Задание №1533

Вблизи земной поверхности ускорение свободного падения равно 9,8 $м/с^{2}$. Каково будет значение этого ускорения на высотах 100, 2000 и 6000 км?

Решение

Дано:
g = 9,8 $м/с^{2}$;
$h_{1} = 100$ км;
$h_{2} = 2000$ км;
$h_{3} = 6000$ км;
R = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$g_{1}$ − ?
$g_{2}$ − ?
$g_{3}$ − ?
СИ:
$h_{1} = 0,1 * 10^{6}$ м;
$h_{2} = 2 * 10^{6}$ м;
$h_{3} = 6 * 10^{6}$ м;
$R = 6,4 * 10^{6}$ м.
Решение:
$g = G * \frac{M}{(R + h)^{2}}$;
$g_{1} = \frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{(6,4 * 10^{6} + 0,1 * 10^{6})^{2}} = 9,5 м/с^{2}$;
$g_{2} = \frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{(6,4 * 10^{6} + 2 * 10^{6})^{2}} = 5,7 м/с^{2}$;
$g_{3} = \frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{(6,4 * 10^{6} + 6 * 10^{6})^{2}} = 2,6 м/с^{2}$.
Ответ: 9,5 $м/с^{2}$; 5,7 $м/с^{2}$; 2,6 $м/с^{2}$.

Задание №1534

Рассчитайте ускорение свободного падения тела:
а) на расстоянии, равном радиусу Земли;
б) на высоте 25 600 км над поверхностью Земли.
Масса Земли $6 * 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Решение

а) Дано:
h = R;
R = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
g − ?
СИ:
$h = 25,6 * 10^{6}$ м.
$R = 6,4 * 10^{6}$ м.
Решение:
$g = G * \frac{M}{(R + h)^{2}} = G * \frac{M}{(h + h)^{2}} = G * \frac{M}{(2h)^{2}}$;
$g = \frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{(2 * 6,4 * 10^{6})^{2}} = 2,5м/с^{2}$.
Ответ: 2,5 $м/с^{2}$.

б) Дано:
h = 25600 км;
R = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} м^{3}кг^{-1} c^{-2}$.
Найти:
g − ?
СИ:
$h = 25,6 * 10^{6}$ м.
$R = 6,4 * 10^{6}$ м.
Решение:
$g = G * \frac{M}{(R + h)^{2}}$;
$g = \frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{(6,4 * 10^{6} + 25,6 * 10^{6})^{2}} = 0,4м/с^{2}$.
Ответ: 0,4 $м/с^{2}$.

Задание №1535

По данным, приведённым в таблице, вычислите ускорение свободного падения на поверхности планет.

Луна Нептун Юпитер Уран
Масса планеты, кг $7,35 * 10^{22}$ $1,04 * 10^{26}$ $1,9 * 10^{27}$ $8,69 * 10^{25}$
Средний радиус планеты, м $1,74 * 10^{6}$ $2,22 * 10^{7}$ $7,13 * 10^{7}$ $2,38 * 10^{7}$
Решение 1
Луна
Дано:
R = $1,74 * 10^{6}$ м;
M = $7,35 * 10^{22}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
g − ?
Решение:
$g = G * \frac{M}{R^{2}}$;
$g = \frac{6,67 * 10^{-11} * 7,35 * 10^{22}}{(1,74 * 10^{6})^{2}} = 1,6м/с^{2}$.
Ответ: 1,6 $м/с^{2}$.

Решение 2
Нептун
Дано:
R = $2,22 * 10^{7}$ м;
M = $1,04 * 10^{26}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} м^{3}кг^{-1} c^{-2}$.
Найти:
g − ?
Решение:
$g = G * \frac{M}{R^{2}}$;
$g = \frac{6,67 * 10^{-11} * 1,04 * 10^{26}}{(2,22 * 10^{7})^{2}} = 14,1м/с^{2}$.
Ответ: 14,1 $м/с^{2}$.

Решение 3
Юпитер
Дано:
R = $7,13 * 10^{7}$ м;
M = $1,9 * 10^{27}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} м^{3}кг^{-1} c^{-2}$.
Найти:
g − ?
Решение:
$g = G * \frac{M}{R^{2}}$;
$g = \frac{6,67 * 10^{-11} * 1,9 * 10^{27}}{(7,13 * 10^{7})^{2}} = 24,9м/с^{2}$.
Ответ: 24,9 $м/с^{2}$.

Решение 4
Уран
Дано:
R = $2,38 * 10^{7}$ м;
M = $8,69 * 10^{25}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} м^{3}кг^{-1} c^{-2}$.
Найти:
g − ?
Решение:
$g = G * \frac{M}{R^{2}}$;
$g = \frac{6,67 * 10^{-11} * 8,69 * 10^{25}}{(2,38 * 10^{7})^{2}} = 10,2м/с^{2}$.
Ответ: 10,2 $м/с^{2}$.

Задание №1536

Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса − 0,11 массы Земли. Зная ускорение свободного падения на Земле, найдите ускорение свободного падения на Марсе.

Решение

Дано:
$R_{м} = 0,53 R_{з}$;
$M_{м} = 0,11 M_{з}$;
$g_{з} = 9,8 м/с^{2}$.
Найти:
$g_{м}$ − ?
СИ:
$R_{з} = 6,4 * 10^{6}$ м.
Решение:
$g_{м} = G * \frac{M_{м}}{(R_{м})^{2}} = G * \frac{0,11 M_{з}}{(0,53 R_{з})^{2}} = \frac{0,11}{0,53^{2}} * \frac{G * M_{з}}{R_{з}^{2}} = \frac{0,11}{0,53^{2}} * g_{з}$;
$g_{м} = \frac{0,11}{0,53^{2}} * 9,8 = 3,8м/с^{2}$.
Ответ: 3,8 $м/с^{2}$.

