Производная положительная на тех промежутках функции, где функция имеет положительный прирост, проще говоря на возрастании функции.
 То есть нам надо найти точки х, в которых функция растет:

х1, х2, х4, х6  в 4 точках

Ответ: 4

Производная отрицательна на тех промежутках функции, где она имеет убывание, проще говоря, где есть отрицательная динамика.
 То есть нам надо найти точки х, в которых функция убывает:

х2, х4, х6, х8  в 4 точках

Ответ: 4

Производная равна нулю на участке функции, где она меняет свое направление с возрастания на убывание или наоборот.

У нас таких участков 9

Ответ: 9

Производная равна нулю на участке функции, где она меняет свое направление с возрастания на убывание или наоборот.
На отрезке [−2;5] это точка 2, где есть условный "перелом" изменение направления функции, значит в ней производная равна 0

Ответ: 2

То есть нам надо найти точки, где производная функции равна нулю. 
Производная равна нулю на участке функции, где она меняет свое направление с возрастания на убывание или наоборот.
На отрезке [−4,5;2,5] это 4 участка.

Ответ: 4

Производная положительная на тех промежутках функции, где она имеет прирост, проще говоря, на возрастании функции.
 Причем, нас просят найти целые точки, то есть это значения, где номинал является целым числом, в нашем случае это:

Всего 8 точек

Ответ: 8

 Экстремумы функции - это когда производная равна 0 или точки, где функция меняет свое направление.
 Это точки: 1, 2, 4, 7, 9, 10, 11

Сумма точек 1+2+4+7+9+10+11=44

Ответ: 44

Возрастание функции наблюдается при положительной производной, то есть когда прирост функции больше нуля, что собственно и характеризует производная.
Положительное значение берется для y, получается положительный у в точках:

х1, х2, х5

Ответ: 3 точки

Убывание функции наблюдается при отрицательной производной, то есть когда прирост функции меньше нуля, что собственно и характеризует производная.
 У нас отрицательные значения берется для y, в точках:

х3, х4, х7, х8, х9

Ответ: 5 

Рассмотрим график производной y=f´(x) на отрезке [− 17; − 4], проанализируем. Так как производная является отражением динамики функции, то пиковые значения этой самой функции, то есть минимум и максимум, где идет изменение тенденции с роста на падение или, наоборот, станут теми самыми точками, когда динамика на этом пике будет равна нулю, а производная получится положительная - 0 - отрицательная или отрицательная - 0 - положительная, то есть будет иметь пересечение с осью x, а значит образуются корни.
 Делаем вывод, точки экстремума функции будут там, где производная равна 0.

Получается 4 точки где производная равна 0 и меняет свой знак, а значит функция имеет "горбы" максимум или минимум - точек экстремума.

Универсальное правило: корни производной являются точками экстремума для самой функции!

Ответ: 4

Так как производная является отражением динамики функции, то пиковые значения этой самой функции, то есть минимум и максимум, где идет изменение тенденции с роста на падение или наоборот, станут теми самыми точками, когда динамика на этом пике будет равна нулю, а производная получится положительная - 0 - отрицательная или отрицательная - 0 - положительная, то есть будет иметь пересечение с осью x, а значит образуются корни.
 Делаем вывод, точки экстремума функции будут там, где производная равна 0.
 Универсальное правило: корни производной являются точками экстремума для самой функции!

Это только точка -2

Ответ: -2

Так как производная является отражением динамики функции, то пиковые значения этой самой функции, то есть минимум и максимум, где идет изменение тенденции с роста на падение или, наоборот, станут теми самыми точками, когда динамика на этом пике будет равна нулю, а производная получится положительная - 0 - отрицательная или отрицательная - 0 - положительная, то есть будет иметь пересечение с осью x, а значит образуются корни.
 Делаем вывод, точки экстремума функции будут там, где производная равна 0. Причем нас интересует 0, где до него была производная положительная, а потом отрицательная, так как это будет максимум функции, где она росла, а потом стала уменьшаться. Это точка 7

Ответ: 7

Так как производная является отражением динамики функции, то пиковые значения этой самой функции, то есть минимум и максимум, где идет изменение тенденции с роста на падение или, наоборот, станут теми самыми точками, когда динамика на этом пике будет равна нулю, а производная получится положительная - 0 - отрицательная или отрицательная - 0 - положительная, то есть будет иметь пересечение с осью x.
 Делаем вывод, точки экстремума функции будут там, где производная равна 0. Причем нас интересует 0, где до него была производная отрицательная, а потом положительная, так как это будет минимум функции, где она убывала, а потом стала расти. Это точка 4

