Ответы к странице 162

636. При каком значении n:
1) число 6 является корнем уравнения $x^2 - nx + 3 = 0$;
2) число 0,5 является корнем уравнения $nx^2 - 8x + 10 = 0$?

Решение:

1) $x^2 - nx + 3 = 0$
x = 6
$6^2 - 6n + 3 = 0$
36 − 6n + 3 = 0
39 − 6n = 0
−6n = −39
$n = \frac{39}{6} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$
Ответ: при $n = 6\frac{1}{2}$

2) $nx^2 - 8x + 10 = 0$
x = 0,5
$n * (0,5)^2 - 8 * 0,5 + 10 = 0$
0,25n − 4 + 10 = 0
0,25n + 6 = 0
0,25n = −6
n = −24
Ответ: при n = −24

637. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки:
1) $x^2 - 6x + 8 = 0$;
2) $x^2 + 12x + 20 = 0$;
3) $x^2 + 22x - 23 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 6x + 8 = 0$
$x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$
$(x^2 - 4x) - (2x - 8) = 0$
x(x − 4) − 2(x − 4) = 0
(x − 4)(x − 2) = 0
x − 4 = 0
x = 4
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = 2 и x = 4

2) $x^2 + 12x + 20 = 0$
$x^2 + 10x + 2x + 20 = 0$
$(x^2 + 10x) + (2x + 20) = 0$
x(x + 10) + 2(x + 10) = 0
(x + 10)(x + 2) = 0
x + 10 = 0
x = −10
или
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: x = −2 и x = −10

3) $x^2 + 22x - 23 = 0$
$x^2 - x + 23x - 23 = 0$
$(x^2 - x) + (23x - 23) = 0$
x(x − 1) + 23(x − 1) = 0
(x − 1)(x + 23) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 23 = 0
x = −23
Ответ: x = −23 и x = 1

638. Решите уравнение, выделив в его левой части квадрат двучлена:
1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;
2) $x^2 + 6x - 7 = 0$;
3) $x^2 + 8x + 20 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$
$x^2 - 4x + 4 - 1 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) - 1 = 0$
$(x^2 - 2)^2 - 1 = 0$
$(x^2 - 2)^2 - 1^2 = 0$
(x − 2 − 1)(x − 2 + 1) = 0
x − 2 − 1 = 0
x + 3 = 0
x = −3
или
x − 2 + 1 = 0
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: x = −3 и x = 1

2) $x^2 + 6x - 7 = 0$
$x^2 + 6x + 9 - 16 = 0$
$(x^2 + 6x + 9) - 16 = 0$
$(x + 3)^2 - 16 = 0$
$(x + 3)^2 - 4^2 = 0$
(x + 3 − 4)(x + 3 + 4) = 0
x + 3 − 4 = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 3 + 4 = 0
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7 и x = 1

3) $x^2 + 8x + 20 = 0$
$x^2 + 8x + 16 + 4 = 0$
$(x^2 + 8x + 16) + 4 = 0$
$(x + 4)^2 + 4 = 0$
$(x + 4)^2 = -4$ − нет корней
Ответ: нет корней

639. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители:
1) $x^2 - 10x + 9 = 0$;
2) $x^2 + 2x - 3 = 0$;
3) $x^2 - x - 2 = 0$;
4) $x^2 + 6x + 5 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 10x + 9 = 0$
$x^2 - x - 9x + 9 = 0$
$(x^2 - x) - (9x - 9) = 0$
x(x − 1) − 9(x − 1) = 0
(x − 1)(x − 9) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x − 9 = 0
x = 9
Ответ: x = 1 и x = 9

2) $x^2 + 2x - 3 = 0$
$x^2 - x + 3x - 3 = 0$
$(x^2 - x) + (3x - 3) = 0$
x(x − 1) + 3(x − 1) = 0
(x − 1)(x + 3) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3 и x = 1

3) $x^2 - x - 2 = 0$
$x^2 + x - 2x - 2 = 0$
$(x^2 + x) - (2x + 2) = 0$
x(x + 1) − 2(x + 1) = 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x + 1 = 0
x = −1
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = −1 и x = 2

4) $x^2 + 6x + 5 = 0$
$x^2 + x + 5x + 5 = 0$
$(x^2 + x) + (5x + 5) = 0$
x(x + 1) + 5(x + 1) = 0
(x + 1)(x + 5) = 0
x + 1 = 0
x = −1
или
x + 5 = 0
x = −5
Ответ: x = −5 и x = −1

640. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
$x^2$ − квадрат меньшего числа;
$(x + 1)^2$ − квадрат большего числа.
Так как, сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 1)^2 - 2(x + 1) = 17$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 - 17 = 0$
$2x^2 - 18 = 0$
$2(x^2 - 9) = 0$
$x^2 - 9 = 0$
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Если x = −3 − меньшее число, то:
−3 + 1 = −2 − большее число.
Если x = 3 − меньшее число, то:
3 + 1 = 4 − большее число.
Ответ: −3 и −2 или 3 и 4

641. Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1.

Решение:

Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
$x^2$ − квадрат меньшего числа;
$(x + 1)^2$ − квадрат большего числа.
Так как, сумма квадратов данных чисел равна 1, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 1)^2 = 1$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 - 1 = 0$
$2x^2 + 2x = 0$
2x(x + 1) = 0
2x = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
Если x = −1 − меньшее число, то:
−1 + 1 = 0 − большее число.
Если x = 0 − меньшее число, то:
0 + 1 = 1 − большее число.
Ответ: −1 и 0 или 0 и 1

642. При каком значении m не является квадратным уравнение:
1) $(m - 4)x^2 + mx + 7 = 0$;
2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0$;
3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0$?