Задание №1537

Ускорение свободного падения на планете Меркурий 3,72 $м/с^{2}$, а средний радиус планеты 2420 км. Рассчитайте массу Меркурия.

Решение

Дано:
R = 2420 км;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$;
g = 3,72 $м/с^{2}$.
Найти:
M − ?
СИ:
$R = 2,42 * 10^{6}$ м.
Решение:
$g = G * \frac{M}{R^{2}}$;
$M = \frac{gR^{2}}{G}$;
$M = \frac{3,72 * (2,42 * 10^{6})^{2}}{6,67 * 10^{-11}} = 3,27 * 10^{23}$ кг.
Ответ: $3,27 * 10^{23}$ кг.

Задание №1538

На какую высоту от поверхности Земли поднялся космический корабль, если приборы отметили уменьшение ускорения свободного падения до 2,45 $м/с^{2}$?

Решение

Дано:
R = 6400 км;
g = 2,45 $м/с^{2}$;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
h − ?
СИ:
$R = 6,4 * 10^{6}$ м.
Решение:
$g = G * \frac{M}{(R + h)^{2}}$;
$g * (R + h)^{2}= GM$;
$(R + h)^{2} = \frac{GM}{g}$;
$R + h = \sqrt{\frac{GM}{g}}$;
$h = \sqrt{\frac{GM}{g}} - R$;
$h = \sqrt{\frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{2,45}} - 6,4 * 10^{6} = \sqrt{\frac{40,02 * 10^{13}}{2,45}} - 6,4 * 10^{6} = \sqrt{163,35 * 10^{12}} - 6,4 * 10^{6} = 12,8 *10^{6} - 6,4 * 10^{6} = 6,4 * 10^{6}$ м = 6400 км.
Ответ: 6400 км.

Задание №1539

Камень свободно падал до дна ущелья в течение 5 с. Рассчитайте глубину ущелья.

Решение

Дано:
g ≈ 10 $м/с^{2}$;
t = 5 c;
Найти:
h − ?
Решение:
Так как $v_{0} = 0$, то:
$h = \frac {gt^{2}}{2}$;
$h = \frac {10 * 5^{2}}{2} = 125$ м.
Ответ: 125 м.

Задание №1540

Определите высоту, с которой упало тело, если в момент удара о землю его скорость равна 25 м/с. Сколько времени падало тело?

Решение

Дано:
g ≈ 10 $м/с^{2}$;
v = 25 м/с.
Найти:
h − ?
Решение:
$v = v_{0} + gt$;
Так как тело падает без начальной скорости, то $v_{0} = 0$;
v = gt;
$t = \frac{v}{g}$;
$t = \frac{25}{10} = 2,5$ с;
$h = \frac {gt^{2}}{2}$;
$h = \frac {10 * 2,5^{2}}{2} = 31,25$ м.
Ответ: 2,5 с; 31,25 м.

Задание №1541

Тело свободно падает с высоты 40 м. Чему равна его скорость в момент удара о землю? Найдите время падения тела.

Решение

Дано:
h = 40 м;
g ≈ 10 $м/с^{2}$.
Найти:
v − ?
t − ?
Решение:
Так как тело падает без начальной скорости, то $v_{0} = 0$;
$h = \frac {gt^{2}}{2}$;
$2h =gt^{2}$;
$t^{2} = \frac{2h}{g}$;
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$;
$t = \sqrt{\frac{2 * 40}{10}} = 2,8$ c;
v = gt;
v = 10 * 2,8 = 28 м.
Ответ: 2,8 с; 28 м.

Задание №1542

Стрела выпущена вертикально вверх со скоростью 50 м/с. Через 3 с она попадает в цель. На какой высоте находилась цель и чему была равна скорость стрелы в момент попадания её в цель?

Решение

Дано:
$v_{0} = 50$ м/с;
t = 3 c;
g ≈ 10 $м/с^{2}$.
Найти:
v − ?
h − ?
Решение:
Уравнение скорости:
$v = v_{0} - gt$;
v = 50 − 10 * 3 = 20 м/с;
$h = \frac{v_{0}^{2} - v^{2}}{2g}$;
$h = \frac{50^{2} - 20^{2}}{2 * 10} = 105$ м.
Ответ: 20 м/с; 105 м.

Задание №1543

Испытатель парашюта пролетел, не раскрывая парашюта, 9,8 км за 150 с. Определите, на сколько секунд сопротивление воздуха увеличило время падения.

Решение

Дано:
h = 9,8 км;
$t_{1} = 150$ c;
g = 9,8 $м/с^{2}$.
Найти:
Δt − ?
СИ:
h = 9800 м.
Решение:
$S = v_{0}t + \frac {gt^{2}}{2}$
Так как тело падает без начальной скорости, то $v_{0} = 0$;
Найдем время падения без учета сопротивления воздуха:
$S = \frac {gt_{2}^{2}}{2}$;
$2S = gt_{2}^{2}$;
$t_{2}^{2} = \frac{2S}{g}$;
$t_{2}= \sqrt{\frac{2S}{g}}$;
$t_{2} = \sqrt{\frac{2 * 9800}{9,8}} = 44,7$;
$Δt = t_{1} - t_{2} = 150 - 44,7 = 105,3$ с.

Ответ: 105,3 с.