Ответ: 4

Так как производная является отражением динамики функции, то пиковые значения этой самой функции, то есть минимум и максимум, где идет изменение тенденции с роста на падение или, наоборот, станут теми самыми точками, когда динамика на этом пике будет равна нулю, а производная получится положительная - 0 - отрицательная или отрицательная - 0 - положительная, то есть будет иметь пересечение с осью x, а значит образуются корни.
 Делаем вывод, точки экстремума функции будут там, где производная равна 0. Причем нас интересует 0, где до него была производная положительная, а потом отрицательная, так как это будет максимум функции, где она росла, а потом стала уменьшаться, на отрезке [−2;15]. Это точки 10 и 16, но берем до 15, то есть всего 1 точка.

Ответ: 1

Так как производная является отражением динамики функции, то пиковые значения этой самой функции, то есть минимум и максимум, где идет изменение тенденции с роста на падение или наоборот, станут теми самыми точками, когда динамика на этом пике будет равна нулю, а производная получится положительная - 0 - отрицательная или отрицательная - 0 - положительная, то есть будет иметь пересечение с осью x.
 Делаем вывод, точки экстремума функции будут там, где производная равна 0. Причем нас интересует 0, где до него была производная отрицательная, а потом положительная, так как это будет минимум функции, где она убывала, а потом стала расти принадлежащих отрезку [−6;4]. Это одна точка 2.

Ответ: 1

Промежутки возрастания функции соответствуют положительному значению производной.

Наибольший от -7 до -1 по оси х равен 6

7 - 1 =6

Ответ: 6

Промежутки возрастания функции соответствуют положительному значению производной. У нас производная положительна на участке от 2 до 6, где в точке в точке 2 равна 0, тогда сумма целых будет равна:

2+3+4+5= 14 

6 не берем, так как она не включена в отрезок. -6 тоже, и -5 не берем, до нее график не достает.
2 берем, хотя по сути это точка экстремума, где функция ни туда ни сюда... по хорошему составителям график надо было хоть немного сместить левее точки 2 

Ответ:14

Необходимо, по сути, найти точку минимума, она будет в точке экстремума функции, если таковая есть на этом участке, когда производная меняет свой знак с минуса на плюс. Точка, удовлетворяющая нашим условиям по отрезкам, это точка 3.

Ответ: 3

Необходимо по сути найти точку максимума, она будет в точке экстремума функции, если таковая есть на участке, когда производная меняет свой знак с плюса на минус. У нас такого экстремума нет, но есть минусовые значения производной на участке [−5;−1]. И так как это минус, то получается функция убывала на всем участке, а наибольшее значение значит имела вначале участка.  Точка, удовлетворяющая нашим условиям, точка -5.

Ответ: -5

Необходимо по сути найти точку максимума, она будет в точке экстремума функции, если таковая есть на участке.
 У нас это точка - 4

Ответ: -4

Необходимо по сути найти точку минимума, она будет в точке экстремума функции, если таковая есть на участке. При этом на отрезке [2;8] у нас экстремум именно в точке 2, где отрицательные значения меняются на положительные, то есть точка минимума.

Ответ: 2

Геометрический смысл производной: f(x₀)=k=tg α

По факту нам надо найти крутизну касательной, которая как раз и будет определять значение производной.



1) Построим прямоугольный треугольник с углом α = ∠CAB. α - угол между касательной и осью x

2) tgα = 12/4=3

3) f´(x) = 3

Ответ: 3

Геометрический смысл производной: f(x₀)=k=tg α

1) Построим прямоугольный треугольник с углом α (гипотенуза это касательная, а вершины (-4;1) и (0;2), α - угол между касательной и осью x


2) `tgα = 1/4=0,25`

3) f`(x) = 0,25

Ответ: 0,25

Геометрический смысл производной: f(x₀)=k=tg α

1) Построим прямоугольный треугольник с углом α (гипотенуза это касательная, а вершины (-1;2), (3; -3) α - угол между касательной и осью x


Но α получился тупым углом, значит невозможно построить прямоугольный треугольник.
`tgα=-tgβ`, где β - смежный угол
2) `tgβ = 5/4=1,25`
3) f`(x) = -1,25  так как касательная направлена вниз, то производная имеет отрицательный знак

Ответ: -1,25

Геометрический смысл производной: f(x₀)=k=tg α

1) Построим прямоугольный треугольник с углом α (гипотенуза это касательная, а вершины (-3; 3), (5; 1) α - угол между касательной и осью x


