Все прототипы заданий из первой части ЕГЭ по профильной математике, в которых нужно найти результат, подставив известное в формулу.

Линейные

Некоторая компания продает свою продукцию по цене 𝑝=600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют 𝜈=400 руб., постоянные расходы предприятия 𝑓=600000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле `π(q)=q(p−v)−f`. Определите месячный объём производства 𝑞 (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 500000 руб.

Номер: mathege

Квадратные

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону `φ=ωt + (βt^2)/2`, где t — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ω=50 град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β=4 град./мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки 𝜑 достиг 2500°. Ответ дайте в минутах.

Номер: 5115

Автомобиль, движущийся со скоростью v₀=24 м/с , начал торможение с постоянным ускорением a=3 м/с² . За t секунд после начала торможения он прошёл путь `S=v_0t−(at^2)/2` (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Номер: 8027FE (старый 5077)

На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.
Введём систему координат: ось 𝑂𝑦 направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось 𝑂𝑥 направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой
`y=0,0043x^2−0,74x+35`, где 𝑥 и 𝑦 измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Номер: 7D7F1D

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону `H(t)=a t^2+b t+H_0`, где `H_0=3` м — начальный уровень воды, `a=1/768` м/`мин^2` и `b=−1/8` м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Номер: E4E32E

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону
`H(t)=H_0−sqrt(2gH_0) kt+g/2 k^2t^2`, где 𝑡 — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, `H_0=5` м — начальная высота столба воды, `k=1/200` — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔=10 м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Номер: mathege

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой 𝑚=4 кг и радиуса 𝑅=10 см, и двух боковых с массами 𝑀=2 кг и с радиусами 𝑅+ℎ. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг∙см², даeтся формулой `I=((m+2M)R^2)/2+M(2Rh+h^2)`. При каком максимальном значении ℎ момент инерции катушки не превышает предельного значения 1000 кг∙см²? Ответ выразите в сантиметрах.

Номер: mathege

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 𝜈₀=57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 𝑎=12 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением `S=v_0t+(at^2)/2`. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.

Номер: mathege

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону `h(t)=2+13 t−5 t^2`, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров?

Номер: D9AE4D

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой `y=ax^2+bx`, где `a=−1/100` м⁻¹, `b=4/5` — постоянные параметры, 𝑥 (м) — смещение камня по горизонтали, 𝑦 (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 14 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Номер: mathege

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле `T(t)=T_0+bt+at^2`, где t — время в минутах, T₀=1300 К, `a=−14/3` К/мин², b=98 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Номер: F88F7B

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: `T(t)=T_0 +b t+a t^2​`, где t — время (в мин.), T0 =680 К, a=− 16 К / мин²​, b=224 К / мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Номер: 3E9A45

Рациональные

К источнику с ЭДС ε=180 В и внутренним сопротивлением r=1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле `U=(εR)/(R+r)`. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В ? Ответ дайте в омах.

Номер: 5BAD91 (старый 5153)

К источнику с ЭДС 𝜀=115 В и внутренним сопротивлением 𝑟=0,6 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением 𝑅 Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой `U=(εR)/(R+r)`. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 100 В? Ответ выразите в омах.

Номер: ЕГЭ 2019

Сила тока в цепи I (в А) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: `I=U/R`, где U — напряжение (в В), R — сопротивление электроприбора (в Ом). В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 2,5 А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к сети в 220 В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Номер: 06534C

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и v (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле `f=f_0 ⋅  (c+u)/(c−v)`, где f0 =170 Гц — частота исходного сигнала, c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=2 м /​с и v=17 м /​с — скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости c распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.

Номер: 9602C9

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f0=170 Гц и определяется следующим выражением: `f=f_0 ⋅  (c+u)/(c−v)` (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=12 м/с и v=6 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 180 Гц?

Номер: 9685F7

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле `v=c⋅ (f−f_0)/(f+f_0)`, где с=1500 м /​с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 18 м/с.

Номер: E819AD

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле `v=c⋅ (f−f_0)/(f+f_0)`, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.

Номер: E44604

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет R₁ =60 Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого R₂ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями R₁ и R₂ их общее сопротивление вычисляется по формуле `Rобщ=(R_1R_2)/(R_1+R_2)`. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 10 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

Номер: 2B06C4

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна `I=ε/(R+r)`, где 𝜀 — ЭДС источника (в вольтах), 𝑟=1 Ом — его внутреннее сопротивление, 𝑅 — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания `I_(кз)=ε/r` ? Ответ дайте в омах.

