Ответы к странице 58

217. Решите уравнение:
1) x+5x25xx52x2+10x=x+252x250x+5x25xx52x2+10x=x+252x250;
2) 2x2912x212x+18=32x2+6x2x2912x212x+18=32x2+6x;
3) 9x+12x3641x4=1x2+4x+169x+12x3641x4=1x2+4x+16.

Решение:

1) x+5x25xx52x2+10x=x+252x250x+5x25xx52x2+10x=x+252x250
x+5x25xx52x2+10xx+252x250=0x+5x25xx52x2+10xx+252x250=0
x+5x(x5)x52x(x+5)x+252(x225)=0x+5x(x5)x52x(x+5)x+252(x225)=0
x+5x(x5)x52x(x+5)x+252(x5)(x+5)=0x+5x(x5)x52x(x+5)x+252(x5)(x+5)=0
2(x+5)2(x5)2x(x+25)2x(x5)(x+5)=02(x+5)2(x5)2x(x+25)2x(x5)(x+5)=0
2(x2+10x+25)(x210x+25)x225x2x(x5)(x+5)=02(x2+10x+25)(x210x+25)x225x2x(x5)(x+5)=0
2x2+20x+50x2+10x25x225x2x(x5)(x+5)=02x2+20x+50x2+10x25x225x2x(x5)(x+5)=0
5x+252x(x5)(x+5)=05x+252x(x5)(x+5)=0
5(x+5)2x(x5)(x+5)=05(x+5)2x(x5)(x+5)=0
52x(x5)=052x(x5)=0
5 ≠ 0
Ответ: нет корней

2) 2x2912x212x+18=32x2+6x2x2912x212x+18=32x2+6x
2x2912x212x+1832x2+6x=02x2912x212x+1832x2+6x=0
2(x3)(x+3)12(x26x+9)32x(x+3)=02(x3)(x+3)12(x26x+9)32x(x+3)=0
2(x3)(x+3)12(x3)232x(x+3)=02(x3)(x+3)12(x3)232x(x+3)=0
22x(x3)x(x+3)3(x3)22x(x3)2(x+3)=022x(x3)x(x+3)3(x3)22x(x3)2(x+3)=0
4x212xx23x3(x26x+9)2x(x3)2(x+3)=04x212xx23x3(x26x+9)2x(x3)2(x+3)=0
3x215x3x2+18x272x(x3)2(x+3)=03x215x3x2+18x272x(x3)2(x+3)=0
3x272x(x3)2(x+3)=03x272x(x3)2(x+3)=0
{2x0x30x+303x27=0
{x0x3x33x=27
{x0x3x3x=9
Ответ: x = 9

3) 9x+12x3641x4=1x2+4x+16
9x+12(x4)(x2+4x+16)1x41x2+4x+16=0
9x+12(x2+4x+16)(x4)(x4)(x2+4x+16)=0
9x+12x24x16x+4(x4)(x2+4x+16)=0
4xx2(x4)(x2+4x+16)=0
x(4x)(x4)(x2+4x+16)=0
x(x4)(x4)(x2+4x+16)=0
xx2+4x+16=0
{x2+4x+160x=0
{x2+4x+160x=0
Ответ: x = 0

218. Решите уравнение:
1) 4y+245y245+y+35y215y=y3y2+3y;
2) y+28y3+114y+2=y+38y24y+2.

Решение:

1) 4y+245y245+y+35y215y=y3y2+3y
4y+245(y29)+y+35y(y3)y3y(y+3)=0
4y+245(y3)(y+3)+y+35y(y3)y3y(y+3)=0
y(4y+24)+(y+3)25(y3)25y(y3)(y+3)=0
4y2+24y+y2+6y+95(y26y+9)5y(y3)(y+3)=0
4y2+24y+y2+6y+95y2+30y455y(y3)(y+3)=0
60y365y(y3)(y+3)=0
{5y0y30y+3060y36=0
{y0y3y360y=36
{y0y3y3y=3660
{y0y3y3y=35
Ответ: y=35

