Задачи с гиперматики Ященко, которых нет в банке ФИПИ
31 декабря 2016 года бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: до 30 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10% ), затем до истечения этого же платёжного периода (то есть до 31 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определённую (одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была сумма кредита (в рублях), если сумма ежегодного платежа составила 2 662 000 рублей?
Решение:
Аннуитетные платежи (решение с гиперматики Ященко)
Пусть S — сумма, взятая в кредит, x — сумма ежегодной выплаты. Запишем суммы долга по истечении каждого платёжного периода:
`S_1 =1,1S−x`;
`S_2=1,1S_1−x=(1,1)^2 S−1,1x−x`;
`S_3=1,1S_2−x=(1,1)^3 S−(1,1)^2 x−1,1x−x`.
Поскольку по истечении последнего платёжного периода долг равен 0, имеем `S_3=0` , то есть
`(1,1)^3 S−(1,1)^2 x−1,1x−x=0`,
откуда
`((1,1)^2 +1,1+1)x=(1,1)^3 S`,
то есть `3,31x=1,331S` . Так как `x=2 662 000` , получаем
`S=(3,31⋅2662000)/(1,331)=3,31⋅2000000=6620000`.
Ответ: 6 620 000.
В подобных задачах используются формулы, связывающие 4 величины: сумму кредита, процентную ставку, число платежей (срок кредита), сумму регулярного платежа. Обычно в условии задания задаются три из этих величин, а четвёртую требуется найти. Так, в рассмотренном примере были заданы процентная ставка, число платежей, сумма регулярного платежа, а требовалось найти сумму кредита.
1 января 2018 года Александр Сергеевич взял в банке 800 тыс. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1% ), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 100 тыс. рублей?
Решение:
Аннуитетные платежи (решение с гиперматики Ященко)
Заметим, что за 8 месяцев Александр Сергеевич выплатит не более 800 тыс. рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами.
Каждый месяц долг увеличивается не более чем на 800⋅0,01=8 тыс. рублей. Значит, за 9 9 месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 800+9⋅8=872 тыс. рублей, что меньше, чем 9⋅100=900 тыс. рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 9 месяцев.
Ответ: 9
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 4400 тыс. рублей на 20 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите общую сумму платежей после полного погашения кредита. Ответ дайте в рублях.
Решение:
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`4400 ; 4180 ; 3960 ; … ; 220 ; 0`.
В январе каждого года долг возрастает на 12%, поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`4400 ⋅ 1,12 ; 4180 ⋅ 1,12 ; 3960 ⋅ 1,12 ; … ; 220 ⋅ 1,12`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`220 + 4400 ⋅ 0,12 ; 220 + 4180 ⋅ 0,12 ; 220 + 3960 ⋅ 0,12 ; … ; 220 + 220 ⋅ 0,12`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит, а вторые слагаемые — выплатам по процентам. Получившаяся последовательность является конечной арифметической прогрессией, в которой 20 членов. Сумма этой прогрессии равна
`20 ⋅ ((220 + 4400 ⋅ 0,12) + (220 + 220 ⋅ 0,12 ))/2 = 10 (440 + 4620 ⋅ 0,12 ) = 4400 + 10 ⋅ 4620 ⋅ 0,12 = 4400 + 5544 = 9944`
Значит, всего следует выплатить 9944000 рублей.
Ответ: 9 944 000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 4400 тыс. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Известно, что общая сумма платежей после полного погашения кредита составит 9944 тыс. рублей. На сколько лет планируется взять кредит?
Решение:
Пусть кредит планируется взять на n лет. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`4400; 4400−4400/n; … ; 4400/n; 0`.
или
`4400; (n−1)/n⋅4400; … ; 1/n⋅4400; 0`.
