Ответы к странице 65

257. Представьте в виде дроби выражение:
1) $a^{-2} + a^{-3}$;
2) $mn^{-4} + m^{-4}n$;
3) $(c^{-1} - d^{-1}) * (c - d)^{-2}$;
4) $(x^{-2} + y^{-2}) * (x^{2} + y^{2})^{-1}$.

Решение:

1) $a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = \frac{a + 1}{a^3}$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n = m * \frac{1}{n^4} + \frac{1}{m^4} * n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4} = \frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

3) $(c^{-1} - d^{-1}) * (c - d)^{-2} = (\frac{1}{c} - \frac{1}{d}) * \frac{1}{(c - d)^2} = \frac{d - c}{cd} * \frac{1}{(d - c)^2} = \frac{1}{cd} * \frac{1}{d - c} = \frac{1}{cd(d - c)}$

4) $(x^{-2} + y^{-2}) * (x^{2} + y^{2})^{-1} = (\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}) * \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2} * \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2y^2}$

258. Порядок некоторого натурального числа равен 4. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение:

Пусть x − натуральное число, тогда:
$x * 10^4$ − стандартный вид числа с порядком равным 4, следовательно:
$x * 10^4 = x0000$ − десятичная запись данного числа.
Ответ: 5 цифр

259. Десятичная запись некотрого натурального числа состоит из семи цифр. Чему равен порядок этого числа?

Решение:

Пусть x000000 − десятичная запись числа, тогда:
$x * 10^6$ − стандартный вид числа.
Ответ: 6 − порядок числа

260. Какое число больше:
1) $9,7 * 10^{11}$ или $1,2 * 10^{12}$;
2) $3,6 * 10^{-5}$ или $4,8 * 10^{-6}$;
3) $2,34 * 10^{6}$ или $0,23 * 10^{7}$;
4) $42,7 * 10^{-9}$ или $0,072 * 10^{-7}$?

Решение:

1) $9,7 * 10^{11}$ или $1,2 * 10^{12}$
$9,7 * 10^{11}$
$1,2 * 10^{12}= 12 * 10^{11}$
$9,7 * 10^{11} < 12 * 10^{11}$
Ответ:
$9,7 * 10^{11} < 1,2 * 10^{12}$

2) $3,6 * 10^{-5}$ или $4,8 * 10^{-6}$
$3,6 * 10^{-5}$
$4,8 * 10^{-6} = 0,48 * 10^{-5}$
$0,36 * 10^{-6} > 0,48 * 10^{-5}$
Ответ:
$3,6 * 10^{-5} > 4,8 * 10^{-6}$

3) $2,34 * 10^{6}$ или $0,23 * 10^{7}$
$2,34 * 10^{6}$
$0,23 * 10^{7} = 2,3 * 10^{6}$
$2,34 * 10^{6} > 2,3 * 10^{6}$
Ответ:
$2,34 * 10^{6} > 0,23 * 10^{7}$

4) $42,7 * 10^{-9}$ или $0,072 * 10^{-7}$
$42,7 * 10^{-9} = 0,427 * 10^{-7}$
$0,427 * 10^{-7} > 0,072 * 10^{-7}$
Ответ:
$42,7 * 10^{-9} > 0,072 * 10^{-7}$

261. Какое число меньше:
1) $6,1 * 10^{19}$ или $6,15 * 10^{18}$;
2) $1,5 * 10^{-9}$ или $0,9 * 10^{-8}$?

Решение:

1) $6,1 * 10^{19}$ или $6,15 * 10^{18}$
$6,1 * 10^{19} = 61 * 10^{18}$
$6,15 * 10^{18}$
$61 * 10^{18} > 6,15 * 10^{18}$
Ответ:
$6,1 * 10^{19} > 6,15 * 10^{18}$

2) $1,5 * 10^{-9}$ или $0,9 * 10^{-8}$
$1,5 * 10^{-9} = 0,15 * 10^{-8}$
$0,9 * 10^{-8}$
$0,15 * 10^{-8} < 0,9 * 10^{-8}$
Ответ:
$1,5 * 10^{-9} < 0,9 * 10^{-8}$

262. В таблице приведены расстояния от Солнца до планет Солнечной системы.

Планета Расстояние, км
Венера $1,082 * 10^8$
Земля $1,495 * 10^8$
Марс $2,280 * 10^8$
Меркурий $5,790 * 10^7$
Нептун $4,497 * 10^9$
Сатурн $1,427 * 10^9$
Уран $2,871 * 10^9$
Юпитер $7,781 * 10^8$
1) Какая планета находится на наименьшем расстоянии от Солнца, а какая − на наибольшем?
2) Какая из планет, Марс или Сатурн, находится дальше от Солнца?
3) Составьте таблицу, записав в левом столбце названия планет в порядке увеличения расстояния от них до Солнца, а в правом − расстояния от них до Солнца, выраженные в миллионах километров.

