Ряды в амфитеатре

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=25 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₈, имеем:
a₈=a₁+d(8-1)=25+3*7=46

Ответ: 46

Другой вариант решения.

Такую задачу можно решить и на пальцах, не зная формулы (на ОГЭ ведь нужен только ответ).
1 ряд - 25, 2 - 28, 3 - 31, 4 - 34, 5 - 37, 6 - 40, 7 - 43, 8 - 46.

Ответ: 46

1F7343

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=20 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₀, имеем:
a₁₀=a₁+d(10-1)=20+3*9=47
Ответ: 47

5F1149

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=16, d=3
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₁=16 + 3(11-1)=46
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{11}=\frac{16+46}2\ast11=31\ast11=341$

Ответ: 341

Решение на пальцах 
1 ряд - 16, 2 - 19, 3 - 22, 4 - 25, 5 - 28, 6 - 31, 7 - 34, 8 - 37, 9 - 40, 10 - 43, 11 - 46.

(19+31) + (22+28) + (46+34) + (37+43) + 40 + 25 + 16 = 341

Ответ: 341

656145

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=17, d=3
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₁=17 + 3(11-1)=47
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{11}=\frac{17+47}2\ast11=31\ast11=352$

Ответ: 352

28DDF4

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

a₁=21, d=2
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₁=21 + 2(11-1)=41

Ответ: 41

6EAFF6

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в тринадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

a₁=21, d=2
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₃=19 + 2*(13-1)=43

Ответ: 43

DDFA05

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с пятым членом a₅=27 и восьмым a₈=36, 
a_n =a₁ + d(n-1)  ⇒ разность равна $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$
можно заменить a₁ на a₅, но тогда и единицу в знаменателе не забываем заменить на 5.
$d=\frac{a_8-a_5}{8-5}=\frac{36-27}3=3$

a_n =a₁ + d(n-1)  ⇒ a₁ = a_n - d(n-1)
a₁ = a₅ - d (n - 1) = 27 - 3 * 4 = 15.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 14-й член прогрессии:

a₁₄= 15 + 3 * (14 - 1) = 54.

Ответ: 54

A55400

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=19, d=3
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₀=19 + 3(10-1)=46
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{10}=\frac{19+46}2\ast10=325$

Ответ: 325

682F09

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

(35-23):(8-4)=3 - на 3 места больше в каждом следующем ряду
За 8-м рядом еще 8 рядов.
35 + 3 * 8 = 59 мест в последнем ряду
Ответ: 59

3FE074

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=17, d=2
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₃=17 + 2(13-1)=41
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{13}=\frac{17+41}2\ast13=377$

Ответ: 377

4C08B1

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=20 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₀, имеем:
a₁₀=a₁+d(10-1)=20+2*9=38

Ответ: 38

Другой вариант решения.

Такую задачу можно решить и на пальцах, не зная формулы (на ОГЭ ведь нужен только ответ).
1 ряд - 20, 2 - 22, 3 - 24, 4 - 26, 5 - 28, 6 - 30, 7 - 32, 8 - 34,   9 - 36,   10 - 38  

Ответ: 38

94AFB9

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=16 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₄, имеем:
a₁₄=a₁+d(14-1)=16+2*13=42
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{14}=\frac{16+42}2\ast14=406$

Ответ: 406

Другой вариант решения.

Такую задачу можно решить и на пальцах, не зная формулы (на ОГЭ ведь нужен только ответ).
1 ряд - 16, 2 - 18, 3 - 20, 4 - 22, 5 - 24, 6 - 26, 7 - 28, 8 - 30, 9 - 32,  10 - 34,  11 - 36,  12 - 38,  13 - 40,  14 - 42.
Все сложим и получим 406

Ответ: 406

6E4FB2

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=24 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₉, имеем:
a₉=a₁+d(9-1)=24+3*8=48

Ответ: 48

Другой вариант решения.

Такую задачу можно решить и на пальцах, не зная формулы (на ОГЭ ведь нужен только ответ).
1 ряд - 24, 2 - 27, 3 - 30, 4 - 33, 5 - 36, 6 - 39, 7 - 42, 8 - 45, 9 - 48

Ответ: 48

B1E01A

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 23 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=22 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₀, имеем:
a₁₀=a₁+d(10-1)=23 + 3*(10-1)=50

Ответ: 50

DA517E

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=22 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₂, имеем:
a₁₂=a₁+d(12-1)=22 + 2*(12-1)=44

Ответ: 44

171C1C

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места, тогда 11-7=4 и (34-26):4=2 места прибавляется с каждым рядом), тогда 23-11=12 рядов еще с 11 ряда по 23.

34 + 2*12=58

или можно по формуле (находим 13 элемент с 11 ряда, по 23, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 11 и 23 рядом, принимая при этом 11 ряд за 1 элемент, а 23 за 13)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₃, имеем:
a₁₃=a₁+d(13-1)=34 + 2*(13-1)=58

Ответ: 58

A2B716

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=18 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₁, имеем:
a₁₁=a₁+d(11-1)=18 + 3*(11-1)=48

48 мест в 11 ряду, надой найти среднее значение для все х рядов и умножить на количество рядов, тогда (48+18)/2*11=363

Ответ: 363

B2E2D7

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=18 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a9, имеем:
a₉=a₁+d(9-1)=18 + 2*(9-1)=34

Ответ: 34

4A0C5D

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 26 мест, а в седьмом ряду 38 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В третьем ряду 26 мест, а в 7 ряду 38 мест, тогда 7-3=4 и (38-26):4=3 места прибавляется с каждым рядом), тогда 15-3=12 рядов еще с 3 ряда по 15.