2) tgα = 2/8=0,25

3) f`(x) = - 0,25 так как касательная направлена вниз, то производная имеет отрицательный знак

Ответ: -0,25

`C´=0`
`(Cx)´=C`
`(x^n)´=n*x^(n-1)`

`x(t)=1/2t^2+4t+27`
`x´(t)=v(t)=1/2*2t+4+0`
`v(2)=1/2*2*2+4=6`

Ответ: 6

`C´=0`
`(Cx)´=C`
`(x^n)´=n*x^(n-1)`

`x(t)=1/6t^3−2t^2+6t+250`

`x´(t)=v(t)=1/6*3*t^2−2*2*t+6=96`

`v(t)=1/2*t^2−4t+6=96`

`1/2*t^2−4t+6=96`

`t^2/2−4t-90=0`

`t^2−8t-180=0`

`t_1=18`

`t_2=-10` - отрицательное значение не принимаем во внимание

Ответ: 18

В точках -1 и 4 производная положительна (график растет). Причем, чем выше рост функции (чем ближе линия к вертикальной), тем больше производная, тогда это точка x= -1.

Ответ: -1

Для понимания: в точке 4 угол графика с осью х примерно 30°, `tg30°=1/sqrt3`; в точке -1 угол наклона графика около 60°, `tg60°=sqrt3`, что больше, чем tg30°, значит и производная больше.

Производная отрицательна в точках -2 и -1.
Производная максимально отрицательная при максимальном убывании функции (линия графика ближе к вертикальной), это точка -1

Ответ: -1

Для понимания: в точке -1 угол графика с осью х примерно 120°, `tg120°=-sqrt3`; в точке -2 угол наклона графика около 150°, `tg150°=-1/sqrt3`, что меньше, чем tg120°, значит и производная больше.

Прямая y=14 не включает в себя значения x, то есть она параллельна оси x, не важно какое у него значение, но y всегда равен 14.
 При этом нам надо найти касательные, параллельные ей. По факту, это будут точки экстремума, когда касательные горизонтальны. У нас таких 6 "горбов и впадин", то есть 6 точек.

Ответ: 6

Не всегда данная в условии прямая параллельна оси х. Поэтому, универсальный способ решения:
1. y=kx+b
У прямой y=14 k=0.
2. Условия параллельности двух прямых: k одинаковые, а b разные. ⇒ k касательной = 0
3. `k=f´(x_0)` - геометрический смысл производной
f´(x_0)=0, а производная равна нулю там, где у обычной функции вершины и впадины.

1) Итак, у нас прямая y=3x, то условно можно сказать так, отношение оси ординат y в три раза меньше, чем абсцисс x. Угол такой касательной нетрудно посчитать через tg.  
tgα=3/1=3 это примерно 72 градуса к оси x. По сути нам интересен коэффициент возрастания К по оси  у при увеличении x.
К = 3.

2) Причем если нам надо найти касательную к функции, то она как раз и будет отражать динамику производной, то есть имеющийся график. Так вот, на имеющемся графике ищем такие точки, где наша условная касательная будет проведена к графику и при этом соответствовать
К = 3

3) И здесь, вспоминая вычисление производной, найдем ее для y=3x

y´ = 3
При этом x = 5. (видно из графика пересечение y=3 только в одной точке  (5;3))

Ответ: 5

Второй вариант объяснения:
1. y=3x ⇒ k=3
2. Условия параллельности двух прямых: k одинаковые, а b разные. ⇒ k касательной = 3
3. `k=f´(x_0)` - геометрический смысл производной
`f´(x_0)=3=y`
Ищем по графику точку, в которой y=3. Это точка (5;3). x = 5
Ответ: 5

1) Итак, у нас прямая y=−2x−10, то условно можно сказать так, отношение оси ординат y в 2 раза меньше, чем абсцисс x. Угол такой касательной нетрудно посчитать через tg.  tgα=-2/1=-2. По сути нам интересен коэффициент возрастания К по оси  у при увеличении x. К = -2.

2) Причем если нам надо найти касательную к функции, то она как раз и будет отражать динамику производной, то есть имеющийся график. Так вот на имеющемся графике ищем такие точки, где наша условная касательная будет проведена к графику и при этом соответствовать
К = -2

3) И здесь вспоминая вычисление производной найдем ее для y=−2x−10

y´ = -2

В итоге нам получается надо найти точки пересечения этого графика с y = -2

Получается так:



Пересечение y = -2 с графиком в 5 точках.

