Противолежащие углы параллелограмма равны. Так как стороны параллелограмма параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда больший угол равен
180° - 41° = 139°.

Ответ: 139

В параллелограмме противолежащие углы равны.
Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠BAD=∠ВСD  — меньший угол параллелограмма.
AD||BC (по определению параллелограмма), следовательно диагональ ВD можно рассматривать как секущую при параллельных прямых,
углы CВD и АDВ равны как накрест лежащие:
∠АDВ = ∠CВD
Рассмотрим треугольник АВD.
Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда:

∠ВАD = 180° - ∠АВD - ∠АDВ = 180° - ∠АВD - ∠CВD = 180° - 65° - 50° = 65°.

Ответ: 65

Обозначим точку пересечения стороны ВС биссектрисой как Е.
                      Е

Углы BEA и EAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC.
Поскольку AE — биссектриса угла A,
∠BAD = 2∠BAE = 2∠BEA = 2 * 21 = 42°.
Этот угол является острым углом параллелограмма.

Ответ: 42

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,
DO = ВD/2 = 22/2 = 11

Ответ: 11

Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны.
Так как сумма односторонних углов трапеции (углы при параллельных прямых и секущей) равна 180°, то больший угол в трапеции
180° - 66°  = 114°.

Ответ: 114

Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании.
Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны.
Значит, каждый из них равен
352° / 2 = 176°.
Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому меньший угол равен
180° − 176° = 4°.

Ответ: 4

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.
Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC=∠ВСD  — больший угол равнобедренной трапеции.
AD||BC (по определению трапеции), следовательно диагональ AС можно рассматривать как секущую,
углы CAD и BCA равны как накрест лежащие.

Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда:

∠ABC= 180 - ∠BCA - ∠BAC  = 180° - 17° - 23° = 140°.

Ответ: 140

∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 38° + 32° = 70°

Трапеция ABCD - равнобедренная (т.к. AB=CD), следовательно, по свойству равнобедренной трапеции,
∠BAD = ∠ADC= 70°

Рассмотрим треугольник ABD.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠BAD + ∠ABD + ∠BDA = 180°
∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠BDA
∠ABD = 180° - 70° - 38° = 72°

Ответ: 72

Поскольку трапеция является прямоугольной, меньший угол следует искать на другой боковой стороне (которая не образует прямых углов).
Так как сумма односторонних углов трапеции (углы при параллельных прямых и секущей) равна 180°, то больший угол в трапеции
180° - 139°  = 41°.

Ответ: 41

Введем обозначения, как показано на рисунке.
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°,
∠АВF  = ∠ВАF , следовательно, треугольник АВF равнобедренный и 
АF = ВF = 5
Проведем высоту СЕ из угла С.
В четырехугольнике ВСЕF противолежащие стороны параллельны, а углы F и Е прямые, значит это прямоугольник. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, значит
ВF = СЕ = 5, ВС = FЕ 
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть
∠ВАF = ∠CDE = 45°, ∠ECD = 180° - 90° - 45° = 45°, отсюда треугольник АВF = СDЕ по двум сторонам и углу между ними. Значит
АF = ЕD = 5
ВС = FЕ = АD - (АF + ЕD) = АD - 2АF = 15 - 2 * 5 = 5

Ответ: 5

Введем обозначения, как показано на рисунке.
Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов любого треугольника равна 180°, значит
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°,
∠АВF  = ∠ВАF , следовательно, треугольник АВF равнобедренный и 
АF = ВF = 5
Проведем высоту СЕ из угла С.
В четырехугольнике ВСЕF противолежащие стороны параллельны, а углы F и Е прямые, значит это прямоугольник. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, значит
ВF = СЕ = 5, ВС = FЕ = 3
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть
∠ВАF = ∠CDE = 45°, ∠ECD = 180° - 90° - 45° = 45°, отсюда треугольник АВF = СDЕ по двум сторонам и углу между ними. Значит
АF = ЕD = 5
АD = АF + ЕD + FЕ = 2АF + FЕ = 2 * 5 + 3 = 13

Ответ: 13

Проведём вторую высоту и введём обозначения, как показано на рисунке.
Рассмотрим треугольники ABF и ЕCD, они прямоугольные,
AB = CD, BF = CЕ, ∠А = ∠D (так как трапеция равнобедренная) следовательно ∠ЕСD = ∠АВF,  а значит эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда
AF = ЕD = 8.
Высоты BF и CЕ перпендикулярны AD, значит, они параллельны, BF равно CЕ, следовательно, ВСЕF — прямоугольник, значит
BC = FЕ = AЕ - AF = 15 - 8 = 7

Ответ: 7

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, значит любой треугольник, полученный внутри прямоугольника, равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Учитывая вышесказанное, найдем угол между диагоналями прямоугольника:
180° - 2 * 74° = 32° - острый угол
Ответ: 32

Длины диагоналей прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
AC = ВD = 2 ВО
АС = 2 * 15 = 30

Ответ: 30

Противолежащие углы ромба равны. Так как стороны ромба параллельны, любую из них можно рассматривать как секущую к двум другим параллельным друг другу сторонам, а значит сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Тогда больший угол равен

180° - 62° = 118°.

