Ответы к странице 58

217. Решите уравнение:
1) $\frac{x + 5}{x^2 - 5x} - \frac{x - 5}{2x^2 + 10x} = \frac{x + 25}{2x^2 - 50}$;
2) $\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$;
3) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$.

Решение:

1) $\frac{x + 5}{x^2 - 5x} - \frac{x - 5}{2x^2 + 10x} = \frac{x + 25}{2x^2 - 50}$
$\frac{x + 5}{x^2 - 5x} - \frac{x - 5}{2x^2 + 10x} - \frac{x + 25}{2x^2 - 50} = 0$
$\frac{x + 5}{x(x - 5)} - \frac{x - 5}{2x(x + 5)} - \frac{x + 25}{2(x^2 - 25)} = 0$
$\frac{x + 5}{x(x - 5)} - \frac{x - 5}{2x(x + 5)} - \frac{x + 25}{2(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2(x + 5)^2 - (x - 5)^2 - x(x + 25)}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2(x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25) - x^2 - 25x}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{2x^2 + 20x + 50 - x^2 + 10x - 25 - x^2 - 25x}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{5x + 25}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{5(x + 5)}{2x(x - 5)(x + 5)} = 0$
$\frac{5}{2x(x - 5)} = 0$
5 ≠ 0
Ответ: нет корней

2) $\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$
$\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} - \frac{3}{2x^2 + 6x} = 0$
$\frac{2}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{1}{2(x^2 - 6x + 9)} - \frac{3}{2x(x + 3)} = 0$
$\frac{2}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{1}{2(x - 3)^2} - \frac{3}{2x(x + 3)} = 0$
$\frac{2 * 2x(x - 3) - x(x + 3) - 3(x - 3)^2}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\frac{4x^2 - 12x - x^2 - 3x - 3(x^2 - 6x + 9)}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\frac{3x^2 - 15x - 3x^2 + 18x - 27}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\frac{3x - 27}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ x + 3 ≠ 0 &\\ 3x - 27 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ 3x = 27 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ x = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 9

3) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$
$\frac{9x + 12}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x^2 + 4x + 16} = 0$
$\frac{9x + 12 - (x^2 + 4x + 16) - (x - 4)}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{9x + 12 - x^2 - 4x - 16 - x + 4}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{4x - x^2}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{x(4 - x)}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{-x(x - 4)}{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)} = 0$
$\frac{-x}{x^2 + 4x + 16} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 + 4x + 16 ≠ 0 &\\ -x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 + 4x + 16 ≠ 0 &\\ x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 0

218. Решите уравнение:
1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$;
2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$.

Решение:

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$
$\frac{4y + 24}{5(y^2 - 9)} + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} - \frac{y - 3}{y(y + 3)} = 0$
$\frac{4y + 24}{5(y - 3)(y + 3)} + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} - \frac{y - 3}{y(y + 3)} = 0$
$\frac{y(4y + 24) + (y + 3)^2 - 5(y - 3)^2}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\frac{4y^2 + 24y + y^2 + 6y + 9 - 5(y^2 - 6y + 9)}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\frac{4y^2 + 24y + y^2 + 6y + 9 - 5y^2 + 30y - 45}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\frac{60y - 36}{5y(y - 3)(y + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 5y ≠ 0 &\\ y - 3 ≠ 0 &\\ y + 3 ≠ 0 &\\ 60y - 36 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 0 &\\ y ≠ 3 &\\ y ≠ -3 &\\ 60y = 36 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 0 &\\ y ≠ 3 &\\ y ≠ -3 &\\ y = \frac{36}{60} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 0 &\\ y ≠ 3 &\\ y ≠ -3 &\\ y = \frac{3}{5} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $y = \frac{3}{5}$

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$
$\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} - \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2} = 0$
$\frac{y + 2}{(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y + 1)} - \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{2(y + 2) - (4y^2 - 2y + 1) - (2y + 1)(y + 3)}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 - (2y^2 + y + 6y + 3)}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{4y + 3 - 4y^2 - 2y^2 - y - 6y - 3}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{-6y^2 - 3y}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{-3y(2y + 1)}{2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\frac{-3y}{2(4y^2 - 2y + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2(4y^2 - 2y + 1) ≠ 0 &\\ -3y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 4y^2 - 2y + 1≠ 0 &\\ y = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: y = 0

219. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $\frac{x - 1}{x - a} = 0$;
2) $\frac{x - a}{x + 5} = 0$;
3) $\frac{a(x - a)}{x - 3} = 0$;
4) $\frac{(x - a)(x - 6)}{x - 7} = 0$;
5) $\frac{(x - 4)(x + 2)}{x - a} = 0$;
6) $\frac{x - a}{(x - 4)(x + 2)} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x - 1}{x - a} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - a ≠ 0 &\\ x - 1 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ a &\\ x = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 1, x = 1;
при a = 1, корней нет.