Решение:

Приведем расстояния от Солнца до планет Солнечной системы к единому порядку:

Планета Расстояние, км Расстояние в едином порядке, км
Венера $1,082 * 10^8$ $1,082 * 10^8$
Земля $1,495 * 10^8$ $1,495 * 10^8$
Марс $2,280 * 10^8$ $2,280 * 10^8$
Меркурий $5,790 * 10^7$ $0,5790 * 10^8$
Нептун $4,497 * 10^9$ $44,97 * 10^8$
Сатурн $1,427 * 10^9$ $14,27 * 10^8$
Уран $2,871 * 10^9$ $28,71 * 10^8$
Юпитер $7,781 * 10^8$ $7,781 * 10^8$
Расстояния от Солнца до планет Солнечной системы в порядке убывания:
$44,97 * 10^8 > 28,71 * 10^8 > 14,27 * 10^8 > 7,781 * 10^8 > 2,280 * 10^8 > 1,495 * 10^8 > 1,082 * 10^8 > 0,5790 * 10^8$
Тогда:
1)
Нептун − находится на наибольшем расстоянии от Солнца ($44,97 * 10^8$ км).
Меркурий − находится на наименьшем расстоянии от Солнца. ($0,5790 * 10^8$ км)
2)
Сатурн находится дальше от Солнца, чем Марс.
$14,27 * 10^8 > 2,280 * 10^8$
3)

Планета Расстояние, км Расстояние, млн.км
Меркурий $5,790 * 10^7$ $57,90 * 10^6$
Венера $1,082 * 10^8$ $108,2 * 10^6$
Земля $1,495 * 10^8$ $149,5 * 10^6$
Марс $2,280 * 10^8$ $228 * 10^6$
Юпитер $7,781 * 10^8$ $778,1 * 10^6$
Сатурн $1,427 * 10^9$ $1427 * 10^6$
Уран $2,871 * 10^9$ $2871 * 10^6$
Нептун $4,497 * 10^9$ $4497 * 10^6$

263. В таблице приведены массы атомов некоторых химических элементов.
1) Масса атома какого из данных элементов наименьшая, а какого − наибольшая?
2) Масса атома какого из элементов, меди или натрия, больше?

Элемент Масса атома, кг
Азот $2,32 * 10^{-26}$
Алюминий $4,48 * 10^{-26}$
Водород $1,66 * 10^{-27}$
Гелий $6,64 * 10^{-27}$
Железо $9,28 * 10^{-26}$
Золото $3,27 * 10^{-25}$
Медь $1,05 * 10^{-25}$
Натрий $3,81 * 10^{-26}$
Олово $1,97 * 10^{-25}$
Уран $3,95 * 10^{-25}$
3) Составьте таблицу, упорядочив элементы в порядке уменьшения массы их атомов.

Решение:

Приведем массы атомов некоторых химических элементов к единому порядку:

Элемент Масса атома, кг Масса атома в едином порядке, кг
Азот $2,32 * 10^{-26}$ $2,32 * 10^{-26}$
Алюминий $4,48 * 10^{-26}$ $4,48 * 10^{-26}$
Водород $1,66 * 10^{-27}$ $0,166 * 10^{-26}$
Гелий $6,64 * 10^{-27}$ $0,664 * 10^{-26}$
Железо $9,28 * 10^{-26}$ $9,28 * 10^{-26}$
Золото $3,27 * 10^{-25}$ $32,7 * 10^{-26}$
Медь $1,05 * 10^{-25}$ $10,5 * 10^{-26}$
Натрий $3,81 * 10^{-26}$ $3,81 * 10^{-26}$
Олово $1,97 * 10^{-25}$ $19,7 * 10^{-26}$
Уран $3,95 * 10^{-25}$ $39,5 * 10^{-26}$
Массы атомов некоторых химических элементов в порядке убывания:
$39,5 * 10^{-26} > 32,7 * 10^{-26} > 19,7 * 10^{-26} > 10,5 * 10^{-26} > 9,28 * 10^{-26} > 4,48 * 10^{-26} > 3,81 * 10^{-26} > 2,32 * 10^{-26} > 0,664 * 10^{-26} > 0,166 * 10^{-26}$
Тогда:
1)
Масса атома водорода наименьшая ($0,166 * 10^{-26}$ кг).
Масса атома урана наибольшая. ($39,5 * 10^{-26}$ кг).
2)
Масса атома меди больше, чем масса атома натрия.
$10,5 * 10^{-26} > 3,81 * 10^{-26}$
3)

Элемент Масса атома, кг Масса атома в едином порядке, кг
Уран $3,95 * 10^{-25}$ $39,5 * 10^{-26}$
Золото $3,27 * 10^{-25}$ $32,7 * 10^{-26}$
Олово $1,97 * 10^{-25}$ $19,7 * 10^{-26}$
Медь $1,05 * 10^{-25}$ $10,5 * 10^{-26}$
Железо $9,28 * 10^{-26}$ $9,28 * 10^{-26}$
Алюминий $4,48 * 10^{-26}$ $4,48 * 10^{-26}$
Натрий $3,81 * 10^{-26}$ $3,81 * 10^{-26}$
Азот $2,32 * 10^{-26}$ $2,32 * 10^{-26}$
Гелий $6,64 * 10^{-27}$ $0,664 * 10^{-26}$
Водород $1,66 * 10^{-27}$ $0,166 * 10^{-26}$