Ответы к странице 58
217. Решите уравнение:
1) x+5x2−5x−x−52x2+10x=x+252x2−50x+5x2−5x−x−52x2+10x=x+252x2−50;
2) 2x2−9−12x2−12x+18=32x2+6x2x2−9−12x2−12x+18=32x2+6x;
3) 9x+12x3−64−1x−4=1x2+4x+169x+12x3−64−1x−4=1x2+4x+16.
Решение:
1) x+5x2−5x−x−52x2+10x=x+252x2−50x+5x2−5x−x−52x2+10x=x+252x2−50
x+5x2−5x−x−52x2+10x−x+252x2−50=0x+5x2−5x−x−52x2+10x−x+252x2−50=0
x+5x(x−5)−x−52x(x+5)−x+252(x2−25)=0x+5x(x−5)−x−52x(x+5)−x+252(x2−25)=0
x+5x(x−5)−x−52x(x+5)−x+252(x−5)(x+5)=0x+5x(x−5)−x−52x(x+5)−x+252(x−5)(x+5)=0
2(x+5)2−(x−5)2−x(x+25)2x(x−5)(x+5)=02(x+5)2−(x−5)2−x(x+25)2x(x−5)(x+5)=0
2(x2+10x+25)−(x2−10x+25)−x2−25x2x(x−5)(x+5)=02(x2+10x+25)−(x2−10x+25)−x2−25x2x(x−5)(x+5)=0
2x2+20x+50−x2+10x−25−x2−25x2x(x−5)(x+5)=02x2+20x+50−x2+10x−25−x2−25x2x(x−5)(x+5)=0
5x+252x(x−5)(x+5)=05x+252x(x−5)(x+5)=0
5(x+5)2x(x−5)(x+5)=05(x+5)2x(x−5)(x+5)=0
52x(x−5)=052x(x−5)=0
5 ≠ 0
Ответ: нет корней
2) 2x2−9−12x2−12x+18=32x2+6x2x2−9−12x2−12x+18=32x2+6x
2x2−9−12x2−12x+18−32x2+6x=02x2−9−12x2−12x+18−32x2+6x=0
2(x−3)(x+3)−12(x2−6x+9)−32x(x+3)=02(x−3)(x+3)−12(x2−6x+9)−32x(x+3)=0
2(x−3)(x+3)−12(x−3)2−32x(x+3)=02(x−3)(x+3)−12(x−3)2−32x(x+3)=0
2∗2x(x−3)−x(x+3)−3(x−3)22x(x−3)2(x+3)=02∗2x(x−3)−x(x+3)−3(x−3)22x(x−3)2(x+3)=0
4x2−12x−x2−3x−3(x2−6x+9)2x(x−3)2(x+3)=04x2−12x−x2−3x−3(x2−6x+9)2x(x−3)2(x+3)=0
3x2−15x−3x2+18x−272x(x−3)2(x+3)=03x2−15x−3x2+18x−272x(x−3)2(x+3)=0
3x−272x(x−3)2(x+3)=03x−272x(x−3)2(x+3)=0
{2x≠0x−3≠0x+3≠03x−27=0
{x≠0x≠3x≠−33x=27
{x≠0x≠3x≠−3x=9
Ответ: x = 9
3) 9x+12x3−64−1x−4=1x2+4x+16
9x+12(x−4)(x2+4x+16)−1x−4−1x2+4x+16=0
9x+12−(x2+4x+16)−(x−4)(x−4)(x2+4x+16)=0
9x+12−x2−4x−16−x+4(x−4)(x2+4x+16)=0
4x−x2(x−4)(x2+4x+16)=0
x(4−x)(x−4)(x2+4x+16)=0
−x(x−4)(x−4)(x2+4x+16)=0
−xx2+4x+16=0
{x2+4x+16≠0−x=0
{x2+4x+16≠0x=0
Ответ: x = 0
218. Решите уравнение:
1) 4y+245y2−45+y+35y2−15y=y−3y2+3y;
2) y+28y3+1−14y+2=y+38y2−4y+2.