Решение:

1) $(m - 4)x^2 + mx + 7 = 0$
m − 4 = 0
m = 4
Ответ: при m = 4

2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0$
$m^2 + 8m = 0$
m(m + 8) = 0
m = 0
или
m + 8 = 0
m = −8
Ответ: при m = −8 и m = 0

3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0$
$m^2 - 81 = 0$
(m − 9)(m + 9) = 0
m − 9 = 0
m = 9
или
m + 9 = 0
m = −9
Ответ: при m = −9 и m = 9

643. Каким числом, положительным или отрицательным, является отличный от нуля корень неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$, если:
1) a > 0, b > 0;
2) a < 0, b > 0;
3) a > 0, b < 0;
4) a > 0, b < 0?

Решение:

1) a > 0, b > 0, то $x = -\frac{b}{a} < 0$

2) a < 0, b > 0, то $x = -\frac{b}{a} > 0$

3) a > 0, b < 0, то $x = -\frac{b}{a} > 0$

4) a < 0, b < 0, то $x = -\frac{b}{a} < 0$

644. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:
1) a > 0, c > 0;
2) a < 0, c > 0;
3) a > 0, c < 0;
4) a < 0, c < 0?

Решение:

1) a > 0, c > 0, то $-\frac{c}{a} < 0$
корней нет

2) a < 0, c > 0, то $-\frac{c}{a} > 0$
2 корня

3) a > 0, c < 0, то $-\frac{c}{a} > 0$
2 корня

4) a < 0, c < 0, то $-\frac{c}{a} < 0$
корней нет

645. Каким многочленом можно заменить звездочку в уравнении $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
1) 0 и 4;
2) −1 и 1?

Решение:

1) $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
$3x^2 - 2x + 4 + kx + b = 0$
при x = 0:
$3 * 0^2 - 2 * 0 + 4 + k * 0 + b = 0$
4 + b = 0
b = −4
при x = 4:
$3 * 4^2 - 2 * 4 + 4 + 4k + (-4) = 0$
3 * 16 − 8 + 4 + 4k − 4 = 0
48 − 8 + 4k = 0
40 + 4k = 0
4k = −40
k = −10
Ответ: −10x − 4

2) $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
x = −1
$3 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 4 + k * (-1) + b = 0$
3 * 1 + 2 + 4 − k + b = 0
9 − k + b =0
b − k = −9
x = 1
$3 * 1^2 - 2 * 1 + 4 + k * 1 + b = 0$
3 − 2 + 4 + k + b = 0
5 + k + b = 0
b + k = −5
Составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} b - k = -9 &\\ b + k = 5 & \end{cases} \end{equation*}$
b − k + b + k = −9 + (−5)
2b = −14
b = −7
b − k = −9
−7 − k = −9
−k = −9 + 7
−k = −2
k = 2
Ответ: 2x − 7

646. Каким многочленом можно заменить звездочку в уравнении $x^2 + 5x - 1 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
1) 0; −7;
2) −4; 4?

Решение:

1) $x^2 + 5x - 1 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
x = 0
$0^2 + 5 * 0 - 1 + k * 0 + b = 0$
−1 + b = 0
b = 1
x = −7
$(-7)^2 + 5 * (-7) - 1 + k * (-7) + b = 0$
49 − 35 − 1 − 7k + 1 = 0
−7k = −14
k = 2
Ответ: 2x + 1

2) $x^2 + 5x - 1 + * = 0$
Так как должно получиться неполное квадратное уравнение, то многочлен можно записать в виде:
* = kx + b − многочлен 1 степени, тогда:
x = −4
$(-4)^2 + 5 * (-4) - 1 + k * (-4) + b = 0$
16 − 20 − 1 − 4k + b = 0
−5 − 4k + b = 0
b − 4k = 5
x = 4
$4^2 + 5 * 4 - 1 + k * 4 + b = 0$
16 + 20 − 1 + 4k + b = 0
35 + 4k + b = 0
b + 4k = −35
Составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} b - 4k = 5 &\\ b + 4k = -35 & \end{cases} \end{equation*}$
b − 4k + b + 4k = 5 − 35
2b = −30
b = −15
b − 4k = 5
−15 − 4k = 5
−4k = 5 + 15
−4k = 20
k = −5
Ответ: −5x − 15

647. Решите уравнение:
1) $x^2 - 3|x| = 0$;
2) $x^2 + |x| - 2x = 0$;
3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$;
4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 3|x| = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 - 3x = 0$
x(x − 3) = 0
x = 0
или
x − 3 = 0
x = 3
при x < 0:
$x^2 + 3x = 0$
x(x + 3) = 0
x = 0
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3, x = 0 и x = 3.

2) $x^2 + |x| - 2x = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 + x - 2x = 0$
$x^2 - x = 0$
x(x − 1) = 0
x = 0
или
x − 1 = 0
x = 1
при x < 0:
$x^2 - x - 2x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
x(x − 3) = 0
x = 0
или
x − 3 = 0
x = 3 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
Ответ: x = 0 и x = 1.

3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$
x ≠ 0
при x ≥ 0:
$x^2 - \frac{x}{x} = 0$
$x^2 - 1 = 0$
(x − 1)(x + 1) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 1 = 0
x = −1 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
при x < 0:
$x^2 + \frac{x}{x} = 0$
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$ − нет корней.
Ответ: x = 1.

4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$
x ≠ 0
при x ≥ 0:
$x^2 - \frac{2x^2}{x} = 0$
$x^2 - 2x = 0$
x(x − 2) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
x − 2 = 0
x = 2
при x < 0:
$x^2 + \frac{2x^2}{x} = 0$
$x^2 + 2x = 0$
x(x + 2) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: x = −2 и x = 2.