2) y+28y3+114y+2=y+38y24y+2
y+28y3+114y+2y+38y24y+2=0
y+2(2y+1)(4y22y+1)12(2y+1)y+32(4y22y+1)=0
2(y+2)(4y22y+1)(2y+1)(y+3)2(2y+1)(4y22y+1)=0
2y+44y2+2y1(2y2+y+6y+3)2(2y+1)(4y22y+1)=0
4y+34y22y2y6y32(2y+1)(4y22y+1)=0
6y23y2(2y+1)(4y22y+1)=0
3y(2y+1)2(2y+1)(4y22y+1)=0
3y2(4y22y+1)=0
{2(4y22y+1)03y=0
{4y22y+10y=0
Ответ: y = 0

219. Для каждого значения a решите уравнение:
1) x1xa=0;
2) xax+5=0;
3) a(xa)x3=0;
4) (xa)(x6)x7=0;
5) (x4)(x+2)xa=0;
6) xa(x4)(x+2)=0.

Решение:

1) x1xa=0
{xa0x1=0
{xax=1
Ответ:
при a ≠ 1, x = 1;
при a = 1, корней нет.

2) xax+5=0
{x+50xa=0
{x5x=a
Ответ:
при a ≠ −5, x = a;
при a = −5, корней нет.

3) a(xa)x3=0
{x30a=0xa=0
{x3a=0x=a
Ответ:
при a = 0, x − любое число, кроме x = 3;
при a ≠ 3 и при a ≠ 0, x = a;
при a = 3, нет корней.

4) (xa)(x6)x7=0
{x70xa=0x6=0
{x7x=ax=6
Ответ:
при a ≠ 7, x = a или x = 6;
при a = 7, x = 6.

5) (x4)(x+2)xa=0
{xa0x4=0x+2=0
{xax=4x=2
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = 4 или x = −2;
при a = 4, x = −2;
при a = −2, x = 4.

6) xa(x4)(x+2)=0
{x40x+20xa=0
{x4x2x=a
Ответ:
при a ≠ 4 и a ≠ −2, x = a;
при a = 4 и a = −2, нет корней.

220. При каких значениях a уравнение x+ax24=0 не имеет корней?

Решение:

x+ax24=0
{x240x+a=0
{x24x=a
{x±2x=a
Значит уравнение не имеет корней при a = −2 или a = 2.

221. При каких значениях a уравнение (xa)(x3a)x+9=0 имеет один корень?

Решение:

(xa)(x3a)x+9=0
{x+90xa=0x3a=0
{x9x=ax=3a
Значит, при a = −9, a= −3 или a = 0 уравнение будет иметь один корень.
Ответ: при a = 9, a = −3 или a = 0.

222. На конец года численность населения города составляла 72100 жителей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3%.

Решение:

Пусть x (жителей) − было в городе на начало года, тогда:
0,03x (жителей) − составил прирост в течении года.
Зная, что на конец года численность населения города составляла 72100 жителей, можно составить уравнение:
x + 0,03x = 72100
1,03x = 72100
x = 70000 (жителей) − было в городе на начало года.
Ответ: 70000 жителей.

223. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдет это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?

Решение:

45 мин = 4560 (ч) = 34 (ч)
40 мин = 4060 (ч) = 23 (ч)
Пусть x (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:

t (ч) v (км/ч) S (км)
Фактическое 34 x 34x
Планируемое 23 x + 10 23(x+10)
Зная, что в любом случае электропоезд пройдет одинаковое расстояние, можно составить уравнение:
34x=23(x+10)|12
3 * 3x = 4 * 2(x + 10)
9x = 8x + 80
9x − 8x = 80
x = 80 (км/ч) − фактическая скорость электропоезда, тогда:
34x=3480=320=60 (км) − расстояние между станциями.
Ответ: 60 км

224. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:
1) (a5)22(a5)+1;
2) (ab)(ab8)+16.

Решение:

1) (a5)22(a5)+1=(a5)221(a5)+12=((a5)1)2=(a51)2=(a6)2
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.

2) (ab)(ab8)+16=a2abab+b28a8b+16=a22ab+b28a8b+16=(a22ab+b2)(8a8b)+16=(ab)28(ab)+16=(ab)224(ab)+42=((ab)4)2=(ab4)2
Ответ: выражение принимает неотрицательное значение, так как квадрат любого числа ≥ 0.