Задачи, которых нет в новом банке, но они есть в старом, БЕЗ ПОВТОРОВ:
Задания про кредиты из старого банка ФИПИ:
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
Решение:
Дифференцированные платежи (решение с гиперматики Ященко)
Введём обозначения: пусть S — сумма, взятая в кредит, а n=19 — количество месяцев, на которые планируется взять кредит.
По условию долг перед банком по состоянию на 15 -е число должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть на `1/n`-ю часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания)
`S; ((n−1)S)/n ; …; (2S)/n; S/n; 0`.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на r% , поэтому последовательность сумм долга (в млн рублей) за каждый год после начисления процентов будет следующей:
`S⋅(1+ r/100); ( (n−1)S)/n ⋅ (1+ r/100); … ; 2S/n ⋅ (1+ r/100); S/n ⋅ (1+ r/100)`.
Ежемесячный платёж состоит из фиксированной суммы S/n и суммы платежа по процентам. Ежемесячные платежи составят соответственно
`S/n + r/100 ⋅ S; S/n + r/100 ⋅ ((n−1)S)/n; … ; S/n + r/100 ⋅ (2S)/n; S/n + r/100 ⋅ S/n`.
Общая сумма выплат будет равна
`S+ (rS)/(100n ) (n+(n−1)+…+1)=S+ (rS)/(100n) ⋅ (n(n+1))/2 =S⋅(1+ (r(n+1))/200)`.
Мы вывели формулу, выражающую сумму выплат через сумму кредита, срок кредитования и проценты по кредиту. По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит. Следовательно, `(r(n+1))/200 = 30/100`, откуда, учитывая, что n=19 , получаем r=3.
Ответ: 3
Мы получили формулу, с помощью которой удобно решать задачи на схемы кредитования с дифференцированными платежами, однако на практике не стоит пытаться бездумно пользоваться этой формулой. Во-первых, в задаче требуется не только получить ответ, но и обосновать его получение, а для этого, в частности, надо обосновать используемую для конкретной математической модели формулу. Во-вторых, в условии задачи могут быть дополнительные условия кредитования и при внешнем сходстве схема погашения долга может незначительно отличаться от схемы с дифференцированными платежами, но при этом готовая формула не даст правильный ответ. В-третьих, нельзя исключить ошибок при применении формулы. В любом случае на экзамене советуем внимательно читать условие задачи, выписать последовательность сумм долга до начисления процентов и после, выписать последовательность платежей, а уже затем искать требуемую величину.
Номер: 4738D8
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r , если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.
Решение:
Задача на дифференцированные платежи (решение с гиперматики Ященко)
По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть на `1/9`-ю часть, поэтому суммы долга за каждый год (до начисления процентов) составят (в порядке убывания)
4,5 ; 4 ; … ; 1; 0,5; 0.
По условию каждый январь долг возрастает на r% . поэтому последовательность сумм долга (в млн рублей) за каждый год после начисления процентов будет следующей:
`4,5 ⋅ (1 + r/100 ); 4 ⋅ (1 + r/100 ) ; … ; 1 ⋅ (1 + r/100 ) ; 0,5 ⋅ (1 + r/100 )`.
Ежемесячный платёж состоит из фиксированной суммы `(4,5)/9 =0,5` и суммы платежа по процентам. Таким образом, получаем следующую последовательность платежей (в млн рублей):
`0,5+4,5⋅r/100 ; 0,5+4⋅r/100 ; … ; 0,5+1⋅r/100 ; 0,5+0,5⋅r/100`.
Следовательно, наибольший платёж составит `0,5+4,5⋅r/100` млн рублей, а наименьший платёж составит `0,5+0,5⋅r/100` млн рублей.
Получаем `0,5+4,5⋅r/100 ⩽1,4` , откуда r⩽20 , и `0,5+0,5⋅r/100 ⩾0,6`, откуда r⩾20 . Следовательно, r=20.
Ответ: 20
В представленном примере суммы долга за каждый год (до начисления процентов) образуют арифметическую прогрессию. Именно такая схема выплат по кредиту называется схемой с дифференцированными платежами. Обратите внимание, что для этой схемы последовательность сумм долга после начисления процентов также образует арифметическую прогрессию, поскольку получается из предыдущей последовательности при умножении каждого члена на одно и то же число. Кроме того, последовательность платежей тоже является арифметической прогрессией, поскольку получается при вычитании из последовательных членов одной арифметической прогрессии последовательных членов другой арифметической прогрессии.
Номер: E223D4
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
Решение:
...
Ответ:
Номер: 3E1B6D
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение:
Задача на дифференцированные платежи (решение от Ященко)
Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть на `1/n`-ю часть, поэтому суммы долга за каждый год (до начисления процентов) составят (в порядке убывания)
`16; 16−16/n=(16(n−1))/n ; … ; ( 16⋅2)/n ; 16/n ; 0`.
По условию каждый январь долг возрастает на 25% , поэтому последовательность сумм долга (в млн рублей) за каждый год после начисления процентов будет следующей:
`20; (20(n−1))/n ; … ; (20⋅2)/n ; 20/n ; 0`.
Ежегодный платёж состоит из фиксированной суммы `16/n` и суммы платежа по процентам, поэтому ежегодные платежи составят соответственно
`16/n +4; 16/n + ( 4(n−1))/n ; … ; 16/n + (4⋅2)/n ; 16/n + 4/n`.
Нужно найти сумму получившейся арифметической прогрессии — общую сумму всех выплат. Эта сумма равна
`16+4+ (4(n−1))/n +…+ 4/n`.
Вынесем за скобки общий множитель всех слагаемых правой части последнего равенства начиная со второго:
`S=16+ 4/n ⋅ (n+(n−1)+…+1)`.
Сумму в скобках находим как сумму арифметической прогрессии:
`S=16+ 4/n ⋅ (n+1)/2 ⋅ n=16+2(n+1)=2n+18`.
По условию S=38 , откуда 2n+18=38 и n=10 .
Ответ: 10
Номер: 6E4732
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?
Решение:
...
Ответ:
Номер: 5A1B86
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
|
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
15.04 |
15.05 |
15.06 |
15.07 |
|
Долг (в млн рублей) |
1 |
0,9 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
0 |
Найдите наименьшее значение r , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: 8CB318
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 10 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: 2C41DC
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
|
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
15.04 |
15.05 |
15.06 |
15.07 |
|
Долг (в млн рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: A25D53
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
Июль 2020 |
|
Долг (в млн рублей) |
S |
0,7S |
0,4S |
0,2S |
0 |
Найдите наименьшее значение S , при котором общая сумма выплат будет больше 10 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: 0102AA
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
Июль 2020 |
|
Долг (в млн рублей) |
S |
0,8S |
0,5S |
0,1S |
0 |
Найдите наибольшее значение S , при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: F9D1C8
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
|
Долг (в млн рублей) |
S |
0,7S |
0,4S |
0 |
Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 3 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: 6DEF64
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
|
Долг (в млн рублей) |
S |
0,7S |
0,4S |
0 |
Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Решение:
...
Ответ:
Номер: DEF632
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение:
...
Ответ:
Номер: 78FF6F