Номер: mathege

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу 𝑚=1500 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной 𝑙=15 метров и шириной 𝑠 метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой `p=(mg)/(2ls)`, где 𝑚 — масса экскаватора (в тоннах), 𝑙 — длина балок в метрах, 𝑠 — ширина балок в метрах, 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔=10 м/с²). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление 𝑝 не должно превышать 200 кПа. Ответ дайте в метрах.

Номер: mathege

Автомобиль, масса которого равна 𝑚=2000 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение 𝑡 секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь 𝑆=600 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно `F=(2mS)/t^2`. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила 𝐹, приложенная к автомобилю, не меньше 1500 Н. Ответ выразите в секундах.

Номер: mathege

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление 𝑃 (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле `P=(4mg)/(πD^2)`, где 𝑚=1200 кг — общая масса навеса и колонны, 𝐷 — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения 𝑔=10 м/с², а 𝜋=3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ дайте в метрах.

Номер: mathege

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна `P=m(v^2/L−g)`, где 𝑚 — масса воды в килограммах, 𝜈 — скорость движения ведёрка в м/с, 𝐿 — длина верёвки в метрах, 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔=10 м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 62,5 см? Ответ дайте в м/с.

Номер: mathege

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀=192 Гц . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) по закону `f(v)=f_0/(1−v/c)` (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ дайте в м/с .

Номер: 344B7E (старый 5190)

При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону `l=l_0sqrt(1−v^2/c^2)`, где 𝑙₀=75 м — длина покоящейся ракеты, 𝑐=3∙10⁵ км/с — скорость света, а 𝜈 — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 21 м? Ответ дайте в км/с.

Номер: mathege

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле `A(ω)=(A_0ω_p^2)/(|ω_p^2−ω^2|)`, где 𝜔 — частота вынуждающей силы (в с⁻¹), 𝐴₀ — постоянный параметр, ω_p=300 с⁻¹ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту 𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину 𝐴₀ не более чем на 80%. Ответ дайте в с⁻¹.

Номер: mathege

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле `A(ω)=(A_0ω_p^2)/(|ω_p^2−ω^2|)`, где 𝜔 — частота вынуждающей силы (в с⁻¹), 𝐴₀ — постоянный параметр, 𝜔_𝑝=360 с⁻¹ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту 𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину 𝐴₀ не более чем на одну пятнадцатую. Ответ дайте в с−1.

Номер: mathege

Иррациональные

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км /​ч² ). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле `v=sqrt(2la)`, где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 км, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ дайте в км /​ч²​.

Номер: 55D7D9

Наблюдатель находится на высоте h (в км). Расстояние l (в км) от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле `l=sqrt(2Rh)`, где R=6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 96 км? Ответ дайте в км.

Номер: 8E8558

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле `l=sqrt(Rh/500)`, где R=6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 64 километра? Ответ дайте в метрах.

Номер: 69C186

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле `l=sqrt(Rh/500)`, где 𝑅=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 5,6 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 10,4 километров?

Номер: mathege

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле `l=sqrt(Rh/500)`, где 𝑅=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километров. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

Номер: ЕГЭ 2017

Показательные

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону `m=m_0​⋅2^(−t/T)`, где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Номер: 76777E

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k =6,4⋅10⁶ Па⋅м⁵​, где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа (в м³), `k=5/3` . Найдите, какой объём V (в м³) будет занимать газ при давлении p, равном 2* 10⁵ Па.

Номер: D888F6 (старый 5039)

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением `p_1V_1^(1,4​)=p_2V_2^(1,4)`, где p1 и p2 — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V1 и V2 — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 294,4 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Номер: F56EEF

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде 𝑝𝑉^𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, где 𝑝 (Па) — давление в газе, 𝑉 — объём газа в кубических метрах, 𝑎 — положительная константа. При каком наименьшем значении константы 𝑎 увеличение вчетверо объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 2 раза?

Номер: mathege

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде 𝑝𝑉^𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, где 𝑝 (Па) — давление в газе, 𝑉 — объём газа в кубических метрах, 𝑎 — положительная константа. При каком наименьшем значении константы 𝑎 уменьшение вчетверо объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 8 раз?

Номер: mathege

Логарифмы

Водолазный колокол, содержащий υ=2 моля воздуха при давлении p₁ =1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением `A=αυTlog_2   p_2/p_1`, где α=13,3 Дж/моль⋅K — постоянная, T=300 K — температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15 960 Дж.

