Ответы к странице 181

Задание №5 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Какое из данных уравнений не является квадратным?
А) $x^2 = 0$;
Б) $x^2 + x = 0$;
В) $x^3 + x = 0$;
Г) $x^2 + x - 2 = 0$.

Решение:

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, тогда:
А) $x^2 = 0$ − квадратное уравнение;
Б) $x^2 + x = 0$ − квадратное уравнение;
В) $x^3 + x = 0$ − не является квадратным;
Г) $x^2 + x - 2 = 0$ − квадратное уравнение.
Ответ: В) $x^3 + x = 0$

2. Решите уравнение $9x - x^2 = 0$.
А) −3; 0; 3
Б) 0; 3
В) −3; 3
Г) 0; 9

Решение:

$9x - x^2 = 0$
x(9 − x) = 0
x = 0
или
9 − x = 0
−x = −9
x = 9
Ответ: Г) 0; 9.

3. Решите уравнение $\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3} = \frac{3 - x}{2}$
А) 0; 5
Б) 5
В) $\sqrt{5}$
Г) $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$

Решение:

$\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3} = \frac{3 - x}{2}$ |* 6
$x^2 - x - 2(x - 2) = 3(3 - x)$
$x^2 - x - 2x + 4 = 9 - 3x$
$x^2 - 3x + 3x + 4 - 9 = 0$
$x^2 - 5 = 0$
$x^2 = 5$
$x = ±\sqrt{5}$
Ответ: Г) $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

4. Какое из данных уравнений не имеет корней?
А) $x^2 - 5x - 2 = 0$
Б) $x^2 - 5x + 2 = 0$
В) $x^2 - 2x + 5 = 0$
Г) $x^2 + 2x - 5 = 0$

Решение:

Уравнение не имеет корней, когда дискриминант меньше нуля.
А)
$x^2 - 5x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 *(-2) = 25 + 8 = 33 > 0$ имеет 2 корня
Б)
$x^2 - 5x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 2 = 25 - 8 = 17 > 0$ имеет 2 корня
В)
$x^2 - 2x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 < 0$ нет корней
Г)
$x^2 + 2x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-5) = 4 + 20 = 24 > 0$ имеет 2 корня
Ответ: В) $x^2 - 2x + 5 = 0$

5. Сколько корней имеет уравнение $6x^2 + 13x + 5 = 0$?
А) два
Б) бесконечно много
В) ни одного
Г) один

Решение:

$6x^2 + 13x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 * 6 * 5 = 169 - 120 = 49 > 0$ имеет 2 корня
Ответ: А) два

6. Найдите корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.
А) 7; −3
Б) −7; 3
В) −7; −3
Г) 3; 7

Решение:

$x^2 + 4x - 21 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: Б) −7; 3.

7. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 - 10x - 12 = 0$?
А) 10
Б) −10
В) −12
Г) 12

Решение:

$x^2 - 10x - 12 = 0$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -(-10)$
$x_1 + x_2 = 10$
Ответ: А) 10

8. Чему равно произведение корней уравнения $3x^2 - 16x + 6 = 0$?
А) 6
Б) 2
В) −16
г) $\frac{16}{3}$

Решение:

$3x^2 - 16x + 6 = 0$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2 = \frac{6}{3} = 2$
Ответ: Б) 2

9. При каких значениях переменной принимают равные значения выражения (3x − 1)(x + 2) и (x − 12)(x − 4)?
А) −12,5; 2
Б) 12,5; −2
В) −25; 4
Г) 25; −4

Решение:

(3x − 1)(x + 2) = (x − 12)(x − 4)
$3x^2 - x + 6x - 2 = x^2 - 12x - 4x + 48$
$3x^2 + 5x - 2 = x^2 - 16x + 48$
$3x^2 + 5x - 2 - x^2 + 16x - 48 = 0$
$2x^2 + 21x - 50 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 * 2 * (-50) = 441 + 400 = 841 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 + \sqrt{841}}{2 * 2} = \frac{-21 + 29}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 - \sqrt{841}}{2 * 2} = \frac{-21 - 29}{4} = \frac{-50}{4} = -12,5$
Ответ: А) −12,5; 2

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$.
А) $x^2 + 6x - 7 = 0$
Б) $x^2 - 6x - 7 = 0$
В) $x^2 + 6x + 7 = 0$
Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

Решение:

$x_1 = 3 - \sqrt{2}$
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x_1 + x_2 = -b$
$-b = 3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6$
b = −6
$x_1x_2 = c$
$c = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$
получим уравнение:
$x^2 - 6x + 7 = 0$
Ответ: Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

11. Решите уравнение x|x| − 9x − 10 = 0.
А) $-1; 10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
В) $-1; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$
Г) −1; 10

Решение:

x|x| − 9x − 10 = 0
1) x ≥ 0
x * x − 9x − 10 = 0
$x^2 - 9x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
2) x < 0
x * (−x) − 9x − 10 = 0
$-x^2 - 9x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * (-1) * (-10) = 81 - 40 = 41 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{41}}{2 * (-1)} = \frac{9 + \sqrt{41}}{-2} = -\frac{9 + \sqrt{41}}{2} = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{41}}{2 * (-1)} = \frac{9 - \sqrt{41}}{-2} = -\frac{9 - \sqrt{41}}{2} = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
Ответ: Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$.

12. Число −5 является корнем уравнения $2x^2 + 9x + c = 0$. Найдите второй корень уравнения и значение c.
А) $x_2 = 0,5, c = -5$
Б) $x_2 = -0,5, c = 5$
В) $x_2 = 9,5, c = 22,5$
Г) $x_2 = 9,5, c = -22,5$

Решение:

$2x^2 + 9x + c = 0$
$x_1 = -5$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$-5 + x_2 = -\frac{9}{2}$
$x_2 = -4,5 + 5$
$x_2 = 0,5$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$-5 * 0,5 = \frac{c}{2}$
$-2,5 = \frac{c}{2}$
с = 2 * (−2,5)
с = −5
Ответ: А) $x_2 = 0,5, c = -5$