Ответ: 5 точек

Второй вариант объяснения:
1. y=−2x−10 ⇒ k=-2
2. Условие параллельности или совпадения двух прямых: k одинаковые. ⇒ k касательной = -2
3. `k=f´(x_0)` - геометрический смысл производной
`f´(x_0)=-2=y`
Ищем по графику точки, в которых y=-2.  Таких точек 5.
Ответ: 5

1) Итак, у нас прямая y=f(x), то можно сказать, изменение у прямо пропорционально изменению х. 

2) Коэффициент касательной равен производной от функции
К = 0

В итоге, нам надо найти точки пересечения этого графика с y = 0

Это одна точка 3

Ответ: 3

Второе объяснение:
1. Ось абсцисс - это ось ох. Ее уравнение y=0.
y=kx+b, k=0
2. Условие параллельности или совпадения двух прямых: k одинаковые. ⇒ k касательной = 0
3. `k=f´(x_0)` - геометрический смысл производной
`f´(x_0)=0=y`
Проводим горизонтальную прямую через y=0 (то есть совпадающую с осью ох). 
Абсцисса точки пересечения этой прямой с графиком производной и будет ответом.
х = 3
Ответ: 3

1) Итак, у нас прямая `y=7x−5`, то можно найти коэффициент возрастания или уменьшения найдя производную. 

y´=7,  К = 7 

2) Коэффициент касательной равен коэффициенту функции К = 7 

В итоге нам получается надо найти точки пересечения этого графика с y = 7

Приравниваем нашу производную функции к y=7

`y=x^2+6x−8`

`y´=2x+6`

`7=2x+6`

`2x=1`

`x=1/2=0,5`

Ответ: 0,5

Второе объяснение:
1. Прямая `y=7x−5`, а y=kx+b ⇒ k прямой=7
2. Условия параллельности двух прямых: k одинаковые, а b разные. ⇒ k касательной = 7
3. `k=f´(x_0)` - геометрический смысл производной
`f´(x_0)=7`

Найдем производную для параболы `y=x^2+6x−8`

`C´=0`
`(Cx)´=C`
`(x^n)´=n*x^(n-1)`

`y´=2x_0+6`
`7=2x_0+6`
`2x_0=1`
`x_0=1/2=0,5`

Ответ: 0,5

 Составим два уравнения, причем в первом случае производную прямой приравняем к производной функции, так как динамика той и другой в точке касания будет одинаковой.
 А во второй приравняем прямую к функции. Это все условия касания функции и прямой.

`{(-4=3x^2+7*2x+7),(-4x-11=x^3+7x^2+7x-6):}`

Получаем:

`-4=3x^2+7*2x+7`

`3x^2+14x+11=0`

`D=196-132=8^2`

`x=(-14±8)/6`

`x_1=-1` 

`x_2=-11/3`

подставим во 2 уравнение, получаем

при 
`x_1=-1`
`-4x-11=x^3+7x^2+7x-6`
`-4*-1-11=-1^3+7*-1^2+7*-1)-6`
`4-11=-1+7-7-6`
`-7=-7`

`x_2=-11/3` это уравнение не решается, не получаем нужное нам равенство, значит его исключаем. (можете проверить, но поверьте это так!)

Ответ: -1

Составим два уравнения, причем в первом случае производную прямой приравняем к производной функции, так как динамика той и другой в точке касания будет одинаковой.
 А во второй приравняем прямую к функции

`{(-3=2ax+27),(−3x−8=ax^2+27x+7):}`

Из верхнего уравнения найдем a

`-30=2xa`
`a = (-30)/(2x)=(-15)/x`

Подставим в нижнее

`-3x-8=(-15)/x*x^2+27+7`
`-3x-8=12x+7`
`-15=15x`
`x=-1`

`a = -15/-1=15`

Ответ: 15

Составим два уравнения, причем в первом случае производную прямой приравняем к производной функции, так как динамика той и другой в точке касания будет одинаковой.
 А во второй приравняем прямую к функции

`{(9=18*2x+b),(9x+5=18x^2+bx+7):}`

Из верхнего уравнения найдем a

`b=9-36x`

Подставим в нижнее

`9x+5=18x^2+(9-36x)*x+7`
`9x+5=18x^2+9x-36x^2+7`
`18x^2=2`
`x^2=1/9`

x₁=1/3  (не принимаем во внимание, так как по условию надо выбрать абсциссу точки касания меньше 0)

`x_2=-1/3`

`b=9-36(-1/3)=21`

Ответ: 21

Составим два уравнения, причем в первом случае производную прямой приравняем к производной функции, так как динамика той и другой в точке касания будет одинаковой.
 А во второй приравняем прямую к функции

`{(-3=2x+7),(-3x-5=x^2+7x+c):}`

Из верхнего

`-10=2x`
`x=-5`

Подставляем в нижнее
`-3*(-5)-5=(-5)^2+7*(-5)+c`
`15-5=25-35+c`
`c = 20`

Ответ: 20

Если взять производную от первообразной, то получится обычная функция. По сути, это противоположность производной. 
Если посмотреть на график обычной функции, тут первообразную F(x)можно считать за обычную функцию, а обычную функцию f(x) за производную. Все закономерности те же самые, что для графика обычной функции.