Номер: AF6375 

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Tп​=25 °​C, через радиатор пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m=0,3 кг /​с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры Tв​=57 °​C до температуры T, причём `x=α ⋅ (cm)/γ ⋅ log_2​  (Tв​−Tп)/(T−Tп)`, где с=4200 Вт⋅с/кг⋅°​C — теплоёмкость воды, γ=63 Вт/м⋅°​C — коэффициент теплообмена, α=1,4 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 56 м.

Номер: 5CC0F4

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре `C=6⋅10^(−6)` Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением `R=8⋅10^6` Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀=34 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением `t=αRClog_2  U_0/U` (с), где α=0,8 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 76,8 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Номер: E01E0A

Тригонометрия

Двигаясь со скоростью 𝜈=3 м/с, трактор тащит сани с силой 𝐹=40 кН, направленной под острым углом 𝛼 к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле `N=Fvcosα`. Найдите, при каком угле α (в градусах) эта мощность будет равна 60 кВт (кВт — это `(кН*м)/с`).

Номер: mathege

Трактор тащит сани с силой 𝐹=80 кН, направленной под острым углом 𝛼 к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной 𝑆=50 м вычисляется по формуле A=FScosα. При каком максимальном угле 𝛼 (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Номер: ЕГЭ 2016

Мяч бросили под углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле `t=(2v0sinα)/g`. При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) время полёта будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью 𝑣₀=21 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения 𝑔=10 м/с².

Номер: 562145

Плоский замкнутый контур площадью 𝑆=4 м² находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой `ε_i=aScosα`, где 𝛼 — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, 𝑎=3∙10⁻⁴ Тл/с — постоянная, 𝑆 — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м²). При каком минимальном угле 𝛼 (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 6∙10⁻⁴ В?

Номер: mathege

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью 𝜈=4 м/с под острым углом 𝛼 к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью `u=m/(m+M)` vcosα (м/с), где 𝑚=75 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а 𝑀=300 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом 𝛼 (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?

Номер: mathege

Катер должен пересечь реку, ширина которой 𝐿=90 м, а скорость течения 𝑢=1,5 м/с, так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением `t=L/u ctgα`, где 𝛼 — острый угол, задающий направление движения катера (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом 𝛼 (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 60 с?

Номер: ЕГЭ 2014

Два тела, массой m=2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v=8 м /​c под углом 2α друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле `Q=mv^2 sin^2  α`, где m — масса (в кг), v — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом 2α должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 32 Дж. Ответ дайте в градусах.

Номер: D33D49

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н ∙ м) определяется формулой `M=NIBl^2sinα`, где 𝐼=3 А — сила тока в рамке, 𝐵=4∙10⁻³ Тл — значение индукции магнитного поля, 𝑙=0,5 м — размер рамки, 𝑁=600 — число витков провода в рамке, 𝛼 — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент 𝑀 был не меньше 0,9 Н ∙ м?

Номер: mathege

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом 𝑞=5∙10⁻⁶ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет 𝜈=6 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции 𝐵 которого лежит в той же плоскости и составляет угол 𝛼 с направлением движения шарика. Значение индукции поля 𝐵=6∙10⁻³ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная `F_л=qvBsinα` (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла 𝛼∈[0°;180°] шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила 𝐹_л была не менее, чем 9∙10⁻⁸ Н? Ответ дайте в градусах.

Номер: mathege

Небольшой мячик бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле `L=(v_0^2)/g sin2α` (м), где 𝜈₀=13 м/с — начальная скорость мяча, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔=10 м/с²). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мяч перелетит реку шириной 8,45 м?

Номер: ЕГЭ 2015

При нормальном падении света с длиной волны 𝜆=450 нм на дифракционную решётку с периодом 𝑑 нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол 𝜑 (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума 𝑘 связаны соотношением `dsinφ=kλ`. Под каким минимальным углом 𝜑 (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1800 нм?

Номер: ЕГЭ 2015

Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика Н (в м) вычисляется по формуле
`H=(v_0^2)/4g (1−cosα)`, где v0 =26 м /​c — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/​c² ). При каком наименьшем значении угла α мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.

Номер: B3C046

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону `v(t)=7sin  (πt)/4` (см/с), где 𝑡 — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Номер: mathege

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону `U=U_0sin(ωt+φ)`, где 𝑡 — время в секундах, амплитуда 𝑈₀=2 В, частота 𝜔=240°/с, фаза 𝜑=−120°. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Номер: mathege

Разное

Независимое агентство намерено ввести рейтинг 𝑅 новостных изданий на основе показателей информативности 𝐼𝑛, оперативности 𝑂𝑝 и объективности 𝑇𝑟 публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от 1 до 6.
Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность – вчетверо дороже, чем оперативность. В результате, формула примет вид `R=(4In+Op+2Tr)/A`.
Каким должно быть число 𝐴, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 1?

