Задачи на движение. Моторная лодка
Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда (x - 4) км/ч — скорость лодки против течения реки, а (x + 4) км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 3 часа меньше, чем против течения, составим уравнение:
$\frac{288}{x+4}=\frac{288}{x-4}-3\\\frac{288\;(x-4)-288(x+4)}{(x+4)(x-4)}=-3\\288x-1152-288x-1152=-3(x^2-4^2)\\3x^2-48-2304=0\\x=\sqrt{784}\\x=28$
Ответ: 28 км/ч
DD3FCE
Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда x - 3 км/ч — скорость лодки против течения реки, а x + 3 км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 2 часа меньше, чем против течения, составим уравнение:
$\frac{72}{x+3}=\frac{72}{x-3}-2\\\frac{72\;(x-3)-72(x+3)}{(x+3)(x-3)}=-2\\72x-216-72x-216=-2(x^2-3^2)\\2x^2-18-432=0\\x^2\;=225\;\\x=\sqrt{225}\\x=15$
Ответ: 15 км/ч
0C2857
Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда x - 3 км/ч — скорость лодки против течения реки, а x + 3 км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 4 часа меньше, чем против течения, составим уравнение:
$\frac{210}{x+3}=\frac{210}{x-3}-4\\\frac{210\;(x-3)-210(x+3)}{(x+3)(x-3)}=-4\\210x-630-210x-630=-4(x^2-3^2)\\4x^2-36-1260=0\\x^2\;=324\;\\x=\sqrt{324}\\x=18$
Ответ: 18 км/ч
8A0587
Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда x - 4 км/ч — скорость лодки против течения реки, а x + 4 км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 4 часа меньше, чем против течения, составим уравнение:
$\frac{192}{x+4}=\frac{192}{x-4}-4\\\frac{192\;(x-4)-192(x+4)}{(x+4)(x-4)}=-4\\192x-768-192x-768=-4(x^2-4^2)\\4x^2-64-1536=0\\x^2\;=400\;\\x=\sqrt{400}\\x=20$
Ответ: 20 км/ч
D36026
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда x - 2 км/ч — скорость лодки против течения реки, а x + 2 км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 3 часа меньше, чем против течения, составим уравнение:
$\frac{297}{x+2}=\frac{297}{x-2}-3\\\frac{297\;(x-2)-297(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-3\\297x-594-297x-594=-3(x^2-2^2)\\3x^2-12-1188=0\\x^2\;=400\;\\x=\sqrt{400}\\x=20$
Ответ: 20 км/ч
40EE48
Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость моторной лодки против течения, тогда х+8 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда лодка шла против течения и прибавляет скорость, когда лодка плывет по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь против течения х 77
х77 Путь по течению
(обратно)х+8 77
х+877 Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{77}x=\frac{77}{x+8}+2\\2=\frac{77}x-\frac{77}{x+8}\\2=\frac{77x+616-77x}{х(x+8)}\\616=2x^2+16x\\2x^2+16x-616=0\\x^2+8x-308=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-8^2+4\ast308=1296\\x1=\frac{-8+36}2=14\\x2=\frac{-8-36}2=-21$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 14+4=18 км/ч
Ответ: 18 км/ч
930157
Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость моторной лодки против течения, тогда х+10 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда лодка шла против течения и прибавляет скорость, когда лодка плывет по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь против течения х 208
х208 Путь по течению
(обратно)х+10 208
х+10208
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{208}x=\frac{208}{x+10}+5\\5=\frac{208}x-\frac{208}{x+10}\\5=\frac{208x+2080-208x}{х(x+10)}\\2080=5x^2+50x\\5x^2+50x-2080=0\\x^2+10x-416=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-10^2+4\ast416=1764\\x1=\frac{-10+42}2=16\\x2=\frac{-10-42}2=-26$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 16+5=21 км/ч
Ответ: 21 км/ч
BC7ABD
Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость моторной лодки против течения, тогда х+10 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда лодка шла против течения и прибавляет скорость, когда лодка плывет по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь против течения х 132
х132 Путь по течению
(обратно)х+10 132
х+10132
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{132}x=\frac{132}{x+10}+5\\5=\frac{132}x-\frac{132}{x+10}\\5=\frac{132x+1320-132x}{х(x+10)}\\1320=5x^2+50x\\5x^2+50x-1320=0\\x^2+10x-264=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-10^2+4\ast264=1156\\x1=\frac{-10+34}2=12\\x2=\frac{-10-34}2=-22$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 12+5=17 км/ч
Ответ: 17 км/ч
46E689
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость моторной лодки против течения, тогда х+2 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда лодка шла против течения и прибавляет скорость, когда лодка плывет по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь против течения х 255
