Ответы к странице 122

472. Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие − иррациональных:
1) 0,(3);
2) 0,4(32);
3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?

Решение:

1) 0,(3) − рациональное;
2) 0,4(32) − рациональное;
3) 0,20200200020... − иррациональное.

473. Сравните:
1) 6,542... и 6,452...;
2) −24,064... и −24,165... .

Решение:

1) 6,542... > 6,452..

2) −24,064... > −24,165...

474. Сравните:
1) 0,234... и 0,225...;
2) −1,333... и −1,345... .

Решение:

1) 0,234... > 0,225...

2) −1,333... > −1,345...

475. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение числа $\sqrt{3}$ с точностью до 0,01:
1) по недостатку;
2) по избытку.

Решение:

1) $\sqrt{3} = 1,73205... ≈ 1,73$

2) $\sqrt{3} = 1,73205... ≈ 1,74$

476. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение числа $\sqrt{5}$ с точностью до 0,01:
1) по недостатку;
2) по избытку.

Решение:

1) $\sqrt{5} = 2,23606... ≈ 2,23$

2) $\sqrt{5} = 2,23606... ≈ 2,24$

477. Укажите какое−нибудь значение a, при котором уравнение $x^2 = a$:
1) имеет два рациональных корня;
2) имеет два иррациональных корня;
3) не имеет корней.

Решение:

1) $x^2 = a$
при a = 16:
$x^2 = 16$
x = ±4
Ответ: при a = 16 уравнение имеет два рациональных корня: −4 и 4.

2) $x^2 = a$
при a = 3:
$x^2 = 3$
$x = ±\sqrt{3}$
Ответ: при a = 3 уравнение имеет два рациональных корня: $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.

3) $x^2 = a$
при a = −5:
$x^2 = -5$ − нет корней
Ответ: при a = −5 уравнение не имеет корней.

478. Сравните числа:
1) $\frac{43}{7}$ и 6,12;
2) 3,(24) и 3,24;
3) π и 3,(14);
4) −2,(36) и −2,36;
5) 7,(18) и 7,(17).

Решение:

1) $\frac{43}{7}$ и 6,12
$\frac{43}{7} = 6\frac{1}{7} = 6\frac{25}{175}$
$6,12 = 6\frac{12}{100} = 6\frac{21}{175}$
$6\frac{25}{175} > 6\frac{21}{175}$
$\frac{43}{7} > 6,12$

2) 3,(24) и 3,24
3,(24) = 3,242424...
3,24 = 3,24000...
3,242424... > 3,24000...
3,(24) > 3,24

3) π и 3,(14)
π = 3,14159...
3,(14) = 3,1414...
3,14159... > 3,1414...
π > 3,(14)

4) −2,(36) и −2,36
−2,(36) = −2,3636...
−2,36 = −2,3600...
−2,3636... < −2,3600...
−2,(36) < −2,36

5) 7,(18) и 7,(17)
7,(18) = 7,1818...
7,(17) = 7,1717...
7,1818... > 7,1717...
7,(18) > 7,(17)

479. Сравните числа:
1) $\frac{1}{6}$ и 0,2;
2) $\frac{7}{9}$ и 0,77;
3) −1,(645) и −1,(643).

Решение:

1) $\frac{1}{6}$ и 0,2
$\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = \frac{6}{30}$
$\frac{5}{30} < \frac{6}{30}$
$\frac{1}{6} < 0,2$

2) $\frac{7}{9}$ и 0,77
$\frac{7}{9} = \frac{700}{900}$
$0,77 = \frac{77}{100} = \frac{693}{900}$
$\frac{700}{900} > \frac{693}{900}$
$\frac{7}{9} > 0,77$

3) −1,(645) и −1,(643)
−1,(645) = −1,645645...
−1,(643) = −1,643643...
−1,645645... < −1,643643...
−1,(645) < −1,(643)

480. Запишите в порядке убывания числа:
3,(16); π; −1,82...; −0,08...; 2,(136).

Решение:

3,(16) = 3,1616...
π = 3,1415...
2,(136) = 2,136136...
3,1616... > 3,1415... > 2,136136... > −0,08... > −1,82...
Ответ:
3,(16) > π > 2,(136) > −0,08... > −1,82...

481. Запишите в порядке возрастания числа:
1,57; 1,571...; $\frac{π}{2}$; 1,(56); 1,(572).

Решение:

$\frac{π}{2} = \frac{3,1415...}{2} = 1,57075...$
1,(56) = 1,5656...
1,(572) = 1,572572...
1,5656... < 1,57 < 1,57075... < 1,571... < 1,572572...
Ответ: $1,(56) < 1,57 < \frac{π}{2} < 1,571... < 1,(572)$

482. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Решение:

Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где x − целое число, a y − натуральное число.
Возьмем два рациональных числа $\frac{m_1}{n_1}$ и $\frac{m_2}{n_2}$.
1)
$\frac{m_1}{n_1} + \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1n_2 + n_1m_2}{n_1n_2}$
$m_1n_2$ и $n_1m_2$ являются целыми числами, произведение $n_1n_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1n_2 + n_1m_2$ − целое число, так как является суммой двух целых чисел.
Поэтому дробь $\frac{m_1n_2 + n_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению является рациональным числом. Поэтому сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.
2)
$\frac{m_1}{n_1} - \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1n_2 - n_1m_2}{n_1n_2}$
$m_1n_2$ и $n_1m_2$ являются целыми числами, произведение $n_1n_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1n_2 - n_1m_2$ − целое число, так как является разностью двух целых чисел.
Поэтому дробь $\frac{m_1n_2 - n_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению является рациональным числом. Поэтому разность двух рациональных чисел является рациональным числом.
3)
$\frac{m_1}{n_1} * \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1m_2}{n_1n_2}$
Произведение $m_1m_2$ является целым числом, произведение $n_1n_2$ − натуральное число. Значит дробь $\frac{m_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
4)
$\frac{m_1}{n_1} : \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1}{n_1} * \frac{n_2}{m_2} = \frac{m_1n_2}{n_1m_2}$
Произведение $m_1n_2$ является целым числом, произведение $n_1m_2$ − натуральное число. Значит дробь $\frac{m_1n_2}{n_1m_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому частное двух рациональных чисел является рациональным числом.

483. Докажите, что сумма рационально и иррационального чисел является числом иррациональным.

Решение:

Сумма и разность двух рациональных числе есть число рациональное.
Пусть:
q − число рациональное;
i − число иррациональное.
Докажем, что q + i является иррациональным числом.
Предположим, что q + i не является иррациональным числом, то q + i = x − рациональное число.
i = x − q − является рациональным число, так как является разностью двух рациональных чисел, по условию i − число иррациональное. Получили противоречие, поэтому предположение неверно и x − иррациональное число.
Значит, сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.