Пусть x - скорость первого велосипедиста, тогда
x - 4 - скорость второго велосипедиста

`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`140/(x-4) - 140/x = 4`
`140x - 140(x-4)= 4x(x-4)`
`560= 4x^2-16x`
`4x^2-16x-560=0`
`x^2-4x-140=0`
`D=16-4*1*-140=576`
`x=(4+24)/(2*1)=28/2=14`
второй корень отрицательный, не подходит

Ответ: 14

Пусть х - скорость 2-го велосипедиста, тогда
х+6 -скорость 1-го велосипедиста

`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`160/х - 160/(х+6) = 6`
`(160х+160*6-160x)/(x^2+6x)=6`   |:6
`x^2 + 6x - 160 = 0`
По теореме Виета
`x_1+x_2=-6`
`x_1*x_2=-160`
`x_1 = 10` км/час
`x_2 = -16` (не удовлетворяет условию)
Ответ: 10

В одном направлении скорость V = x км/ч, во втором V = x+1 км/ч. 
Время, затраченное в одну сторону, `t = 132/x`, во вторую сторону `t = 132/(x+1)`, пройденный путь в ту и другую сторону S = 132

Составим уравнение

`132/x-132/(x+1)=1`
`(132x+132-132x)/(x^2+x)=1/1`
`x^2+x=132`
`x^2+x-132=0`
`D=1^2-4*1*(-132)=23^2`

`x=(-1+23)/2=11`
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 11

В обратном направлении скорость V = x км/ч, из А в В  V = x-6 км/ч. 
Время, затраченное в обратную сторону, `t = 187/x`, из А в В `t = 187/(x-6)`, пройденный путь в ту и другую сторону S = 187

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`187/(x-6)-187/x=6`
`(187x-187x+187*6)/(x^2-6x)=6`   |:6
`x^2-6x=187`
`x^2-6x-187=0`
`D=(-6)^2-4*1*(-187)=28^2`

`x=(6+28)/2=17`
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 17

Для первого автомобиля:

`V=x`
`t=(2y)/x`
`S=2y`

Для второго автомобиля:

1 половина пути
`V=x-13`
`t=y/(x-13)`
`S=y`

2 половина пути
`V=78`
`t=y/78`
`S=y`

Составим уравнение

`t_1=t_(2-1)+t_(2-2)`
`(2y)/x=y/(x-13)+y/78`   |:y
`2/x-1/(x-13)=1/78`
`(2x-26-x)/(x^2-13x)=1/78`
`x^2-13x=78x-26*78`
`x^2-91x+26*78=0`

`D=8281-4*26*78=169=13^2`

`x_1=(91+13)/2=52` км/ч

`x_1=(91-13)/2=39` км/ч

39 не подходит по условию, так как там указано что скорость больше 48 км/ч

Ответ: 52

Для первого автомобиля:

`V=x`
`t=(2y)/x`
`S=2y`

Для второго автомобиля:

1 половина пути
`V=42`
`t=y/42`
`S=y`

2 половина пути
`V=x+28`
`t=y/(x+28)`
`S=y`

Составим уравнение

`t_1=t_(2-1)+t_(2-2)`
`(2y)/x=y/42+y/(x+28)`  |:y
`2/x-1/42=1/(x+28)`
`(2x+56-x)/(x^2+28x)=1/42`
`x^2+28x=42x+56*42`
`x^2-14x-56*42=0`
`D=196+4*56*42=196+9408=9604=98^2`
`x=(14±98)/2`

`x=56` км/ч
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 56

Для мото
`V=x+50` км/ч
`t=60/(x+50)`
`S=60`

Для велосипеда
`V=x` км/ч
`t=60/x`
`S=60`

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=5`
`60/x-60/(x+50)=5`
`(60x+60*50-60x)/(x^2+50x)=5`  |:5
`x^2+50x=600`
`x^2+50x-600=0`
`D=2500+4*1*600=4900=70^2`

`x=(-50+70)/2=10` км/ч
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 10

Товарный:
`V=x`км/ч
`t=180/x`
`S=180`

Скорый:
`V=x+54`км/ч
`t=180/(x+54)`
`S=180`

`V_(скор)=x+(900*60)/1000=x+54` км/ч

Составим уравнение:
`t_(медл)-t_(быстр)=3`
`180/x-180/(x+54)=3`
`(180x+180*54-180x)/(x^2+54x)=3`
`x^2+54x=3240`
`x^2+54x-3240=0`
`D=2916+12960=15876=126^2`
`x=(-54+126)/2=36`км/ч
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 36

Подъем:
`V=x-1`км/ч
`t=5`
`S=5(x-1)`

Спуск:
`V=x`км/ч
`t=1`
`S=x*1`

Составим уравнение:
`S_(подъем)+S_(спуск)=25`
`5(x-1)+x*1=25`
`5x-5+x=25`
`6x=30`
`x=5` км/ч

Ответ: 5

Мото:
Полный путь
`V=y/(x-12)`
`t=x-12` часов
`S=y`

До встречи
`V=y/(x-12)`
`t=2,5` часа
`S=(2,5y)/(x-12)`

Вело:
Полный путь
`V=y/x`
`t=x` часов
`S=y`

До встречи
`V=y/x`
`t=2,5` часов
`S=(2,5y)/x`

Составим уравнение

`S_(м. до встр.)+ S_(в. до встр.)=S_(весь)`
`(2,5y)/(x-12)+(2,5y)/x=y`   |:y
`(2,5x+2,5x-30)/(x^2-12x)=1`
`x^2-12x=5x-30`
`x^2-17x+30=0`

`D=(-17)^2-4*1*30=169=13^2`

`x_1=(17+13)/2=15` часов
отрицательный корень не находим, так как в нем нет смысла

Ответ: 15

Разница в скорости 1,5 км/ч, то есть за 1 час разница в расстоянии будет 1,5 км или за 60 минут 1500 метров.