В январе каждого года долг возрастает на 12% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`4400⋅1,12; (n−1)/n⋅4400⋅1,12; … ; 1/n⋅4400⋅1,12`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`1/n ⋅ 4400+4400⋅0,12; 1/n⋅4400+ (n−1)/n ⋅4400⋅0,12; … ; 1/n ⋅ 4400+ 1/n ⋅4400⋅0,12`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит, а вторые слагаемые — выплатам по процентам. Получившаяся последовательность является конечной арифметической прогрессией, в которой n членов. Сумма этой прогрессии равна
`n⋅ ((1/n ⋅4400+4400⋅0,12)+(1/n ⋅4400+ 1/n ⋅4400⋅0,12))/2 = n/2 ⋅(2/n ⋅4400+ (n+1)/n ⋅4400⋅0,12)=4400+(n+1)⋅4400⋅0,06=4664+264n`,
откуда `4664+264n=9944` ; `n=20`.
Ответ: 20
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 20 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма платежей после полного его погашения равнялась 9944 тыс. рублей? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Пусть сумма кредита равна S тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`S; 19/20 S; 18/20 S; … ; 1/20 S; 0`.
В январе каждого года долг возрастает на 12% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`S⋅1,12; 19/20 S⋅1,12; 18/20 S⋅1,12; … ; 1/20 S⋅1,12`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`1/20 S+S⋅0,12; 1/20 S+19/20 S⋅0,12; 1/20 S+18/20 S⋅0,12; … ; 1/20 S+1/20 S⋅0,12`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит, а вторые слагаемые — выплатам по процентам. Получившаяся последовательность является конечной арифметической прогрессией, в которой 20 членов. Сумма этой прогрессии равна
`20⋅ ((1/20 S+S⋅0,12)+(1/20 S+1/20 S⋅0,12))/2=10(1/10 S+21/20 S⋅0,12)=S+10⋅21/20 S⋅0,12= S+1,26S=2,26S`,
откуда 2,26S=9944 ; S=4400 . Значит, сумма, взятая в кредит, равна 4400000 рублям.
Ответ: 4400000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 4400 тыс. рублей на 20 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Известно, что общая сумма платежей после полного погашения кредита составит 9944 тыс. рублей. Найдите r .
Решение:
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`4400 ; 4180 ; 3960 ; … ; 220 ; 0`.
В январе каждого года долг возрастает на r% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`4400⋅(1+r/100); 4180⋅(1+r/100); 3960⋅(1+r/100); … ; 220⋅(1+r/100)`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`220+4400⋅r/100; 220+4180⋅r/100; 220+3960⋅r/100; … ; 220+220⋅r/100`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит, а вторые слагаемые — выплатам по процентам. Получившаяся последовательность является конечной арифметической прогрессией, в которой 20 членов. Сумма этой прогрессии равна
`20⋅((220+4400⋅r/100)+(220+220⋅r/100))/2=10(440+4620⋅r/100)=4400+10⋅4620⋅r/100=4400+462r,`
откуда `4400+462r=9944` ; ` r=12`.
Ответ: 12
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 2800 тыс. рублей на 11 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года с 2031 -го по 2040 -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2040 -го года долг должен составить 800 тыс. рублей;
— в июле 2041 -го года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму платежей после полного погашения кредита. Ответ дайте в рублях.
Решение:
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
2800 ; 2600 ; 2400 ; … ; 800 ; 0.
В январе каждого года долг возрастает на 15% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
2800 ⋅ 1,15 ; 2600 ⋅ 1,15 ; 2400 ⋅ 1,15 ; … ; 800 ⋅ 1,15.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
200 + 2800 ⋅ 0,15 ; 200 + 2600 ⋅ 0,15 ; 200 + 2400 ⋅ 0,15 ; … ; 800 + 800 ⋅ 0,15.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна 2800. Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют арифметическую прогрессию, в которой 11 членов. Сумма этой прогрессии равна
`11 ⋅ (2800 ⋅ 0,15 + 800 ⋅ 0,15)/2 = 11 ⋅ 1800 ⋅ 0,15 = 2970`.
Таким образом, всего следует выплатить 5 770 000 рублей.