х255 Путь по течению
(обратно)х+2 255
х+2255
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{255}x=\frac{255}{x+2}+2\\2=\frac{255}x-\frac{255}{x+2}\\2=\frac{255x+510-255x}{х(x+2)}\\510=2x^2+4x\\2x^2+4x-510=0\\x^2+2x-255=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-2^2+4\ast255=1024\\x1=\frac{-2+32}2=15\\x2=\frac{-2-32}2=-17$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 15+1=16 км/ч
Ответ: 16 км/ч
2C2BF0
Моторная лодка прошла против течения реки 221 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость моторной лодки против течения, тогда х+8 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда лодка шла против течения и прибавляет скорость, когда лодка плывет по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь против течения х 221
х221 Путь по течению
(обратно)х+8 221
х+8221
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{221}x=\frac{221}{x+8}+2\\2=\frac{221}x-\frac{221}{x+8}\\2=\frac{221x+1768-221x}{х(x+8)}\\1768=2x^2+16x\\2x^2+16x-1768=0\\x^2+8x-884=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-8^2+4\ast884=3600\\x1=\frac{-8+60}2=26\\x2=\frac{-8-60}2=-34$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 26+4=30 км/ч
Ответ: 30 км/ч
8C669D
Теплоход
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость теплохода против течения, тогда х+8 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда теплоход шел против течения и прибавляет скорость, когда он шел по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь по течению
(обратно)х+8 280
х+8280 Путь против течения х 280
х280
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{280}x+\frac{280}{x+8}=39-15\\24=\frac{280}x+\frac{280}{x+8}\\24=\frac{280x+2240+280x}{х(x+8)}\\2240+560x=24x^2+192x\\24x^2-368x-2240=0\\3x^2-46x-280=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-46^2+4\ast3\ast280=5476\\x1=\frac{46+74}{2\ast3}=20\\x2=\frac{46-74}{2\ast3}=-\frac{28}6$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 20+4=24 км/ч
Ответ: 24 км/ч
B8D08D
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость теплохода против течения, тогда х+10 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда теплоход шел против течения и прибавляет скорость, когда он шел по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь по течению
(обратно)х+10 132
х+10132 Путь против течения х 132
х132
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{132}x+\frac{132}{x+10}=32-21\\11=\frac{132}x+\frac{132}{x+10}\\11=\frac{132x+1320+132x}{х(x+10)}\\1320+264x=11x^2+110x\\11x^2-154x-1320=0\\x^2-14x-120=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-14^2+4\ast120=676\\x1=\frac{14+26}2=20\\x2=\frac{14-26}2=-6$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 20+5=25 км/ч
Ответ: 25 км/ч
5C1BD4
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость теплохода против течения, тогда х+8 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда теплоход шел против течения и прибавляет скорость, когда он шел по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь по течению
(обратно)х+8 210
х+8210 Путь против течения х 210
х210
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{210}x+\frac{210}{x+8}=27-9\\18=\frac{210}x+\frac{210}{x+8}\\18=\frac{210x+1680+210x}{х(x+8)}\\1680+420x=18x^2+144x\\18x^2-276x-1680=0\\3x^2-46x-280=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-46^2+4\ast3\ast280=5476\\x1=\frac{46+74}{2\ast3}=20\\x2=\frac{46-74}{2\ast3}=-\frac{28}6$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 20+4=24 км/ч
Ответ: 24 км/ч
730F58
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость теплохода против течения, тогда х+10 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда теплоход шел против течения и прибавляет скорость, когда он шел по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь по течению
(обратно)х+10 216
х+10216 Путь против течения х 216
х216
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{216}x+\frac{216}{x+10}=23-5\\18=\frac{216}x+\frac{216}{x+10}\\18=\frac{216x+2160+216x}{х(x+10)}\\2160+432x=18x^2+180x\\18x^2-252x-2160=0\\x^2-14x-120=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-14^2+4\ast120=676\\x1=\frac{14+26}2=20\\x2=\frac{14-26}2=-6$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 20+5=25 км/ч
Ответ: 25 км/ч
4295BD
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.
Решение:
Возьмем за х км/ч скорость теплохода против течения, тогда х+10 км/ч, скорость по течению, так как надо учесть скорость течения два раза, которая влияла на уменьшение скорости, когда теплоход шел против течения и прибавляет скорость, когда он шел по течению. Составим таблицу по условиям задачи.
Скорость км/ч Время, ч Расстояние, км Путь по течению
(обратно)х+10 80
х+1080 Путь против течения х 80
х80
Составляем уравнение и решаем его:
$\frac{80}x+\frac{80}{x+10}=35-23\\12=\frac{80}x+\frac{80}{x+10}\\12=\frac{80x+800+80x}{х(x+10)}\\800+160x=12x^2+120x\\12x^2-40x-800=0\\3x^2-10x-200=0\\Решаем\;уравнение,\;при\;этом:\\D=b^2-4ac\\x1,2=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\D=-10^2+4\ast3\ast200=2500\\x1=\frac{10+50}{2\ast3}=10\\x2=\frac{10-50}{2\ast3}=-\frac{40}6$
Берем положительный корень и прибавляем к нему скорость течения, получаем 10+5=15 км/ч
Ответ: 15 км/ч
E75DAB
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость течения воды, тогда 26 - x ч км/ч — скорость теплохода против течения реки, а 26 + x км/ч — скорость лодки по течению. При этом учитываем, что теплоход потратил на путь туда и обратно 18 часов, 5 из которых стоял.
Составим уравнение:
$\frac{165}{26+x}+\frac{165}{26-x}=18-5\\\frac{165\;(26-x)+165(26+x)}{(26+x)(26-x)}=13\\4290-165x-4290+165x=13(26^2-x^2)\\8788-13x^2=8580\\13x^2\;=208\\x=\sqrt{16}\\x=4$
Ответ: 4 км/ч
AE6B73
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость течения воды, тогда 34 - x ч км/ч — скорость теплохода против течения реки, а 34 + x км/ч — скорость лодки по течению. При этом учитываем, что теплоход потратил на путь туда и обратно 36 часов, 19 из которых стоял.
Составим уравнение:
$\frac{285}{34+x}+\frac{285}{34-x}=36-19\\\frac{285\;(34-x)+285(34+x)}{(34+x)(34-x)}=17\\9690-285x+9690+285x=17(34^2-x^2)\\19652-19380=17x^2\\17x^2\;=272\\x=\sqrt{16}\\x=4$
Ответ: 4 км/ч
4EC63B
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость течения воды, тогда 15 - x ч км/ч — скорость теплохода против течения реки, а 15 + x км/ч — скорость лодки по течению. При этом учитываем, что теплоход потратил на путь туда и обратно 32 часов, 11 из которых стоял.
Составим уравнение:
$\frac{140}{15+x}+\frac{140}{15-x}=32-11\\\frac{140\;(15-x)+140(15+x)}{(15+x)(15-x)}=21\\2100-140x+2100+140x=21(15^2-x^2)\\4725-4200=21x^2\\21x^2\;=525\\x=\sqrt{25}\\x=5$
Ответ: 5 км/ч
3FBD07
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость течения воды, тогда 19 - x ч км/ч — скорость теплохода против течения реки, а 19 + x км/ч — скорость лодки по течению. При этом учитываем, что теплоход потратил на путь туда и обратно 20 часов, 1 из которых стоял.
Составим уравнение:
$\frac{176}{19+x}+\frac{176}{19-x}=20-1\\\frac{176\;(19-x)+176(19+x)}{(19+x)(19-x)}=19\\3344-176x+3344+176x=19(19^2-x^2)\\6859-6688=19x^2\\x^2\;=9\\x=\sqrt9\\x=3$
Ответ: 3 км/ч
3006CF
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость течения воды, тогда 24 - x ч км/ч — скорость теплохода против течения реки, а 24 + x км/ч — скорость лодки по течению. При этом учитываем, что теплоход потратил на путь туда и обратно 14 часов, 8 из которых стоял.
Составим уравнение:
$\frac{70}{24+x}+\frac{70}{24-x}=14-8\\\frac{70\;(24-x)+70(24+x)}{(24+x)(24-x)}=6\\1680-70x+1680+70x=6(24^2-x^2)\\6x^2\;=3456-3360\\x^2\;=16\\x=\sqrt{16}\\x=4$
Ответ: 4 км/ч
CEBFAE