Составим пропорцию
60 мин - 1500 м
 x мин   - 150 м
`x=(60*150)/1500=6` мин

Ответ: 6

Скорость сближения
`V = 75+85=160` км/ч

Время на сближение
`t = S/v=480/160=3` часа

Ответ: 3

Авто из города А
`V=x`
`t=4`
`S=200`

Авто из города В
`V=60`
`t=4`
`S=240`

Путь, пройденный автомобилем А до встречи, `440-240=200` км
тогда скорость `V = 200/4=50` км/ч

Ответ: 50

Авто из города А
`V=x`
`t=4+3=7` ч
`S=350`

Авто из города В
`V=70`
`t=280/70=4` ч
`S=280`

`V = 350/7=50` км/ч

Ответ: 50

Авто:
`V=51`
`t=7`
`S=357`

Мото:
`V=x`
`t=13/2`
`S=351`

1) `t_(авт)=357/51=7`ч  - время до встречи

2) `t_(мот)=7-0,5=6,5` ч - время до встречи

3) `V_(мот)=(351*2)/12=54` км/ч

Ответ: 54

Первый авто до встречи
За 1 час:
`V=50`
`t=1`
`S=50*1`

За 3 часа:
`V=50`
`t=3` (узнали в п.4 задачи)
`S=50*3`

Второй авто до встречи
`V=80`
`t=3`  (узнали в п.4 задачи)
`S=80*3`

1) Вначале узнаем, сколько прошел 1 авто за 1 час.
`50*1=50` км
2) Далее узнаем скорость сближения
`50+80=130` км/ч
3) Узнаем, сколько прошли 2 авто.
`440-50=390` км
4) Узнаем время, которое потребовалось машинам, чтобы пройти это расстояние
`390/130=3` часа
4) Причем 1 прошел `50*3=150` км за 3 часа  и `50*1=50` за 1 час.
Итого `150+50=200` км он уехал от города А

Ответ: 200

1 человек до встречи
`V=2,2`
`t=x/(2,2)`
`S=x`

2 человек
В одну сторону до конца пути
`V=4,4`
`t=(1,5)/(4,4)`
`S=1,5`

Обратно до встречи
`V=4,4`
`t=(1,5-x)/(4,4)`
`S=1,5-x`

Итак, пока первый прошел лишь часть пути до встречи, второй уже дошел до опушки и возвращался назад. Составим уравнение:

`x/(2,2)=(1,5)/(4,4)+(1,5-x)/(4,4)`
`x/(2,2)=(3-x)/(4,4)`   |*4,4
`2x=3-x`
`3x=3`
`x=1` км

Ответ: 1

Мото:
Из А до города С
`V=80`
`t=x/80`
`S=x` км - расстояние от А до С

Возвращение обратно из С в А то же самое:
`V=80`
`t=x/80`
`S=x` км

Авто:
От А до города С
`V=((420-x)*80)/x`
`t=x/80+1`
`S=x` км 

От С до В
`V=((420-x)*80)/x`
`t=x/80`
`S=420-x` км

t авто от А до С можно выразить двумя способами: `x/80+1` или как `t=S/v` ⇒  `x:((420-x)*80)/x=x^2/((420-x)*80)`

Составим уравнение

`x/80+1=x^2/((420-x)*80)`
`(x+80)/80=x^2/((420-x)*80)`
`x^2=420x-x^2+420*80-80x`
`2x^2-340x-420*80=0`
`x^2-170x-420*40=0`
`x^2-170x-16800=0`
`D=28900+67200=96100=310^2`
`x=(170+310)/2=240` км

Ответ: 240

Необходимо составить систему уравнений, отношения 2 и 3 велосипедиста и 1 и 3

2 и 3 велосипедист
для 2
`V=14` км/ч
`t=y+1`
`S=14(y+1)` км    

для 3
`V=x` км/ч
`t=y`
`S=x*y` км   


 1 и 3 велосипедист
для 1
`V=15` км/ч
`t=y+6,7`
`S=15(y+6,7)` км    

для 3
`V=x` км/ч
`t=y+4,7`
`S=x*(y+4,7)` км    

Составим систему уравнений

`{(14(y+1)=xy),(15(y+6,7)=x(y+4,7)):}`

`15(y+6,7)=(14(y+1))/y * (y+4,7)` (умножим на y обе части)
`15y(y+6,7)=(14y+14) * (y+4,7)`
`15y^2+100,5y=14y^2+65,8+14y+65,8`
`y^2+20,7*y-65,8=0` (умножим на 10 обе части)
`10y^2+207y-658=0`
`D=42849+40*658=69169=263^2`

`y=(-207+263)/20=2,8`
второй корень не ищем, он не имеет смысла
`x=(14(2,8+1))/(2,8)=19` км/ч

Ответ: 19

Против течения:
`V=x-3` км/ч
`t=187/(x-3)`
`S=187` км

По течению:
`V=x+3` км/ч
`t=187/(x+3)`
`S=187` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`187/(x-3)-187/(x+3)=6/1`
`(187*x+187*3-187*x+187*3)/(x^2-9)=6`

`(6*187)/(x^2-9)=6/1   |:6`   
`x^2-9=187`
`x^2=196`
`x=14` км/ч
отрицательное значение нас не интересует

Ответ: 14 

Против течения:
`V=16-x` км/ч
`t=252/(16-x)`
`S=252` км

По течению:
`V=16+x` км/ч
`t=252/(16+x)`
`S=252` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`252/(16-x)-252/(16+x)=4`
`(252*16+252x-252*16+252x)/(256-x^2)=4`
`(2*252*x)/(256-x^2)=4`    |:4
`(126*x)/(256-x^2)=1/1`
`126x=256-x^2`
`x^2+126x-256=0`