Ответ: 5770000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 11 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года с 2031 -го по 2040 -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2040 -го года долг должен составить 800 тыс. рублей;
— в июле 2041 -го года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма платежей после полного его погашения равнялась 5770 тыс. рублей? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Пусть сумма кредита равна A тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`A; 0,9A+80; 0,8A+160; … ; 800; 0`.
В январе каждого года долг возрастает на 15% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`A⋅1,15; (0,9A+80)⋅1,15; (0,8A+160)⋅1,15; … ; 800⋅1,15`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`(0,1A−80)+A⋅0,15; (0,1A−80)+(0,9A+80)⋅0,15`;
`(0,1A−80)+(0,8A+160)⋅0,15; … ; 800+800⋅0,15`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна A . Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют арифметическую прогрессию, в которой 11 членов. Сумма этой прогрессии равна
`11⋅ (A⋅0,15+800⋅0,15)/2 =0,825 A+660`.
Таким образом, всего следует выплатить 1,825 A+660 рублей. Следовательно, 1,825A+660=5770 ; A=2800 .
Значит, сумма, взятая в кредит, равна 2800000 рублям.
Ответ: 2800000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 2800 тыс. рублей на 11 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года с 2031 -го по 2040 -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2041 -го года кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет в июле 2040 -го года, если общая сумма платежей после полного погашения кредита составит 5770 тыс. рублей? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Пусть в июле 2040 -го года долг составит B тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
2800; 2520+0,1B; 2240+0,2B; … ; B; 0.
В январе каждого года долг возрастает на 15% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`2800⋅1,15; (2520+0,1B)⋅1,15; (2240+0,2B)⋅1,15; … ; B⋅1,15`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`(280−0,1B)+2800⋅0,15; (280−0,1B)+(2520+0,1B)⋅0,15; `
`(280−0,1B)+(2240+0,2B)⋅0,15; … ;B+B⋅0,15.`
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна 2800 . Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют арифметическую прогрессию, в которой 11 членов. Сумма этой прогрессии равна
`11⋅(2800⋅0,15+B⋅0,15)/2=2310+0,825B`.
Таким образом, всего следует выплатить `5110+0,825B` рублей. Следовательно, `5110+0,825B=5770`; ` B=800`. Значит, долг в июле 2040 -го года составит 800000 рублей.
Ответ: 800000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 2800 тыс. рублей на 11 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года с 2031 -го по 2040 -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2040 -го года долг должен составить 800 тыс. рублей;
— в июле 2041 -го года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма платежей после полного погашения кредита составит 5770 тыс. рублей. Найдите r .
Решение:
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
2800 ; 2600 ; 2400 ; … ; 800 ; 0.
В январе каждого года долг возрастает на 15% , поэтому последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`2800⋅(1+r/100); 2600⋅(1+r/100); 2400⋅(1+r/100); … ; 800⋅(1+r/100)`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`200+2800⋅r/100; 200+2600⋅r/100; 200+2400⋅r/100; … ; 800+800⋅r/100`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна 2800 . Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют арифметическую прогрессию, в которой 11 членов. Сумма этой прогрессии равна
`11⋅ (2800⋅r/100 +800⋅r/100)/2=11⋅1800⋅r/100=198r`.
Таким образом, всего следует выплатить `2800+198r` рублей. Следовательно, `2800+198r=5770` ; ` r=15`.
Ответ: 15
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2031 , 2032 , 2033 , 2034 и 2035 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2036 , 2037 , 2038 , 2039 и 2040 годов долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите общую сумму платежей после полного погашения кредита. Ответ дайте в рублях.
Решение:
Часть каждого платежа идёт на погашение суммы, взятой в кредит, а другая часть составляет выплаты по процентам. Выплаты по процентам образуют две арифметические прогрессии, в каждой из которых по 5 членов.
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1200 ; 1080 ; 960 ; 840 ; 720 ;
600 ; 480 ; 360 ; 240 ; 120 ; 0.