Решение:
1) 4y+245y2−45+y+35y2−15y=y−3y2+3y
4y+245(y2−9)+y+35y(y−3)−y−3y(y+3)=0
4y+245(y−3)(y+3)+y+35y(y−3)−y−3y(y+3)=0
y(4y+24)+(y+3)2−5(y−3)25y(y−3)(y+3)=0
4y2+24y+y2+6y+9−5(y2−6y+9)5y(y−3)(y+3)=0
4y2+24y+y2+6y+9−5y2+30y−455y(y−3)(y+3)=0
60y−365y(y−3)(y+3)=0
{5y≠0y−3≠0y+3≠060y−36=0
{y≠0y≠3y≠−360y=36
{y≠0y≠3y≠−3y=3660
{y≠0y≠3y≠−3y=35
Ответ: y=35
2) y+28y3+1−14y+2=y+38y2−4y+2
y+28y3+1−14y+2−y+38y2−4y+2=0
y+2(2y+1)(4y2−2y+1)−12(2y+1)−y+32(4y2−2y+1)=0
2(y+2)−(4y2−2y+1)−(2y+1)(y+3)2(2y+1)(4y2−2y+1)=0
2y+4−4y2+2y−1−(2y2+y+6y+3)2(2y+1)(4y2−2y+1)=0
4y+3−4y2−2y2−y−6y−32(2y+1)(4y2−2y+1)=0
−6y2−3y2(2y+1)(4y2−2y+1)=0
−3y(2y+1)2(2y+1)(4y2−2y+1)=0
−3y2(4y2−2y+1)=0
{2(4y2−2y+1)≠0−3y=0
{4y2−2y+1≠0y=0
Ответ: y = 0
219. Для каждого значения a решите уравнение:
1) x−1x−a=0;
2) x−ax+5=0;
3) a(x−a)x−3=0;
4) (x−a)(x−6)x−7=0;
5) (x−4)(x+2)x−a=0;
6) x−a(x−4)(x+2)=0.
Решение:
1) x−1x−a=0
{x−a≠0x−1=0
{x≠ax=1
Ответ:
при a ≠ 1, x = 1;
при a = 1, корней нет.
2) x−ax+5=0
{x+5≠0x−a=0
{x≠−5x=a
Ответ:
при a ≠ −5, x = a;
при a = −5, корней нет.
3) a(x−a)x−3=0
{x−3≠0a=0x−a=0
{x≠3a=0x=a
Ответ:
при a = 0, x − любое число, кроме x = 3;
при a ≠ 3 и при a ≠ 0, x = a;
при a = 3, нет корней.
4) (x−a)(x−6)x−7=0
{x−7≠0x−a=0x−6=0
{x≠7x=ax=6
Ответ:
при a ≠ 7, x = a или x = 6;
при a = 7, x = 6.
5) (x−4)(x+2)x−a=0
{x−a≠0x−4=0x+2=0
{x≠ax=4x=−2
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = 4 или x = −2;
при a = 4, x = −2;
при a = −2, x = 4.
6) x−a(x−4)(x+2)=0
{x−4≠0x+2≠0x−a=0
{x≠4x≠−2x=a
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = a;
при a = 4 и a = −2, нет корней.
220. При каких значениях a уравнение x+ax2−4=0 не имеет корней?
Решение:
x+ax2−4=0
{x2−4≠0x+a=0
{x2≠4x=−a
{x≠±2x=−a
Значит уравнение не имеет корней при a = −2 или a = 2.
221. При каких значениях a уравнение (x−a)(x−3a)x+9=0 имеет один корень?
Решение:
(x−a)(x−3a)x+9=0
{x+9≠0x−a=0x−3a=0
{x≠−9x=ax=3a
Значит, при a = −9, a= −3 или a = 0 уравнение будет иметь один корень.
Ответ: при a = 9, a = −3 или a = 0.
222. На конец года численность населения города составляла 72100 жителей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3%.
Решение:
Пусть x (жителей) − было в городе на начало года, тогда:
0,03x (жителей) − составил прирост в течении года.
Зная, что на конец года численность населения города составляла 72100 жителей, можно составить уравнение:
x + 0,03x = 72100
1,03x = 72100
x = 70000 (жителей) − было в городе на начало года.
Ответ: 70000 жителей.
223. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдет это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?
Решение:
45 мин = 4560 (ч) = 34 (ч)
40 мин = 4060 (ч) = 23 (ч)
Пусть x (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:
t (ч) v (км/ч) S (км)
Фактическое 34 x 34x
Планируемое 23 x + 10 23(x+10)
Зная, что в любом случае электропоезд пройдет одинаковое расстояние, можно составить уравнение:
34x=23(x+10)|∗12
3 * 3x = 4 * 2(x + 10)
9x = 8x + 80
9x − 8x = 80
x = 80 (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:
34x=34∗80=3∗20=60 (км) − расстояние между станциями.
Ответ: 60 км
224. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:
1) (a−5)2−2(a−5)+1;
2) (a−b)(a−b−8)+16.
Решение:
1) (a−5)2−2(a−5)+1=(a−5)2−2∗1∗(a−5)+12=((a−5)−1)2=(a−5−1)2=(a−6)2
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.
2) (a−b)(a−b−8)+16=a2−ab−ab+b2−8a−8b+16=a2−2ab+b2−8a−8b+16=(a2−2ab+b2)−(8a−8b)+16=(a−b)2−8(a−b)+16=(a−b)2−2∗4∗(a−b)+42=((a−b)−4)2=(a−b−4)2
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.