`x_1=-128`
`x_2=2` км/ч
берем положительное значение 

Ответ: 2

1 теплоход
`V=x` км/ч
`t=153/x` 
`S=153` км


2 теплоход
`V=x+8` км/ч
`t=153/(x+8)` 
`S=153` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=8`
`153/x-153/(x+8)=8`
`(153x+153*8-153x)/(x^2+8x)=8`   |:8
`153/(x^2+8x)=1/1`
`x^2+8x=153`
`x^2+8x-153=0`

`D=64-4*1*(-153)=26^2`

`x_1=(-8-26)/2=-17`
`x_2=(-8+26)/2=9`км/ч
берем положительное значение

Ответ: 9

1 теплоход
`V=x-5` км/ч
`t=176/(x-5)` 
`S=176` км


2 теплоход
`V=x` км/ч
`t=176/x` 
`S=176` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=5`
`176/(x-5)-176/x=5`
`(176x-176x+176*5)/(x^2-5x)=5/1`  |:5
`x^2-5x=176`
`x^2-5x-176=0`

`D=25-4*1*-176=27^2`

`x_1=(5+27)/2=16` км/ч
`x_2=(5-27)/2=-11`
берем положительное значение

Ответ: 16

Туда
`V=x` км/ч
`t=264/x` 
`S=264` км

Обратно
`V=x+2` км/ч
`t=264/(x+2)` 
`S=264` км

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=1`
`264/x-264/(x+2)=1`
`(264x+264*2-264x)/(x^2+2x)=1/1`
`x^2+2x=528`
`x^2+2x-528=0`

`D=4-4*1*-528=2116=46^2`
`x=-2+46/(2*1)=22` км/ч
берем положительное значение, отрицательное можно не считать

Ответ: 22

Туда
`V=8+x` км/ч
`t=30/(8+x)` 
`S=30` км

Обратно
`V=8-x` км/ч
`t=30/(8-x)` 
`S=30` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=12`
`30/(8+x)+4+30/(8-x)=12`
`30/(8+x)+30/(8-x)=8`
`(240+30x+240+30x)/(64-x^2)=8`
`(2*240)/(64-x^2)=8/1`   |:8
`64-x^2=60`
`x^2=4`
`x=±2`
Отрицательное значение не берем

Ответ: 2

По течению:
`V=28+x` км/ч
`t=775/(28+x)`
`S=775` км

Против течения:
`V=28-x` км/ч
`t=775/(28-x)`
`S=775` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=61`
`775/(28+x)+5+775/(28-x)=61`
`775/(28+x)+775/(28-x)=56`

`(775*28-775x+775*28+775x)/(784-x^2)=56`
`(2*775*28)/(784-x^2)=56/1`  |:56
`784-x^2=775`
`784-x^2-775=0`
`x^2=9`
`x=±3`
Отрицательное значение не берем

Ответ: 3

По течению:
`V=x+4` км/ч
`t=384/(x+4)`
`S=384` км

Против течения:
`V=x-4` км/ч
`t=384/(x-4)`
`S=384` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=48`
`384/(x+4)+8+384/(x-4)=48`
`384/(x+4)+384/(x-4)=40`
`(384*x-384*4+384*x+384*4)/(x^2-16)=40`
`(2*384*x)/(x^2-16)=40`    |:8
`(96*x)/(x^2-16)=5/1`
`5(x^2-16)=96x`
`5x^2-96x-80=0`
`D=9216+1600=10816=104^2`
`x=(96+104)/10=20` км/ч
Отрицательный корень не нужен, можно не считать

Ответ: 20

По течению:
`V=24+3=27` км/ч
`t=x/(2*27)=x/54`
`S=x/2` км

Против течения:
`V=24-3=21` км/ч
`t=x/42`
`S=x/2` км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=34`
`x/54+2+x/42=34`
`x/54+x/42=32`
`(96x)/(54*42)=32/1`  |:32
`3x=54*42`   |:3
`x=54*14`
`x=756` км

Ответ: 756 км

По течению:
`V=x+3` км/ч
`t=15/(x+3)`
`S=15`км

Против течения:
`V=x-3` км/ч
`t=15/(x-3)`
`S=15`км

Составим уравнение
`t_(туда)+t_(стоян)+t_(обрат)=8`
`15/(x+3)+1 ч 20 мин +15/(x-3)=8 ч`
`15/(x+3) +15/(x-3)=6 ч 40 мин = 20/3 ч`
`(15x-45+15x+45)/(x^2-9)=20/3` 
`(30x)/(x^2-9)=20/3`    |:10
`2x^2-18=9x`
`2x^2-9x-18=0`
`D=81+144=225=15^2`
`x=(9+15)/4=6` км/ч
Отрицательное не считаем, оно не нужно

Ответ: 6

Пусть x - собственная скорость яхты (в неподвижной воде)
По течению:
`V=x+4` км/ч
`t=192/(x+4)`
`S=192` км

Против течения:
`V=x-4` км/ч
`t=192/(x-4)`
`S=192` км

`192/(x+4) + 192/(x-4)` - время яхты в пути
`92/4 = 23` часа - время в пути плота
`23-3=20` время яхты в пути

Составим уравнение:

`192/(x+4) + 192/(x-4)=20`
`192(x-4) + 192(x+4)=20(x+4)(x-4)`
`384x=20(x^2-16)`
`20x^2-384x-320=0`  |:4
`5x^2-96x-80=0`
`D=9216-4*5*80=10816=104^2`
`x=(96+104)/2*5=20`
Второй корень отрицательный, не подходит.