В январе каждого года с 2031 по 2035 долг возрастает на 18 % , а в январе каждого года с 2036 по 2040 на 14 % , значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
1200 ⋅ 1,18 ; 1080 ⋅ 1,18 ; 960 ⋅ 1,18 ; 840 ⋅ 1,18 ; 720 ⋅ 1,18 ;
600 ⋅ 1,14 ; 480 ⋅ 1,14 ; 360 ⋅ 1,14 ; 240 ⋅ 1,14 ; 120 ⋅ 1,14.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
120 + 1200 ⋅ 0,18 ; 120 + 1080 ⋅ 0,18 ; 120 + 960 ⋅ 0,18 ; 120 + 840 ⋅ 0,18 ; 120 + 720 ⋅ 0,18 ;
120 + 600 ⋅ 0,14 ; 120 + 480 ⋅ 0,14 ; 120 + 360 ⋅ 0,14 ; 120 + 240 ⋅ 0,14 ; 120 + 120 ⋅ 0,14.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна 1200. Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют две арифметические прогрессии, в каждой из которых по 5 членов. Сумма этих слагаемых равна
5 ⋅ 960 ⋅ 0,18 + 5 ⋅ 360 ⋅ 0,14 = 1116.
Таким образом, всего следует выплатить 1200 + 1116 = 2316 тыс. рублей.
Ответ: 2316000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2031 , 2032 , 2033 , 2034 и 2035 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2036 , 2037 , 2038 , 2039 и 2040 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Известно, что общая сумма платежей после полного погашения кредита составит 2316 тыс. рублей. Найдите r .
Решение:
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`1200 ; 1080 ; 960 ; 840 ; 720`;
`600 ; 480 ; 360 ; 240 ; 120 ; 0`.
В январе каждого года с 2031 по 2035 долг возрастает на 18 % , а в январе каждого года с 2036 по 2040 на r % , значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`1200 ⋅ 1,18 ; 1080 ⋅ 1,18 ; 960 ⋅ 1,18 ; 840 ⋅ 1,18 ; 720 ⋅ 1,18`;
`600 ⋅ (1+r/100) ; 480 ⋅ (1+r/100) ; 360 ⋅ (1+r/100) ; 240 ⋅ (1+r/100) ; 120 ⋅ (1+r/100)`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`120 + 1200 ⋅ 0,18 ; 120 + 1080 ⋅ 0,18 ; 120 + 960 ⋅ 0,18 ; 120 + 840 ⋅ 0,18 ; 120 + 720 ⋅ 0,18`;
`120 + 600 ⋅ r/100 ; 120 + 480 ⋅ r/100 ; 120 + 360 ⋅ r/100 ; 120 + 240 ⋅ r/100 ; 120 + 120 ⋅ r/100`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна 1200. Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют две арифметические прогрессии, в каждой из которых по 5 членов. Сумма этих слагаемых равна
`5 ⋅ 960 ⋅ 0,18 + 5 ⋅ 360 ⋅ r/100 = 864 + 18r`.
откуда `2064+18r=2316`; `r=14`.
Ответ: 14
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2031 , 2032 , 2033 , 2034 и 2035 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2036, 2037 , 2038 , 2039 и 2040 годов долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма платежей после полного его погашения равнялась 2316 тыс. рублей? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Пусть сумма кредита равна S тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`S; 0,9S; 0,8S; 0,7S; 0,6S`;
`0,5S; 0,4S; 0,3S; 0,2S; 0,1S; 0`.
В январе каждого года с 2031 по 2035 долг возрастает на 18% , а в январе каждого года с 2036 по 2040 на 14% , значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) в январе такова:
`S⋅1,18; 0,9S⋅1,18; 0,8S⋅1,18; 0,7S⋅1,18; 0,6S⋅1,18`;
`0,5S⋅1,14; 0,4S⋅1,14; 0,3S⋅1,14; 0,2S⋅1,14; 0,1S⋅1,14`.
Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:
`0,1S+S⋅0,18; 0,1S+0,9S⋅0,18; 0,1S+0,8S⋅0,18; 0,1S+0,7S⋅0,18; 0,1S+0,6S⋅0,18`;
`0,1S+0,5S⋅0,14; 0,1S+0,4S⋅0,14; 0,1S+0,3S⋅0,14; 0,1S+0,2S⋅0,14; 0,1S+0,1S⋅0,14`.
