Ответы к странице 45

181. Упростите выражение:
1) $\frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : (\frac{13}{x + 6} - x + 6)$;
2) $(c - \frac{2c - 9}{c + 8}) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c}$;
3) $(\frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x}) : \frac{6}{3 - x}$;
4) $(\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2}) * \frac{y^2 - 4}{18}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : (\frac{13}{x + 6} - x + 6) = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 - x(x + 6) + 6(x + 6)}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{13 - x^2 - 6x + 6x + 36}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{-x^2 + 49}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} * \frac{x + 6}{49 - x^2} = \frac{(x + 7)^2}{1} * \frac{1}{(7 - x)(7 + x)} = \frac{7 + x}{7 - x}$

2) $(c - \frac{2c - 9}{c + 8}) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c} = \frac{c(c + 8) - (2c - 9)}{c + 8} : \frac{c(c + 3)}{(c - 8)(c + 8)} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 8c - 2c + 9}{c + 8} * \frac{(c - 8)(c + 8)}{c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 6c + 9}{1} * \frac{c - 8}{c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{(c + 3)^2}{1} * \frac{c - 8}{c(c + 3)} + \frac{24}{c} = \frac{c + 3}{1} * \frac{c - 8}{c} + \frac{24}{c} = \frac{(c + 3)(c - 8)}{c} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 + 3c - 8c - 24 + 24}{c} = \frac{c^2 - 5c}{c} = \frac{c(c - 5)}{c} = c - 5$

3) $(\frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x}) : \frac{6}{3 - x} = (\frac{36}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} + \frac{3 + x}{x - 3}) * \frac{3 - x}{6} = \frac{36 - (x - 3)^2 + (x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} * (-\frac{x - 3}{6}) = \frac{36 - (x^2 - 6x + 9) + x^2 + 6x + 9}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = \frac{36 - x^2 + 6x - 9 + x^2 + 6x + 9}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = \frac{12x + 36}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = \frac{12(x + 3)}{x + 3} * (-\frac{1}{6}) = -2$

4) $(\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2}) * \frac{y^2 - 4}{18} = (\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} + \frac{1}{y - 2}) * \frac{(y - 2)(y + 2)}{18} = \frac{(2y - 1)(y - 2) + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} * \frac{(y - 2)(y + 2)}{18} = \frac{2y^2 - y - 4y + 2 + 11y + 10 + y^2}{y^2 + 2y + 4} * \frac{y + 2}{18} = \frac{3y^2 + 6y + 12}{y^2 + 2y + 4} * \frac{y + 2}{18} = \frac{3(y^2 + 2y + 4)}{y^2 + 2y + 4} * \frac{y + 2}{18} = \frac{y + 2}{6}$

182. Докажите тождество:
1) $(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4}$;
2) $(\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2}) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$;
3) $(\frac{3}{36 - c^2} + \frac{1}{c^2 - 12c + 36}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$.

Решение:

1) $(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4}$
$(\frac{ab}{a^2 - b^2} - \frac{b}{2a - 2b}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4}$
$(\frac{ab}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{2(a - b)}) : \frac{2b}{(a - b)(a + b)} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{2ab - b(a + b)}{2(a - b)(a + b)} * \frac{(a - b)(a + b)}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{2ab - ab - b^2}{2} * \frac{1}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{ab - b^2}{2} * \frac{1}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{b(a - b)}{2} * \frac{1}{2b} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{a - b}{2} * \frac{1}{2} = \frac{a - b}{4}$
$\frac{a - b}{4} = \frac{a - b}{4}$

2) $(\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2}) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$(\frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} - \frac{a - 2}{a + 2}) : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{8a - (a - 2)(2 - a)}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{8a - (2a - 4 - a^2 + 2a)}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{8a - 2a + 4 + a^2 - 2a}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a^2 + 4a + 4}{(2 - a)(a + 2)} : \frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{(a + 2)^2}{(2 - a)(a + 2)} * \frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a + 2}{(2 - a)(a + 2)} * \frac{a}{1} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a(a + 2)}{(2 - a)(a + 2)} + \frac{2}{a - 2} = -1$
$\frac{a(a + 2)}{(2 - a)(a + 2)} - \frac{2}{2 - a} = -1$
$\frac{a(a + 2) - 2(a + 2)}{(2 - a)(a + 2)} = -1$
$\frac{(a + 2)(a - 2)}{(2 - a)(a + 2)} = -1$
$-\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = -1$
−1 = −1

3) $(\frac{3}{36 - c^2} + \frac{1}{c^2 - 12c + 36}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$(\frac{3}{(6 - c)(6 + c)} + \frac{1}{(c - 6)^2}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$(\frac{3}{(6 - c)(6 + c)} + \frac{1}{(6 - c)^2}) * \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{3(6 - c) + 6 + c}{(6 - c)^2(6 + c)} * \frac{(6 - c)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{18 - 3c + 6 + c}{6 + c} * \frac{1}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{24 - 2c}{6 + c} * \frac{1}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{2(12 - c)}{6 + c} * \frac{1}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{12 - c}{6 + c} + \frac{3c}{c + 6} = 2$
$\frac{12 - c + 3c}{6 + c} = 2$
$\frac{12 + 2c}{6 + c} = 2$
$\frac{2(6 + c)}{6 + c} = 2$
2 = 2

183. Докажите тождество:
1) $(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b}$;
2) $\frac{(a - b)^2}{a} * (\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}) + \frac{3a + b}{a + b} = 3$.