Ответ: 20

Пусть x - скорость течения весной
(x-1) - скорость течения летом
V - собственная скорость
(V-x) - весной против течения
(V+x) - весной по течению
(V-(x-1)) - летом против течения
(V+(x-1)) - летом по течению

Составим систему уравнений

`{((V+x)/(V-x)=5/3), ((V+(x-1))/(V-(x-1))=3/2):}`

Выразим V
`3(V+x)=5(V-x)`
`3V+3x=5V-5x`
`8x=2V`
`V=4x`

подставляем в нижнее уравнение в системе

`(4x+x-1)/(4x-x+1)=3/2`
`10x-2=9x+3`
`x=5`

Ответ: 5

1 половина
`V=66` км/ч
`t=x`
`S=66x` км

2 половина
`V=82` км/ч
`t=x`
`S=82-x` км

Получаем:
`V_(ср)=(66x+82x)/(2x)=(148x)/(2x)=74` км/ч

Ответ: 74

1 час
`V=115`
`t=1`
`S=115`

следующие 3
`V=45`
`t=3`
`S=135`

затем еще 2 часа
`V=40`
`t=2`
`S=80`

`V=(115+135+80)/(1+3+2)=330/6=55` км/ч

Ответ: 55

1 способ
Первые 120:
`V=60`
`t=2`
`S=120`

следующие 200:
`V=100`
`t=2`
`S=200`

еще 160 км:
`V=120`
`t=160/120=4/3`
`S=160`

`V_(ср)=(120+200+160)/(2/1+2/1+4/3)=480/(16/3)=(480*3)/16=90` км/ч

Ответ: 90

2 способ:
Берем каждый час за 1 часть и находим среднее для этих частей, тем самым определяя среднюю скорость.
`120/60 = 2` части
`200/100=2` часа (части)
`160/120=1 1/3`

`(60*2+100*2+1 1/3*120)/(5 1/3)=480/(5 1/3) = 1440/16`= 90 км/ч Для удобства подсчетов знаменатель и множитель умножили на 3, чтобы избавиться от неправильной дроби.

Ответ: 90

1 треть
`V=100`
`t=y/100`
`S=y`

2 треть
`V=75`
`t=y/75`
`S=y`

3 треть
`V=60`
`t=y/60`
`S=y`

Составим уравнение

`V_(ср)=(3y)/(y/100+y/75+y/60)=(3y)/((12y)/300)=(900y)/(12y)=75` км/ч

Ответ: 75

Яхта
`V=24`
`t=x/24`
`S=x`

Самолет
`V=456`
`t=x/456`
`S=x`

Составим уравнение

`V=(x+x)/(x/24+x/456)=(2x)/((20x)/456)=(2x*456)/(20x)=45,6` км/ч

Ответ: 45,6

1) `50` км/ч=`(50*1000)/3600=500/36` м/с

2) V поезда относительно столба = `500/36` м/с
     t мимо столба = 72 с

Пройденный путь за 72 секунды
`500/36*72=1000` метров

Ответ: 1000

1 мин 48 сек = 108 секунд

1) `70` км/ч `=(70*1000)/3600=700/36` м/с

2) V мимом лесополосы = `700/36` м/с
    t мимо лесополосы = 108 с

Пройденный путь за 108 секунд

`700/36*108=2100 м`

3)

Надо учитывать, что если лесополоса 1000 м, а поезд проехал 2100 м, то разница как раз и будет длиной поезда.
Значит, между начальной и последней точкой поезда
2100-1000=1100 метров

Ответ: 1100

1) `V_(сближ)=70+50=120 ` км/ч
Это то же самое, что пассажирский стоит, а скорый движется мимо него со скоростью 120 км/ч.
2) `120 = (120*1000)/3600 = 100/3  м/c`
3) Найдем, сколько м прошел скорый поезд за 33 с
`S=100/3 * 33=1100` м

Итак, грузовой прошел 1100 метров мимо пассажирского поезда, причем, если бы он был физической точкой, то это было 800 метров, то есть лишние метры добавились благодаря его длине, где начальная и крайняя точка также были в определенное время напротив пассажирского

`1100-800=300` метров - длина скорого поезда

Ответ: 300

1) `V_(сближ)=80-50=30` км/ч
Это то же самое, что товарняк стоит, а пассажирский проезжает мимо него со скоростью 30 км/ч.
2) `30 км/ч = (30*10000)/3600=100/12 м/с`

3) То есть при скорости в 30 км/ч если бы он был физической точкой он бы за 2 минуты прошел 800 метров, но на самом деле пройденный путь

`100/12*120=1000`м

То есть получается, лишние метры образовались из-за того, что пассажирский поезд тоже имеет свою длину. Тогда

4) 1000-800=200 м

Ответ: 200

1)

Получается второй сухогруз прошел 600 метров до первого, потом прошел вдоль него длину второго сухогруза, прошел еще свою длину и оторвался на 800 метров. Все это за 11 минут.