2) $\frac{x - a}{x + 5} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 5 ≠ 0 &\\ x - a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -5 &\\ x = a & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ −5, x = a;
при a = −5, корней нет.

3) $\frac{a(x - a)}{x - 3} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 3 ≠ 0 &\\ a = 0 &\\ x - a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 3 &\\ a = 0 &\\ x = a & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a = 0, x − любое число, кроме x = 3;
при a ≠ 3 и при a ≠ 0, x = a;
при a = 3, нет корней.

4) $\frac{(x - a)(x - 6)}{x - 7} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 7 ≠ 0 &\\ x - a = 0 &\\ x - 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 7 &\\ x = a &\\ x = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 7, x = a или x = 6;
при a = 7, x = 6.

5) $\frac{(x - 4)(x + 2)}{x - a} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - a ≠ 0 &\\ x - 4 = 0 &\\ x + 2 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ a &\\ x = 4 &\\ x = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = 4 или x = −2;
при a = 4, x = −2;
при a = −2, x = 4.

6) $\frac{x - a}{(x - 4)(x + 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 4 ≠ 0 &\\ x + 2 ≠ 0 &\\ x - a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 4 &\\ x ≠ -2 &\\ x = a & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = a;
при a = 4 и a = −2, нет корней.

220. При каких значениях a уравнение $\frac{x + a}{x^2 - 4} = 0$ не имеет корней?

Решение:

$\frac{x + a}{x^2 - 4} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 - 4 ≠ 0 &\\ x + a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x^2 ≠ 4 &\\ x = -a & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ ±2 &\\ x = -a & \end{cases} \end{equation*}$
Значит уравнение не имеет корней при a = −2 или a = 2.

221. При каких значениях a уравнение $\frac{(x - a)(x - 3a)}{x + 9} = 0$ имеет один корень?

Решение:

$\frac{(x - a)(x - 3a)}{x + 9} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 9 ≠ 0 &\\ x - a = 0 &\\ x - 3a = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -9 &\\ x = a &\\ x = 3a & \end{cases} \end{equation*}$
Значит, при a = −9, a= −3 или a = 0 уравнение будет иметь один корень.
Ответ: при a = 9, a = −3 или a = 0.

222. На конец года численность населения города составляла 72100 жителей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3%.

Решение:

Пусть x (жителей) − было в городе на начало года, тогда:
0,03x (жителей) − составил прирост в течении года.
Зная, что на конец года численность населения города составляла 72100 жителей, можно составить уравнение:
x + 0,03x = 72100
1,03x = 72100
x = 70000 (жителей) − было в городе на начало года.
Ответ: 70000 жителей.

223. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдет это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?

Решение:

45 мин = $\frac{45}{60}$ (ч) = $\frac{3}{4}$ (ч)
40 мин = $\frac{40}{60}$ (ч) = $\frac{2}{3}$ (ч)
Пусть x (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:

t (ч) v (км/ч) S (км)
Фактическое $\frac{3}{4}$ x $\frac{3}{4}x$
Планируемое $\frac{2}{3}$ x + 10 $\frac{2}{3}(x + 10)$
Зная, что в любом случае электропоезд пройдет одинаковое расстояние, можно составить уравнение:
$\frac{3}{4}x = \frac{2}{3}(x + 10) |*12$
3 * 3x = 4 * 2(x + 10)
9x = 8x + 80
9x − 8x = 80
x = 80 (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:
$\frac{3}{4}x = \frac{3}{4} * 80 = 3 * 20 = 60$ (км) − расстояние между станциями.
Ответ: 60 км

224. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:
1) $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$;
2) $(a - b)(a - b - 8) + 16$.

Решение:

1) $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1 = (a - 5)^2 - 2 * 1 * (a - 5) + 1^2 = ((a - 5) - 1)^2 = (a - 5 - 1)^2 = (a - 6)^2$
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.

2) $(a - b)(a - b - 8) + 16 = a^2 - ab - ab + b^2 - 8a - 8b + 16 = a^2 - 2ab + b^2 - 8a - 8b + 16 = (a^2 - 2ab + b^2) - (8a - 8b) + 16 = (a - b)^2 - 8(a - b) + 16 = (a - b)^2 - 2 * 4 * (a - b) + 4^2 = ((a - b) - 4)^2 = (a - b - 4)^2$
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.