Решение:

1) $(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b}$
$(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} + \frac{a}{ab - b^2}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b}$
$(\frac{b}{a(a - b)} - \frac{2}{a - b} + \frac{a}{b(a - b)}) * \frac{4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{b^2 - 2ab + a^2}{ab(a - b)} * \frac{4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{(b - a)^2}{ab(a - b)} * \frac{4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{(a - b)^2}{ab(a - b)} * \frac{4ab}{(a - b)(a +b)} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{1}{ab} * \frac{4ab}{a + b} = \frac{4}{a + b}$
$\frac{4}{a + b} = \frac{4}{a + b}$

2) $\frac{(a - b)^2}{a} * (\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}) + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{(a - b)^2}{a} * (\frac{a}{(b - a)^2} + \frac{a}{(b - a)(b + a)}) + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{(b - a)^2}{a} * \frac{a(b + a) + a(b - a)}{(b - a)^2(b + a)} + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{1}{a} * \frac{a(b + a + b - a)}{b + a} + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{2b}{a + b} + \frac{3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{2b + 3a + b}{a + b} = 3$
$\frac{3a + 3b}{a + b} = 3$
$\frac{3(a + b)}{a + b} = 3$
3 = 3

184. Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной:
1) $(\frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}) : \frac{3a + 3}{a^2 - a}$;
2) $(\frac{a}{a^2 - 49} - \frac{1}{a + 7}) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} - \frac{2}{a - 7}$?

Решение:

1) $(\frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}) : \frac{3a + 3}{a^2 - a} = (\frac{a + 3}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{1}{a(a + 1)}) : \frac{3(a + 1)}{a(a - 1)} = \frac{a(a + 3) - (a - 1)}{a(a - 1)(a + 1)} * \frac{a(a - 1)}{3(a + 1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a + 1} * \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{a + 1} * \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{(a + 1)^2}{a + 1} * \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{1}{3}$
Ответ: значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) $(\frac{a}{a^2 - 49} - \frac{1}{a + 7}) : \frac{7a}{a^2 + 14a + 49} - \frac{2}{a - 7} = (\frac{a}{(a - 7)(a + 7)} - \frac{1}{a + 7}) : \frac{7a}{(a + 7)^2} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a - (a - 7)}{(a - 7)(a + 7)} * \frac{(a + 7)^2}{7a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a - a + 7}{a - 7} * \frac{a + 7}{7a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{7}{a - 7} * \frac{a + 7}{7a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{1}{a - 7} * \frac{a + 7}{a} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a + 7}{a(a - 7)} - \frac{2}{a - 7} = \frac{a + 7 - 2a}{a(a - 7)} = \frac{7 - a}{a(a - 7)} = -\frac{a - 7}{a(a - 7)} = -\frac{1}{a}$
Ответ: значение выражения зависит от значения входящей в него переменной.

185. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной:
1) $\frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} * (\frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3})$;
2) $\frac{3}{2a - 3} - \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} * (\frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9})$.

Решение:

1) $\frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} * (\frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3}) = \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} * \frac{(6x + 1)(x + 3) + (6x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} * \frac{6x^2 + x + 18x + 3 + 6x^2 - x - 18x + 3}{x^2 - 9} = \frac{3}{2(2x^2 + 1)} * \frac{12x^2 + 6}{1} = \frac{3}{2(2x^2 + 1)} * \frac{6(2x^2 + 1)}{1} = \frac{3}{1} * \frac{3}{1} = 9$
Ответ: значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

2) $\frac{3}{2a - 3} - \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} * (\frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9}) = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a(4a^2 - 9)}{4a^2 + 9} * (\frac{2a}{(2a - 3)^2} - \frac{3}{(2a - 3)(2a + 3)}) = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a(2a - 3)(2a + 3)}{4a^2 + 9} * \frac{2a(2a + 3) - 3(2a - 3)}{(2a - 3)^2(2a + 3)} = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{4a^2 + 9} * \frac{4a^2 + 6a - 6a + 9}{2a - 3} = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{4a^2 + 9} * \frac{4a^2 + 9}{2a - 3} = \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{2a - 3} = \frac{3 - 2a}{2a - 3} = -\frac{2a - 3}{2a - 3} = -1$
Ответ: значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.