`S = 600+130+120+800=1650` метров

2) `t_(сближ)=11 мин=11/60 ч`

3) `1650` метров = `165/100` км
    `V_(сближ)=165/100:11/60=165/100*60/11=9` км/ч

Ответ: 9

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`0,19m+0,17m=x*2m`  |:m
`0,19+0,17=2x`
`0,36=2x`
`x=0,18=18%`

Ответ: 18

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`0,35*3+0,15*12=x*15`
`1,05+1,8=15*x`
`15x=2,85`
`x=285/(100*15)=0,19=19`%

Ответ: 19

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`0,24*10+0*5=x*15`
`2,4=x*15`
`x=0,16=16%`

Ответ: 16

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`0,05*m_1+0,13*(m_1+9)=0,11*(m_1+m_1+9)`
`0,05*m_1+0,13*m_1+1,17=0,22*m_1+0,99`
`0,18=0,04*m_1`
`m_1=4,5`
`m_1+m_1+9=4,5+4,5+9=18`

Ответ: 18

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`0,05*m_1+0,14*(m_1+10)=0,12(m_1+m_1+10)`
`0,05*m_1+0,14*m_1+1,4=0,24m_1+1,2`
`0,2=0,05*m_1`
`m_1=4`
`m_1+m_1+10=4+4+10=18`

Ответ: 18

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`{(0.1m_1+0.35*m_2=0.25*150),(m_1+m_2=150):}`

Из нижнего
`m_1=150-m_2`

Из верхнего
`0,1*(150-m_2)+0,35*m_2=37,5`
`15-0,1*m_2+0,35*m_2=37,5`
`0,25*m_2=22,5`   |*4
`m_2=90`
`m_1=150-90=60` кг

90-60=30 кг составляет разница масс

Ответ: 30

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`{(x*60+y*20=0.3*80),(xm+ym=0.45*2m):}`

Из нижнего
`x+y=0,9`
`y=0,9-x`

Из верхнего
`60x+20(0,9-x)=24`
`60x+18-20x=24`
`40x=6`
`x=6/40=(3*5)/(20*5)=0,15=15%`

Ответ: 15

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`{(x*80+y*70=0.63*150),(xm+ym=0.65*2m):}`

Из нижнего
`x+y=1,3`
`y=1,3-x`

Из верхнего
`80*x+70*(1,3-x)=94,5`
`80x+91-70x=94,5`
`10x=3,5`        |:10
`x=0,35=35%`
`80x=80*0,35=28`

35% от 80 кг это `0,35*80=28` кг

Ответ: 28

Доля₁*m₁+Доля₂*m₂=Доля₃*(m₁+m₂)

`{(0.45*m_1+0.97*m_2+0*10=0.62*(m_1+m_2+10)),(0.45*m_1+0.97*m_2+0.5*10=0.72*(m_1+m_2+10)):}`

Второе минус первое:
`5=0,1*(m_1+m_2+10)` |*10
`50=m_1+m_2+10`

Выразим m₂
`m_2=40-m_1`

Подставим m₂ в m₁
`0,45*m_1+0,97(40-m_1)=0,62*50`
`0,45*m_1+38,8-0,97*m_1=31`
`7,8=0,52*m_1`
`m_1=(7,8)/(0,52)=780/522=30/2=15` кг

Ответ: 15

9 рубашек дешевле куртки на 10% означает, что 9 рубашек составляют 100-10=90% от стоимости куртки.
Следовательно, одна рубашка – это 90/9=10 % от стоимости куртки, а 11 рубашек 10*11=110 %
110 - 100 = 10 %
Ответ: 10

Краткое оформление:
Куртка - 100%
9 рубашек - 90 %
1 рубашка - 90:9=10%
11 рубашек 10*11=110%
110-100=10%
Ответ: 10

Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи.
Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет
100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.
Ответ: 27

ИЛИ

Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: x+y+z=100. Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: 2x+y+z=167. Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет z/3), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид:
`x+y+z/3=96`.
Таким образом, получаем систему уравнений:
`{(x+y+z=100),(2x+y+z=167),(x+y+z/3=96):}`
Вычтем из второго уравнения первое: `2x—x+y—y+z—z=167—100`   ⇔   `x=67`.
Вычтем из первого уравнения третье: `x—x+y—y+z—z/3=100—96`   ⇔   `(2z)/3=4`   ⇔   `z=6`.
Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим: `67+y+6=100`   ⇔   `y=27`.
Ответ: 27

Ответ: 189 кг

Увеличение на 16% это 116 % или 1,16

1 000 000*1,16*1,16=100*116*116=1 345 600 р.

Ответ: 1345600 

увеличение за год% - это `(1+г/100)`
увеличение на 1% - это 1,01
увеличение на 9% - это 1,09

40000*1,01*1,09=4*101*109=404*109=40 400+3 636=44 036

Ответ: 44036

1)
Миша - 18%
Артем - 60000 руб.  

 60000  - x%
200000 - 100%

Паша  0,18=18%
Женя 100-18-30-18=34%

2) 1100000 - 100%
          x    -   34%

`x=(1100000*34)/100=374 000` руб.

Ответ: 374000

`3800(1+г/100)^2-3800(1+г/100)=418`

Пусть `(1+г/100)=t`
`3800t^2-3800t=418` |:38
`100t^2-100t=11`
`100t^2-100t-11=0`
`D=10000+4400=14400=120^2`
`t=(100+120)/100=220/200=1,1`

увеличение за год `1+г/100=1,1`⇒ 10%

Ответ: 10

`256000-121500=134500`

Ответ: 134500

Ответ: 20

Ловите лайфхак. К данным в условии процентам дописываем два нуля и извлекаем корень. Это и будет ответ.

ИЛИ

Пусть S - начальная стоимость акций, х - десятичная запись процентов, на которые дважды происходили изменения стоимости акций. (Десятичная запись процентов - это представление процентов в виде десятичной дроби, например, десятичная запись 55% равна 0,55.)

В понедельник акции подорожали на х процентов, т.е. их стоимость увеличилась на S * х и составила
S+S*x=S(1+x).

