§62. Равенство работ при использовании простых механизмов. "Золотое правило" механики

Вопросы

1. Какое соотношение существует между силами, действующими на рычаг, и плечами этих сил (см. рис. 167)?

рис. 167. Равновесие рычага с осью вращения

Ответ:

По правилу моментов или уравновешенного рычага Архимеда получается:
$\frac{F_{1}}{ F_{2}} = \frac{l_{2}}{ l_{1}} $
где $F_{1}$ и $F_{2}$ — силы, действующие на рычаг, $l_{1}$ и $l_{2}$ — плечи этих сил.
То есть рычаг уравновешен, при разных силах и разных плечах сил.

2. Какое соотношение существует между путями, пройденными точками приложения сил на рычаге, и этими силами?

Ответ:

Расстояния пройденные точками где приложены силы на рычаге, обратно пропорциональны этим силам:
$\frac{S_{1}}{ S_{2}} = \frac{F_{2}}{F_{1}} $
где $S_{1}$ и $S_{2}$ — пути, пройденные точками приложения сил на рычаге, $F_{1}$ и $F_{2}$ — силы.

3. В чём проигрывают, пользуясь рычагом, дающим выигрыш в силе?

Ответ:

Теряя в расстоянии (пути) мы выигрываем в силе. (рис. 182).

рис. 182.Выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии.

4. Во сколько раз проигрывают в пути, используя для поднятия грузов подвижный блок?

Ответ:

Выигрывая в сил в два раза, проигрываем в пути в два раза. 

5. В чём состоит «золотое правило» механики?

Ответ:

«Золотое правило» механики можно сформулировать так: во столько раз проигрываем в расстоянии, во столько раз выигрываем в силе и наоборот.

Упражнение 33

1. С помощью подвижного блока груз подняли на высоту 1,5 м. На какую длину при этом был вытянут свободный конец верёвки?

Ответ:

Дано:
$s_{1}$ = 1,5 м.
$s_{2}$ − ?
Решение:
Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза.
$F=\frac{P}{2}$;
$\frac{F}{P} = \frac{1}{2}$;
$\frac{F}{P} = \frac{s_{1}}{ s_{2}}$;
$ \frac{s_{1}}{s_{2}} = \frac{1}{2}$;
$s_{2} = 2s_{1}$;
$s_{2} = 2 * 1,5 = 3$ м.
Ответ. 3 м.

2. Рабочий с помощью подвижного блока поднял груз на высоту 7 м, прилагая к свободному концу верёвки силу 160 Н. Какую работу он совершил? (Вес блока и силу трения не учитывать.)

Ответ:

Дано:
s = 7 м;
F = 160 Н.
А − ?
Решение:
A = Ps, где P − сила, приложенная к грузу, s − высота, на которую поднят груз.
Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза.
$F=\frac{P}{2}$;
P = 2F;
А = 2Fs;
А = 2 * 160 * 7 = 2240 Дж.
Ответ. 2240 Дж.

3. Как применить блок для выигрыша в расстоянии?

Ответ:

Из «Золотого» правила мы знаем об отношении сил и пути, поэтому силу надо прикладывать так, чтобы она была в два раза больше, чем будет подъемная сила, однако путь для поднимаемого тела будет тоже в два раза больше. 

4. Как можно соединить друг с другом неподвижные и подвижные блоки, чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза; в 6 раз?

Ответ:

Мы знаем, что подвижный блок дает выигрыш в 2 раза. Само собой для выигрыша в 4 раза необходимо применить 2 подвижных блока, а для выигрыша в 6 раз, 3 блока. Будет это выглядеть так.

P = 4 F                                                          P = 6F

5. Решите задачу 2, учитывая вес блока, равный 20 Н.
Задача 2: Рабочий с помощью подвижного блока поднял груз на высоту 7 м, прилагая к свободному концу верёвки силу 160 Н. Какую работу он совершил? (Вес блока и силу трения не учитывать.)

Ответ:

Дано:
s = 7 м;
F = 160 Н;
$P_{1}$ = 20 Н.
А − ?
Решение:
Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза.
$F=\frac{P}{2}$;
P = 2F;
$А = (P + P_{1})h = (2F+P_{1})h$;
А = (2 * 160 + 20) * 7 = 2380 Дж.
Ответ. 2380 Дж.

Задание

• Докажите, что закон равенства работ («золотое правило» механики) применим к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте.
Указание. Используйте для доказательства рисунок 144. Когда малый поршень под действием силы $F_{1}$ опускается вниз на расстояние $h_{1}$, он вытесняет некоторый объём жидкости. На столько же увеличивается объём жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту $h_{2}$.

рис. 144. Принцип действия гидравлической машины

Ответ:

Закон Паскаля также имеет некую связь с правилом моментов, с равновесием рычага. Взгляните на рисунок. 
Есть два сообщающихся сосуда, они наполнены однородной жидкостью. При этом площади сечения цилиндров сосудов пропорциональный массе грузов, обеспечивающих равновесие уровня жидкостей.  $S_{1}$ и $S_{2}$ ($S_{2}>S_{1}$).
То есть распределенное давление в одном и другом сосуде равное: $p_{1}=p_{2}$.
Вычислим давление в малом поршне под действием силы $F_{1}$:
$p_{1} = \frac{F_{1}}{S_{1}}$
а под большим будет следующее давление:
$p_{2} = \frac{F_{2}}{S_{2}}$.
Отсюда
$\frac{F_{1}}{S_{1}} = \frac{F_{2}}{S_{2}}$;
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$,
В итоге можно сделать заключение, что при работе гидравлического пресса создается выигрыш в силе, равный отношению сечения площади большего поршня и малого.
Так как жидкость практически не сжимаема, то она обеспечивает равенство объемов жидкости, переходящей из малого цилиндра в большой:
$V_{1} = V_{2}$, т.е.
$S_{1}h_{1} = S_{2}h_{2}$;
$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$.
А что на счет перемещения, то оно обратно пропорционально площадям поршней.
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$.
$F_{1}h_{1}=F_{2}h_{2}$, т.е.
$А_{1} = А_{2}$.
Опять же делаем заключение верное для равенства "золотого правила" механики: "во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии".