Змейка (из старого банка ФИПИ)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 10 + 10 + 9 + 9 + 8 + ... + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены два раза, первый член a₁=10, а разность d=1.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 120

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n=\frac{120+1}2\ast120=121\ast60=7260$

Каждый член прогрессии должен быть учтен дважды, следовательно, длина змейки S=2S_n=14520.

Ответ: 14520

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 120 * 121 = 14520

Ответ: 14520

0BECFF

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 190

2S_n=(a₁+1)*n=191*190=36290

Ответ: 36290

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 190 * 191 = 36290

Ответ: 36290

6A7CF2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 160.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 160

2S_n=(a₁+1)*n=161*160=25760

Ответ: 25760

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 160 * 161 = 25760

Ответ: 25760

212309

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 100.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 100

2S_n=(a₁+1)*n=101*100=10100

Ответ: 10100

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 100 * 101 = 10100

Ответ: 10100

90FA7D

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 170

2S_n=(a₁+1)*n=171*170=29070

Ответ: 29070

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 170 * 171 = 29070

Ответ: 29070

0FB2CE

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 130.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 130

2S_n=(a₁+1)*n=131*130=17030

Ответ: 17030

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 130 * 131 = 17030

Ответ: 17030

D88BCE

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 150.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 150

2S_n=(a₁+1)*n=151*150=22650

Ответ: 22650

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 150 * 151 = 22650

Ответ: 22650

97C3C9

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 180.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 180

2S_n=(a₁+1)*n=181*180=32580

Ответ: 32580

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 180 * 181 = 32580

Ответ: 32580

D467E3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 140.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 140

2S_n=(a₁+1)*n=141*140=19740

Ответ: 19740

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 140 * 141 = 19740

Ответ: 19740

C8FD64

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 110.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 110

2S_n=(a₁+1)*n=111*110=12210

Ответ: 12210

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 110 * 111 = 12210

Ответ: 12210

64C23B