Во вторник акции подешевели на х процентов, те. их стоимость уменьшилась на S(1 + х)*х.
Цена акций стала равна
S(1 + х) — S(1 + х) * х = S(1+х)(1 — х),
что составило 100% — 4% = 96% от цены в начале недели (от S). На основании этого составим уравнение:

S(1 + x)(1 - x) = 0,96S
(1 + x)(1 - x) = 0,96
1-x² = 0,96
x² = 0,04

Поскольку х > 0,то х = 0,2.
Следовательно, в понедельник и во вторник стоимость акций изменялась на 20%

Ответ: 20

ИЛИ

Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть
`A⋅(100+x)/100`.
Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от `A⋅(100+x)/100`, то есть `A⋅(100+x)/100⋅(100—x)/100`.
В результате акции стали стоить 96% от А:
`A⋅96/100`.
Таким образом, получаем уравнение:
`A⋅(100+x)/100⋅(100—x)/100=A⋅96/100`|:A ⇔ `(100^2—x^2)/100=96` ⇔ `10000—x^2=9600` ⇔
⇔ `x^2=400` ⇔ `x_1=20`; `x_2=—20`.

Так как x>0, то акции подорожали в понедельник на 20%.

Ответ: 20

ИЛИ

Пусть х - десятичная запись количества процентов на которые дорожали и дешевели акции.
100% = 1 – первоначальная стоимость акций;
100 – 4 = 96% = 0,96 – конечная стоимость акций.
Составим уравнение по условию задачи:
1·(1 + х)·(1 – х) = 0,96
1 – х² = 0,96
–х² = 0,96 – 1
–х² = –0,04
х² = 0,04
х = ±√0,04
х = ±0,2
Количество процентов должно быть положительным, значит акции дорожали и дешевели на 0,2 = 20%.
Ответ: 20

уменьшение на год г% - это (1-г/100)

`20900*(1-г/100)*(1-г/100)=16929`
`20900*(1-г/100)^2=16929`
`(1-г/100)^2=16929/20900=81/100`

1 корень
`1-г/100 = 9/10`
`г/100=1/10`
`г=10` %

или 2 корень
`1-г/100 = -9/10`
`г/100=19/10`
`г=190` %

190 не подходит, так как больше 100

Ответ: 10

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`140/x-140/(x+4)=4`
`(140x+140*4-140x)/(x^2+4x)=4/1`      |:4
`x^2+4x=140`
`x^2+4x-140=0`
`D=16-4*1*(-140)=576=24^2`
`x_1=(-4+24)/2=10` дет.
отрицательный корень не ищем

Ответ: 10

Составим уравнение

`t_(медл)-t_(быстр)=5`
`176/(x-5)-176/x=5`
`(176x-176x+176*5)/(x^2-5x)=5/1`        |:5
`x^2-5x-176=0`
`D=25-4*1*(-176)=729=27^2`
`x_1=(5+27)/2=32/2=16`
отрицательный корень не ищем

Ответ: 16

`t_(медл)-t_(быстр)=6`
`112/(x-6)-112/x=6`
`(112x-112x+112*6)/(x^2-6x)=6/1`    |:6
`x^2-6x-112=0`
`D =36-4*1*(-112)=484=22^2`
`x=(6+22)/2=14`
отрицательный корень не считаем
Ответ: 14

Второй способ:
Пусть I труба х л/мин, заполняет 112 литров за 112/х минут
II труба (х+6) л/мин, заполняет 112 литров за 112/(х+6) минут
Разница 112/х - 112/(х+6) = 6

Составим уравнение
`112/x - 112/(х+6) = 6`
`112(х+6) - 112х = 6х(х+6)`
`112*6 = 6х^2 + 6*6х`
`6х^2 + 6*6х - 112*6 = 0` Делим на 6
`х^2 + 6х - 112 = 0`
`D = 62 - 4*1*(-112) = 36 + 448 = 484 = 22^2`
`x_1 = (-6-22)/2 < 0` не удовлетворяет условию задачи, не может быть отрицательным значением
`x_2 = (-6+22)/2 = 16/2 = 8`
`8+6=14` литров в минуту пропускает вторая труба

Ответ: 14

Составим уравнение
`t_(медл)-t_(быстр)=2`
`110/x-99/(x+1)=2`
`(110x+110-99x)/(x^2+x)=2/1`
`(11x+110)/(x^2+x)=2/1`
`2x^2+2x=11x+110`
`2x^2-9x-110=0`
`D=81+880=31^2`
`x=(9+31)/4=10` л

Ответ: 10

`t_(медл)-t_(быстр)=8`
`180/x-180/(x+8)=8`
`(180x+180*8-180x)/(x^2+8x)=8/1`     |:8
`x^2+8x=180`
`x^2+8x-180=0`
`D=64-4*1*(-180)=784=28^2`
`x=(-8+28)/2=10` л
отрицательный корень не ищем

Ответ: 10 

`t_(медл)-t_(быстр)=10`
`500/(x-5)-375/x=10`
`(500x-375x+375*5)/(x^2-5x)=10/1`  
`(125x+375*5)/(x^2-5x)=10/1`    |:5
`(25x+375)/(x^2-5x)=2/1`
`2x^2-10x=25x+375`
`2x^2-35x-375=0`
`D=1225+3000=4225=65^2`
`x=(35+65)/4=25`
отрицательный корень не ищем

Ответ: 25

`t_(медл)-t_(быстр)=4`
`80/x+60/(x+2)=4`
`(80x+160-60x)/(x^2+2)=4`
`(20x+160)/(x^2+2)=4/1`   |:4
`(5x+40)/(x^2+2)=1`
`x^2+2x=5x+40`
`x^2-3x-40=0`
`D=9-4*1*40=169`
`x=(3+13)/2=8`
отрицательный корень не имеет смысла, его не считаем

Ответ: 8

`t_(медл)-t_(быстр)=12`
`600/(x-10)-540/x=12`
`(600x-540x+5400)/(x^2-10x)=12/1`
`(60x+5400)/(x^2-10x)=12/1`   |:12
`(5x+450)/(x^2-10x)=1/1`
`x^2-10x=5x+450`
`x^2-15x-450=0`
`D=225+1800=2025=45^2`
`x=(15±45)/2`
`x=60/2=30`
отрицательный корень не имеет смысла, его не ищем