26 + 3*12=62

или можно по формуле (находим 13 элемент с 3 ряда, по 15, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 3 и 15 рядом, принимая при этом 3 ряд за 1 элемент, а 15 за 13)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₃, имеем:
a₁₃=a₁+d(13-1)=26 + 3*(13-1)=62

Ответ: 62

799955

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=18 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a12, имеем:
a₁₂=a₁+d(12-1)=18 + 2*(12-1)=40 мест в 12 ряду.

В среднем получается (18+40)/2=29 мест в каждом ряду. 29*12=348 мест

Ответ: 348

EDC956

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=22 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a9, имеем:
a₁₁=a₁+d(11-1)=22 + 3*(11-1)=52

Ответ: 52

689DAF

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Найдем число месте в 13 ряду. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=18 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a13, имеем:
a₁₃=a₁+d(13-1)=18 + 2*(13-1)=42

При этом в среднем (42+18)/2=30 мест в каждом ряду. 30*13=390 мест

Ответ: 390

7E8F96

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 26 мест, а в восьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В 6 ряду 26 мест, а в 8 ряду 30 мест, тогда 8-6=2 и (30-26):2=2 места прибавляется с каждым рядом, тогда 18-6=12 рядов еще с 6 ряда по 18.

26 + 2*12=50

или можно по формуле (находим 13 элемент с 3 ряда, по 18, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 3 и 18 рядом, принимая при этом 6 ряд за 1 элемент, а 18 за 13)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₃, имеем:
a₁₃=a₁+d(13-1)=26 + 2*(13-1)=50

Ответ: 50

E1CD90

В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В 3 ряду 25 мест, а в 7 ряду 37 мест, тогда 7-3=4 и (37-25):4=3 места прибавляется с каждым рядом, тогда 19-3=16 рядов еще с 3 ряда по 19.

25 + 3*16=73

или можно по формуле (находим 17 элемент с 3 ряда, по 19, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 3 и 19 рядом, принимая при этом 3 ряд за 1 элемент, а 19 за 17)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₇, имеем:
a₁₇=a₁+d(17-1)=25 + 3*(17-1)=73

Ответ: 73

ECE598

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В 5 ряду 27 мест, а в 7 ряду 31 место, тогда 7-5=2 и (31-27):2=2 места прибавляется с каждым рядом, тогда 23-5=18 рядов еще с 5 ряда по 23.

27 + 2*18=63

или можно по формуле (находим 19 элемент с 5 ряда, по 23, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 5 и 23 рядом, принимая при этом 5 ряд за 1 элемент, а 23 за 19)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₉, имеем:
a₁₉=a₁+d(19-1)=27 + 2*(19-1)=63

Ответ: 63

28E6E3

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 места, а в шестом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В 3 ряду 24 места, а в 6 ряду 33 места, тогда 6-3=3 и (33-24):3=3 места прибавляется с каждым рядом, тогда 18-3=16 рядов еще с 3 ряда по 18.

24 + 3*16=72

или можно по формуле (находим 17 элемент с 3 ряда, по 18, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 3 и 18 рядом, принимая при этом 3 ряд за 1 элемент, а 18 за 17)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₇, имеем:
a₁₇=a₁+d(17-1)=24 + 3*(17-1)=72

Ответ: 72

60D7EA

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 36 мест, а в девятом ряду 42 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В 7 ряду 36 мест, а в 9 ряду 42 места, тогда 9-7=2 и (42-36):2=3 места прибавляется с каждым рядом, тогда 15-7=8 рядов еще с 7 ряда по 15.

36 + 3*8=60

или можно по формуле (находим 9 элемент с 7 ряда, по 15, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 7 и 15 ряд, принимая при этом 7 ряд за 1 элемент, а 15 за 9)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a9, имеем:
a₉=a₁+d(n-1)=36 + 3*(9-1)=60

Ответ: 60

4BCB6B

В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

В 5 ряду 25 мест, а в 9 ряду 33 места, тогда 9-5=4 и (33-25):4=2 места прибавляется с каждым рядом, тогда 21-5=16 рядов еще с 5 ряда по 21.

25 + 2*16=57

или можно по формуле (находим 17 элемент с 5 ряда, по 21, так как именно столько элементов если считать включительно находится между 5 и 21 рядом, принимая при этом 5 ряд за 1 элемент, а 21 за 17)

a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a17, имеем:
a₁₇=a₁+d(n-1)=25 + 2*(17-1)=57

Ответ: 57

901C60

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Найдем число месте в 12 ряду. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=15 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a12, имеем:
a₁₂=a₁+d(12-1)=15 + 3*(12-1)=48

При этом в среднем (48+15)/2=31.5 место в каждом ряду. 31,5*12=378 мест

Ответ: 378

8B9D31

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Найдем число месте в 12 ряду. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=20 и разностью d=2. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a12, имеем:
a₁₂=a₁+d(12-1)=20 + 2*(12-1)=42

При этом в среднем (42+20)/2=31 место в каждом ряду. 31*12=372 мест

Ответ: 372

EF268C