9B91D0

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Решение:

...
Ответ:

Номер: E05441

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Решение:

...
Ответ:

Номер: DC68AD

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 3E5101

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение:

...
Ответ:

Номер: C129A3

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение:

...
Ответ:

Номер: C4488B

В последовательности a₁ , a₂ , …, a_n − 1 , a_n , состоящей из целых чисел, a₁=1 , a_n=235 . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 353F03

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.

а) Является ли множество {100 ; 101 ; 102 ; … ; 199} хорошим?

б) Является ли множество {2 ; 4 ; 8 ; … ; 2200} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества

{1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11 ; 12} ?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 47B913

а) Является ли множество {200 ; 201 ; 202 ; … ; 299} хорошим?

б) Является ли множество {2 ; 4 ; 8 ; … ; 2100} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 13 ; 17 ; 18} ?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 86A618

Про возрастающую последовательность из десяти различных натуральных чисел известно, что каждый член последовательности больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое пяти первых членов равно 10, а среднее арифметическое шести последних членов равно 40.

а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 8,5.

б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 9,5?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.

Решение:

...
Ответ:

Номер: 46BAC2

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720, и

а) пять;
б) четыре;
в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 8FB05D

Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Решение:

...
Ответ:

Номер: 2C01D5

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решение:

...
Ответ:

Номер: 24C2D5

: Обновлено: 12 августа 2024

ЕГЭ по математике профиль 2025, все задания ФИПИ с ответами