Номер: 660E75

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности 𝐼𝑛, оперативности 𝑂𝑝, объективности 𝑇𝑟 публикаций, а также качества 𝑄 сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 0 до 4.
Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид `R=(5In+Op+4Tr+Q)/A`
Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число 𝐴, при котором это условие будет выполняться.

Номер: mathege

Зависимость объёма спроса 𝑞 (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены 𝑝 (тыс. руб.) задаётся формулой 𝑞=120−10𝑝. Выручка предприятия за месяц 𝑟 (тыс. руб.) вычисляется по формуле `r(p)=pq`. Определите наибольшую цену 𝑝, при которой месячная выручка 𝑟(𝑝) составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Номер: 5450F1

Зависимость объёма спроса 𝑞 (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены 𝑝 (тыс. руб.) задаётся формулой 𝑞=190−10𝑝. Выручка предприятия за месяц 𝑟 (в тыс. руб.) вычисляется по формуле `r(p)=q⋅p`. Определите наибольшую цену 𝑝, при которой месячная выручка 𝑟(𝑝) составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Номер: F5E019

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой
`η=(T_1−T_2)/T_1*100%`, где 𝑇₁ — температура нагревателя (в кельвинах), 𝑇₂ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя 𝑇₁ КПД этого двигателя будет 25%, если температура холодильника 𝑇₂=276 К? Ответ дайте в градусах Кельвина.

Номер: ЕГЭ 2019

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой 𝑚_в (в килограммах) от температуры 𝑡₁ до температуры 𝑡₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы 𝑚_др кг. Он определяется формулой `η=(c_вm_в(t_2−t1))/(q_(др)m_(др))*100%`, где 𝑐_в=4,2∙10³ Дж/(кг∙К) — теплоёмкость воды, 𝑞_др=8,3∙10⁶ Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите массу дров, которые понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть 𝑚=80 кг воды от 17°С до кипения, если известно, что КПД кормозапарника равен 14%. Ответ дайте в килограммах.

Номер: mathege

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: `F_A=apgr^3`, где 𝛼=4,2 — постоянная, 𝑟 — радиус аппарата в метрах, 𝜌=1000 кг/м³ — плотность воды, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔=10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 42000 Н? Ответ дайте в метрах.

Номер: mathege

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: `F_A=pgl^3`, где 𝑙 — длина ребра куба в метрах, 𝜌=1000 кг/м³ — плотность воды, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔=9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ дайте в метрах.

Номер: mathege

Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меняется по закону `v=v_0cos  (2π t)/T`, где t — время с момента начала наблюдения в секундах, T=2 с — период колебаний, v0=1,5 м /​с. Кинетическая энергия E (в Дж) груза вычисляется по формуле `E=mv^2/2`, где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала наблюдения. Ответ дайте в джоулях.

Номер: 9DD340

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время 𝑡 падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле `h=5t^2`, где ℎ — расстояние в метрах, 𝑡 — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Номер: mathege

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f =20 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение
`1/d_1+1/d_2=1/f`.
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Номер: 6FDB97

При температуре 0°С рельс имеет длину 𝑙₀=12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону `l(t°)=l_0(1+a*t°)`, где 𝛼=1,2∙10⁻⁵(°С )⁻¹ — коэффициент теплового расширения, 𝑡° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Номер: mathege

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана– Больцмана, согласно которому мощность излучения P (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: `P=σST^4`, где `σ=5,7⋅10^(−8)` — постоянная, площадь поверхности S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности `S=1/18⋅10^(21)` м 2, а излучаемая ею мощность P равна `4,104⋅10^27` Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.

Номер: C24CBD

Рейтинг 𝑅 интернет-магазина вычисляется по формуле `R=r_(пок)−(r_(пок)−r_(экс))/((K+1)^m)`, где `m=(0,02K)/(r_(пок)+0,1)`, `r_(пок)`− средняя оценка магазина покупателями, `r_(экс)` − оценка магазина, данная экспертами, 𝐾− число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,51.

Номер: 1B9D7A

Рейтинг 𝑅 интернет-магазина вычисляется по формуле `R=r_(пок)−(r_(пок)−r_(экс))/((K+1)*(0,02K)/(r_(пок)+0,1))`,
где 𝑟_пок− средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), 𝑟_экс− оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и 𝐾− число покупателей, оценивших магазин.
Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,25, а оценка экспертов равна 0,61.

Номер: CE0344