Первые слагаемые в каждом из этих платежей соответствуют погашению суммы, взятой в кредит. Их сумма равна S . Вторые слагаемые соответствуют выплатам по процентам. Они образуют две арифметические прогрессии, в каждой из которых по 5 членов. Сумма этих слагаемых равна
5⋅0,8S⋅0,18+5⋅0,3S⋅0,14=0,93S.
откуда 1,93S=2316 ; S=1200 .
Значит, сумма, взятая в кредит, равна 1200000 рублям.
Ответ: 1200000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 201300 рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами?
Решение:
Запишем последовательность сумм долга за каждый год по состоянию на июль и воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии.
Пусть сумма кредита составляет S=201300 рублей, а ежегодные платежи X рублей. По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`S; 6/5 S−X; (6/5)^2⋅S− 6/5 X−X; (6/5)^3⋅S−(6/5)^2⋅X−6/5 X−X`;
`(6/5)^4 ⋅S−(6/5)^3 ⋅X−(6/5)^2 ⋅X−6/5 X−X=0`,
откуда, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, получаем:
`X=((6/5)^4⋅(6/5−1))/((6/5)^4−1)⋅S= 6^4/(5(6^4−5^4)) ⋅S= 1296/3355 ⋅201300=77760`.
Значит, всего следует выплатить 4X=311 040 рублей.
Ответ: 311040
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 109740 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение:
Пусть сумма кредита составляет S рублей, а ежегодные платежи X рублей. По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`S; 6/5 S−X; (6/5)^2⋅S− 6/5 X−X; (6/5)^3⋅S−(6/5)^2⋅X−6/5 X−X`;
`(6/5)^4 ⋅S−(6/5)^3 ⋅X−(6/5)^2 ⋅X−6/5 X−X=0`,
откуда, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, получаем:
`X=((6/5)^4⋅(6/5−1))/((6/5)^4−1)⋅S= 6^4/(5(6^4−5^4)) ⋅S= 1296/3355⋅S`.
`4X−S=1829/3355⋅S=109740; S=201300.`
Значит, сумма, взятая в кредит, равна 201300 рублям.
Ответ: 201300
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами и общая сумма платежей после полного его погашения составит 311040 рублей?
Решение:
Пусть сумма кредита составляет S рублей, а ежегодные платежи `X=311040/4=77760` рублей. По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`S; 6/5 S−X; (6/5)^2⋅S− 6/5 X−X; (6/5)^3⋅S−(6/5)^2⋅X−6/5 X−X`;
`(6/5)^4 ⋅S−(6/5)^3 ⋅X−(6/5)^2 ⋅X−6/5 X−X=0`,
откуда, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, получаем:
`X=((6/5)^4⋅(6/5−1))/((6/5)^4−1)⋅S= 6^4/(5(6^4−5^4)) ⋅S= 1296/3355⋅S`.
`S=3355/1296⋅X=3355/1296⋅77760=201300.`
Значит, сумма, взятая в кредит, равна 201300 рублям.
Ответ: 201300
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 109740 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение:
Пусть сумма кредита составляет S рублей, а ежегодные платежи X рублей. По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля следующим образом:
`S; 6/5 S−X; (6/5)^2⋅S− 6/5 X−X; (6/5)^3⋅S−(6/5)^2⋅X−6/5 X−X`;
`(6/5)^4 ⋅S−(6/5)^3 ⋅X−(6/5)^2 ⋅X−6/5 X−X=0`,
откуда, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, получаем:
`X=((6/5)^4⋅(6/5−1))/((6/5)^4−1)⋅S= 6^4/(5(6^4−5^4)) ⋅S= 1296/3355⋅S`.
`S=3355/1296⋅X; 4X−S=1829/3355⋅S=109740; X=77760`
Значит, всего следует выплатить 4X=311040 рублей.