Ответ: 30

`t_(медл)-t_(быстр)=117` мин или `39/20` ч
`x/10-x/16=39/20` 
`(3x)/80=39/20`   |перемножим крест накрест и :3
`20x=13*80`  |:20
`x=13*4`
`x=52`

Ответ: 52

`t_(медл)-t_(быстр)=9`
`240/x-240/(x+6)=9`
`(240x+240*6-240x)/(x^2+6)=9/1`    |:9
`x^2+6x=160`
`x^2+6x-160=0`
`D=36-4*1*(-160)=676=26^2`
`x=(-6+26)/2=10`
отрицательный корень не ищем

Ответ: 10

1)`1/30+1/15=3/30=1/10`

2) `1:1/10=1*10/1=10` - t вместе

Ответ: 10

`1/x+1/60=1/35`
`1/x=1/35-1/60`
`1/x=5/420`
`x=(420*1)/5=84`

Ответ: 84

`1/60+1/90+1/108=20/540=1/27`
`t_(общ)=1/(1/27)=27`

Ответ: 27

1) 1 час 55 мин = `1 + 55/60=23/12` ч

2) `1/46+1/x=12/23`     |:46
`1+46/x=24`
`46/x=23`
`x=2`

Ответ: 2

`1/(x+13)+1/x=1/42`
`(x+x+13)/(x^2+13x)=1/42`
`x^2+13x=81x+42*13`
`x^2-71x-546=0`
`D=5041+2184=7225=85^2`
`x=(71+85)/2=78`
отрицательный корень не имеет смысла

Ответ: 78

1) `8/2=4` л в минуту производительность 1 насоса

2) `8/8=8/7` л в минуту производительность 2 насоса

3) `4/1+8/7=36/x`
    `36/7=36/x`
    `x=7`

Ответ: 7

`14/16:2/16=7` час работали вместе чтобы доделать заказ

7+2=9 часов получилось все время на выполнение заказа, так как 2 часа до совместных 7 часов работа л 1 рабочий.

Ответ: 9

1) Приравняем работу первого и второго, выразим время для второго:
`4/x=3/y`
`y=(3x)/4`

2) Зная, что производительность за день равна 1/12 от все работы, так как они ее выполняют за 12 дней, составим уравнение
`1/x +1/y=1/12`
`1/x+(1*4)/(3x)=1/12`
`7/(3x)=1/12`
`3x=7*12`         |:3
`x=28` дней

Ответ: 28

Узнаем их общую производительность помноженную на 2

`1/24+1/30+1/40=12/120=2/20`

То есть условно 1 производительность всех ребят это `2/20 : 2 = 1/20` забора за час

Значит время, ушедшее на покраску всего забора, будет равно:

`t=1/(1/20)=20` часов

Ответ: 20

1) Узнаем их общую производительность, помноженную на 2

`1/10+1/14+1/15=50/210`

то есть общая производительность, умноженная на 1, будет
`50/210:2 = 25/210` бассейнов в минуту

Теперь найдем время для 1 бассейна
`t=1/(25/210)=210/25=42/5=8,4`мин

Ответ: 8,4

* выделенная работа красным равна 1 заказу, выделенная синим работа тоже  равна 1 заказу.
Составим систему уравнений

`{(18/x*9+21/x*y=1),(22/x*9+19/x*y=1):}`
`{((162+21y)/x=1),((198+19y)/x=1):}`
`{(x=162+21y),(x=198+19y):}`
`162+21y=198+19y`
`2y=36`
`y=18`

получается из первой таблицы, что первая бригада работала 9 дней, а потом с людьми, которые перешли из 2 бригады, еще 18 дней. Итого:
9+18=27 дней

Ответ: 27

Получается, они расположены диаметрально противоположно (в разных концах диаметра), при этом надо одному мотоциклисту догнать другого, а это состоится при условии, что он отстает на `22/2=11` км.

Скорость сближения равна 20 км/ч.
Тогда время равно расстояние деленное на скорость
`t = 11/20=33/60=33` мин

Ответ: 33

1 способ

Если они стартовали одновременно, то через 20 минут получается первый автомобиль обгонял второй на периметр круга, на 12 км.
 То есть можно узнать "скорость удаления". Она равна периметр круга разделить на время, лучше сразу в часах, чтобы получились км/ч.

`20 мин =1/3` часа.

`V = 12/(1/3)=36 ` км/ч то есть на столько скорость первого авто выше второго.

Тогда 101-36=65 км/ч скорость 2 авто.

Ответ: 65 

2 способ
Если они стартовали одновременно, то через 20 минут первый автомобиль обгонял второй на периметр круга, на 12 км.
 То есть можно узнать "скорость удаления". Она равна периметр круга разделить на время, лучше сразу в часах, чтобы получились км/ч.

`20 мин =1/3` часа.

Для 1 авто (быстрое):
V=101
t=1/3
S=101/3

Для 2 авто (медлен.):
V=x
t=1/3
S=x/3

При этом за эту треть часа разница в расстоянии получилась равна 12 км.

Тогда выразим путь пройденный для 1 и 2 авто и приравняем к их разнице в 12 км.

S_быстр. - S_медл. = 12
`101/3-x/3=12`     |*3
`101-x=36` 
`x=65` км/ч - это скорость 2 авто

Ответ: 65

Встреча мотоцикла и велосипеда произошла через `30+10 = 40` минут после выезда велосипеда и через 10 минут после выезда мотоцикла. Значит их скорости пропорциональный времени, за которое они прошли одно и тоже расстояние.
 `40/10=4` - во столько раз скорость вело ниже скорости мото.
В итоге, если взять за х скорость велосипедиста, то скорость мото будет `4x`.
Скорость сближения будет `4x-x=3x`.
 Кроме того, мы знаем, что через 44 минуты мотоциклист догнал велосипедиста второй раз. То есть получается, что круг в 33 км при скорости сближения 3x он преодолел за 44 минуты.