 И вот значит для функции, те участки где есть возрастание первообразной будут положительные, а где убывание, будут отрицательные.

У нас рост первообразной наблюдается в точках:

x2, x3, x4, x6, x7, x9, x10 - 7 точек
 
Ответ: 7

Если взять производную от первообразной, то получится обычная функция. По сути, первообразная - это противоположность производной. 
Если посмотреть на график обычной функции, тут первообразную F(x)можно считать за обычную функцию, а обычную функцию f(x) за производную. Все закономерности те же самые, что для графика обычной функции.
 И вот значит для функции, те участки где есть возрастание первообразной будут положительные, а где убывание, будут отрицательные.

У нас убывание первообразной наблюдается в точках:

x1, x4, x8 - 3 точки
 
Ответ: 3

Если взять производную от первообразной, то получится обычная функция. По сути, первообразная - это противоположность производной. 
Если посмотреть на график обычной функции, тут первообразную F(x)можно считать за обычную функцию, а обычную функцию f(x) за производную. Все закономерности те же самые, что для графика обычной функции.
 И вот значит для функции, те участки, где есть возрастание, будут положительные, а где убывание, будут отрицательные.
 
То есть у нашей функции будет 0 тогда, когда у первообразной были экстремумы, тогда был переход у функции с плюса в минус или наоборот. У первообразной 4 экстремума, значит 4 точки  (-4, -1, 1, 3) пересечения оси х. С учетом отрезка [−5;2] остается три точки.

Ответ: 3

Если взять производную от первообразной, то получится обычная функция. По сути, первообразная - это противоположность производной. 
 И вот значит для функции, те участки где есть возрастание первообразной будут положительные, а где убывание, будут отрицательные.

У нас на участке -8 до - 5 не было изменения функции, которая является производной для первообразной при этом y=f(-8)=4. Это говорит возрастающей первообразной.
 И для точки -1 будет так y=f(-1)=0.

То есть здесь можно говорить условно о линейном росте первообразной с последующим замедлением роста и выходом в экстремум.

Если скажем перевести это все в жизненные реалии, то это примерно так. Первоначально тело двигалось 3 секунды со скоростью 4 м/с, а потом каждую секунду началось сокращение скорости на 1 м/с, то есть появилось отрицательное ускорение, пока тело не остановилось в точке -1.

Так вот если соотнести F(−1)−F(−8) то это по факту прикинуть какой путь прошло тело. 4*3+4+3+2+1 то есть за первые 4 секунда 12 метров, потом за 5 , 4 метра, потом 3 и т.д.

Еще проще, можно просто посчитать площадь фигуры под графиком функции и до оси х. Это площадь трапеции.

`S = (3+7)/2 * 4 = 20`
 
Ответ: 20

Площадь фигуры будет равна разности значений функции в ее крайних точках 1 и 4 по оси х. Используем формулу Ньютона-Лейбница.

`S = F(4)-F(1)`

`F(x)=1/2x^3−9/2x^2+14x−10`

`F(4)=1/2*4^3−9/2*4^2+14*4−10=1/2*64−9/2*16+14*4−10`

`F(1)=1/2*1−9/2*1+14*1−10`

`F(4)-F(1)=1/2*64−9/2*16+14*4−10-1/2*1−9/2*1+14*1−10=31,5-67,5+42=6`

Ответ: 6

Площадь фигуры будет равна разности значений функции в ее крайних точках -10 и -7 по оси х. Используем формулу Ньютона-Лейбница.

`S = F(-7)-F(-10)`

`F(x)=−4/9x^3−34/3x^2−280/3x−18/5`

`F(-7)=−4/9*343−34/3*49−280/3*7−18/5`

`F(-10)=−4/9*1000−34/3*100−280/3*10−18/5`

`S = F(-7)-F(-10) = -657*4/9+51*34/3-3*280/3=-292+578-280=578-572=6`

Ответ: 6