Ответ: 311040
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 тыс. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле 2031 2032 и 2033 годов долг остаётся равным 550 тыс. рублей;
— платежи в 2034 и 2035 годах равны;
— к июлю 2035 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за 5 лет. Ответ дайте в рублях.
Решение:
Описанные в задаче условия соответствуют отсрочке платежа по кредиту. В некоторых случаях банк предоставляет заёмщику возможность не вносить полностью очередной платёж, а оплачивать только начисленные по кредиту проценты. При этом долг перед банком не уменьшается.
Отсрочка платежа позволяет избежать многих проблем в случае, когда нет возможности внести очередной платёж в полном объёме. Однако надо понимать, что при этом общие выплаты по кредиту возрастают.
Пусть платежи в 2034 и 2035 годах составляют X рублей. В июле 2031, 2032 и 2033 годов долг не меняется, а ежегодные платежи составляют по 110 тыс. рублей.
В январе 2034 года долг (в тыс. рублей) равен 660 , а в июле — 660−X .
В январе 2035 года долг (в тыс. рублей) равен `792−6/5 X` , а в июле — ` 792−11/5 X` .
По условию, `792−11/5 X =0` , откуда X=360 .
Таким образом, первые три платежа составляют 110 тыс. рублей, а последние два — по 360 тыс. рублей. Значит, общая сумма платежей составляет 1050000 рублей.
Ответ: 1 050 000
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму S тыс. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле 2031 , 2032 и 2033 годов долг остаётся равным S тыс. рублей;
— платежи в 2034 и 2035 годах равны;
— к июлю 2035 года долг будет выплачен полностью.
Найдите S , если известно, что общая сумма платежей составит 1050 тыс. рублей.
Решение:
Пусть платежи в 2034 и 2035 годах составляют X рублей. В июле 2031, 2032 и 2033 годов долг не меняется, а ежегодные платежи составляют по `1/5 S` тыс. рублей.
В январе 2034 года долг (в тыс. рублей) равен `6/5 S` , а в июле — `6/5 S−X` .
В январе 2035 года долг (в тыс. рублей) равен `36/25 S− 6/5 X`,
а в июле — `36/25 S− 11/5 X` .
По условию, `36/25 S− 11/5 X=0` , откуда ` X= 36/55 S`.
Таким образом, первые три платежа составляют `1/5 S` тыс. рублей, а последние два — по `36/55 S` тыс. рублей. Значит, общая сумма платежей составляет `21/11 S=1050` тыс. рублей. Следовательно, S=550 .
Ответ: 550
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 тыс. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июле 2031, 2032 и 2033 годов долг остаётся равным 550 тыс. рублей;
— платежи в 2034 2034 и 2035 2035 годах равны;
— к июлю 2035 2035 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r , если известно, что общая сумма платежей составит 1050 тыс. рублей.
Решение:
Пусть ` k=1+r/100` платежи в 2034 и 2035 годах составляют X рублей. В июле 2031, 2032 и 2033 годов долг не меняется, а ежегодные платежи составляют по `(k−1)⋅550` тыс. рублей.
В январе 2034 года долг (в тыс. рублей) равен `550k` , а в июле — ` 550k−X`.
В январе 2035 года долг (в тыс. рублей) равен `550k^2 −kX`, а в июле — `550k^2 −(k+1)X`.
По условию, ` 550k^2 −(k+1)X=0` , откуда ` X=(550k^2)/(k+1)`.
Таким образом, первые три платежа составляют `(k−1)⋅550` тыс. рублей, а последние два — по `(550k^2)/(k+1)` тыс. рублей.
Значит, общая сумма платежей составляет `3(k−1)⋅550+2⋅ (550k^2)/(k+1)=1050` тыс. рублей. Следовательно,
`3(k^2 −1)⋅11+22k^2 =21(k+1); 55k^2 −21k−54=0`,
откуда (учитывая, что k>0 ) получаем k=1,2 , а значит, r=20 .
Ответ: 20