Причем 44 минуты это `44/60=11/15` часа 

Если выразить скорость сближения в км/ч, получаем 33 км за `11/15` часа

`V = 33/(11/15)=3*15=45` км/ч получилась скорость сближения. 

Теперь найдем скорость велосипедиста.

`3x=45`
`x=15` км/ч

а скорость мотоциклиста в 4 раза больше.
`15*4=60` км/ч

Ответ: 60

Примем за х скорость второго гонщика.
Тогда время за которое он проедет всю трассу будет равно расстояние трассы деленное на его скорость, то есть:
`t_1 = (99*4)/x`

 Причем за 20 минут первый обгонял второго на 4 км, на 1 круг. Отсюда можно узнать скорость удаления.
 20 минут это 1/3 часа.
То есть за 1/3 часа получился разрыв в 4 км, тогда за час будет:
4*3=12 км/ч - скорость сближения.
Получается скорость 2 гонщика равна x+12 км/ч

Тогда время за которое он проедет всю трассу будет равно расстояние трассы деленное на его скорость, то есть:
`t_2 = (99*4)/(x+12)`

При этом мы знаем, что время первого от второго различается на 22 минуты
`22` минуты = `22/60=11/30` часа.

Составим уравнение:

`t_(медл)-t_(быстр)=11/30`
`(99*4)/x - (99*4)/(x+12) = 11/30`
`(396x+396*12-396x)/(x^2+12x) = 11/30` |:11
`(36x+36*12-36x)/(x^2+12x) = 1/30`
`432/(x^2+12x) = 1/30`
`x^2+12x = 11/30`
`x^2+12x = 12960`
`x^2+12x - 12960 = 0`
`D = 144+51480=51984=228^2`
`x=(-12+228)/2=108` км/ч
отрицательный корень не имеет смысла

Ответ: 108

 Скорости стрелок различаются в 12 раз. Если у часовой скорость x, то у минутной 12x

Если выразить все в делениях, то получается, что 12 делений в час минутной равны 1 делению в час часовой.

Из этого можно найти скорость сближения стрелок. 

V сближ = 12-1=11 делений в час.

1 раз до "касания" минутной стрелки часовой.

В итоге до первого сближения надо пройти 7 полных делений и 1 неполное.

1 неполное равно 3/4 полных, так как 45 минут равно 3/4 часа или 3/4 того само деления где сейчас находится часовая стрелка.

`7+3/4=31/4` деления

При сближении 11 делений в час получаем время:

`S/V=(31/4)/11=31/44` часа

последующие 6 раз до "касания" минутной стрелки часовой.

 Здесь минутной стрелке  каждый раз придется проходить по 12 делений, то есть круг.
 Тогда время на круг будет 
`S/V=12/11` часа

Составим итоговое выражение для 1 сближения и последующих 6

`31/44+6*12/11=31/44+72/11=319/44` часа

Нам надо в минутах, тогда 

`319/44*60=435` минут

Ответ: 435

Арифметическая прогрессия
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`
`a_1+a_n=11`
n-?
Sn=33

`33=11/2*n` |*2
`66=11*n`
`n=6`

Ответ: 6

Арифметическая прогрессия
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`

`S_n=99`
`a_1=7`
`a_n=?`
`n=9`

`99/1=(7+a_n)/2*9`  |:9
`22=7+a_n`
`a_n=15`

Ответ: 15

Арифметическая прогрессия
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`
`S_n=810`
`a_1+a_n=180`
`810=180/2*n`
`810=90*n`
`n=9`

Ответ: 9

Арифметическая прогрессия
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`

`S_n=333`
`a_1=5`
`a_n=?`
`n=9`
`333/1=(5+a_n)/2*9`  |:9
`74=5+a_n`
`a_n=69`

Ответ: 69

Арифметическая прогрессия
`a_n=a_1+d(n-1)`
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`

`a_1=8`
`n=10`
`S_n=215`
`a_4=?`

1) `215=(8+a_10)/2*10`
    `215=(8+a_10)*5`     |:5
    `43=(8+a_10)`
    `a_10=35`

2) `a_10=a_1+d*(10-1)`
    `35=8+d*9`
    `27=9d`
    `d=3`

3) `a_4=a_1+d*(4-1)`
    `a_4=8+3*3=17`

Ответ: 17

Арифметическая прогрессия
`a_n=a_1+d(n-1)`
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`

`S_n=972`
`a_1=20`
`a_7=?`
`n=18`

1) `972=(20+a_(18))/2*18` |:9
    `108=(20+a_(18))`
    `a_(18)=88`

2) `a_(18)=a_1+d*(18-1)`
    `88=20+d*17`
    `68=17d`
    `d=4`

3) `a_7=a_1+d*(7-1)`
    `a_7=20+4*6=44`

Ответ: 44

Арифметическая прогрессия
`a_n=a_1+d(n-1)`
`S_n=(a_1+a_n)/2*n`

`S_n=360`
`a_1=3`
`a_9=?`
`n=18`

1) `360=(3+a_(18))/2*18`
    `360=(3+a_(18))*9`    |:9
    `40=3+a_(18)`
    `a_(18)=37`

2) `a_(18)=a_(1)+d(18-1)`
    `37=3+d*17`
    `34=17d`
    `d=2`

3) `a_9=a_1+d*(9-1)`
    `a_9=3+2*8=19`

Ответ: 19