Ответ: 118

Сумма односторонних углов АBС и ВCD равна 180°, отсюда
∠ВCD = 180° - 72° = 108°.
Диагональ ромба AC является биссектрисой угла ВCD, поэтому делит его пополам
∠ACD = 108° / 2 = 54°.

Ответ: 54

2 способ для тех, кто забыл свойства диагонали ромба

По определению ромба все его стороны равны. Тогда треугольник АВС равнобедренный (ВС=ВА), а значит углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда
∠ВСА = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 72°) / 2 = 54°

ВС||АD, а СА - секущая, значит ∠ВСА = ∠САD = 54° как накрест лежащие.
Треугольник АDС так же равнобедренный (СD=АD), значит 
∠ACD = ∠САD = 54°

Ответ: 54

Острый угол ромба: 180° - 150° = 30°.
Площадь ромба равна S = a*h, с другой стороны S = a²sinα. Приравниваем площади, получаем:
a * h = a²sinα
h = a sinα = 34 * sin30° = 34 * 1/2 = 17

Ответ: 17

(6√2)² = 72
Ответ: 72

44:4=11 - сторона квадрата
11² = 121 - площадь
Ответ: 121

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+3) * 5 = 75

Значение длины второй стороны параллелограмма - лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 75

Площадь  параллелограмма
S=ah, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная к этой стороне.
h=S/a
Тогда первая высота:
h₁=32/8=4;
вторая высота:
h₂=32/16=2.

Ответ: 4

 
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому
S_ACВ= 104 / 2 = 52.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому
а)  S_CВE = ¹/₂ S_ACВ = 52 / 2 = 26
     Ответ: 26

б) следовательно,
    S_AECD = S_ABCD - S_CDE = 104 - 26 = 78.
    Ответ: 78

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
$S=\frac{13+23}2\ast5=90$
Ответ: 90

Введём обозначения, как показано на рисунке. Опустим к большему основанию 2 перпендикуляра - высоты.

Так как трапеция равнобедренная,
АF = DЕ = (АD - ВС) / 2 = (8 - 4) / 2 = 2

Треугольник АВF - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠АВF = 180° - 90° - 45° = 45°, а раз углы при основании получились равны, значит треугольник АВF равнобедренный и
ВF = АF = 2
$S_{АВСD}=\frac{ВС+АD}2\ast h=\frac{ВС+АD}2\ast ВF$
S_АВСD = (4 + 8) : 2 * 2 = 12

Ответ: 12

S = (d₁ * d₂)/2  = 21*6 / 2 = 63
Ответ: 63

S = аh = 12 * 2 * 4 = 96
Ответ: 96

36 : 4 = 9 - длина стороны
S = a²sinα = 9² * sin 30° = 81 * 1/2 = 40,5
Ответ: 40,5

Диагональ квадрата делит его на 2 прямоугольных треугольника, в которых является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с² = а² + b²
b = a ⇒ с² = 2а²
с = √2 * а
с = √2 * 11√2 = 11 * 2 = 22

Ответ: 22

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. По определению трапеции, AD||BC, а AC можно рассматривать как секущую при параллельных прямых. Тогда: ∠ BOC = ∠ AOD — вертикальные, ∠ DBC = ∠ BDA — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Тогда, по первому признаку подобия (по двум углам), данные треугольники подобны.
Из подобия треугольников:
$\frac{АО}{ОС}=\frac{АD}{ВС}=\frac{13}{6}$
значит, точка O делит отрезок AC в отношении 13:6, отсчитывая от вершины А. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 13+6=19 равных части, 13 из которых составляет АО, а остальное – ОС, то есть:
АО = 38/19 * 13 = 26

Ответ: 26
Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. MN — средняя линия, AM = MB, откуда по теореме Фалеса AK = KC.
AD > ВС, значит КN > МК (как средние линии треугольников)
Рассмотрим треугольник ACD. KN — средняя линия, следовательно,
KN = AD/2 = 19/2 =9,5.

Ответ: 9,5

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Она не зависит от высоты.
(11 + 19) / 2 = 15

Ответ: 15