Ответы к странице 200
804. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньшей, чем автомобиль, и прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорость автомобиля и скорость автобуса.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость автомобиля, тогда:
x − 20 (км/ч) − скорость автобуса;
$\frac{240}{x}$ (ч) − время в пути автомобиля;
$\frac{240}{x - 20}$ (ч) − время в пути автобуса.
Так как, автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля, можно составить уравнение:
$\frac{240}{x - 20} - \frac{240}{x} = 1$
x ≠ 0
и
x − 20 ≠ 0
x ≠ 20
$\frac{240}{x - 20} - \frac{240}{x} = 1$ | * x(x − 20)
$240x - 240(x - 20) = x(x - 20)$
$240x - 240x + 4800 = x^2 - 20x$
$-x^2 + 20x + 4800 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 20x - 4800 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 * 1 * (-4800) = 400 + 19200 = 19600 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{19600}}{2 * 1} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{19600}}{2 * 1} = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 80 (км/ч) − скорость автомобиля, значит:
x − 20 = 80 − 20 = 60 (км/ч) − скорость автобуса.
Ответ: 80 км/ч − скорость автомобиля; 60 км/ч − скорость автобуса.
805. Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 80 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Решение:
Пусть x (км/ч) − первоначальная скорость поезда, тогда:
x + 16 (км/ч) − увеличенная скорость поезда;
$\frac{80}{x}$ (ч) − ехал бы поезд 80 км с первоначальной скоростью;
$\frac{80}{x + 16}$ (ч) − ехал поезд 80 км с увеличенной скоростью;
10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч.
Так как, поезд проехал оставшиеся 80 км на 10 минут быстрее запланированного можно составить уравнение:
$\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 16} = \frac{1}{6}$
x ≠ 0
и
x + 16 ≠ 0
x ≠ −16
$\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 16} = \frac{1}{6}$ | * 6x(x + 16)
$480(x + 16) - 480x = x(x + 16)$
$480x + 7680 - 480x = x^2 + 16x$
$-x^2 - 16x + 7680 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 16x - 7680 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 * 1 * (-7680) = 256 + 30720 = 176 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{30720}}{2 * 1} = \frac{-16 + 176}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{30720}}{2 * 1} = \frac{-16 - 176}{2} = \frac{-192}{2} = -96$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 80 (км/ч) − первоначальная скорость поезда.
Ответ: 80 км/ч
806. Из села Вишневое в село Яблоневое, расстояние между которыми равно 15 км, всадник проскакал с некоторой скоростью. Возвращался он со скоростью на 3 км/ч большей и потратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из Вишневого в Яблоневое. Найдите первоначальную скорость всадника.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость всадника из села Вишневое в село Яблоневое, тогда:
x + 3 (км/ч) − скорость всадника из села Яблоневое в село Вишневое;
$\frac{15}{x}$ (ч) − время за которое всадник проскакал из села Вишневое в село Яблоневое;
$\frac{15}{x + 3}$ (ч) − время за которое всадник проскакал из села Яблоневое в село Вишневое.
15 мин = $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ (ч)
Так как, всадник потратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из Вишневого в Яблоневое, можно составить уравнение:
$\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 3} = \frac{1}{4}$
x ≠ 0
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 3} = \frac{1}{4}$ | * 4x(x + 3)
60(x + 3) − 60x = x(x + 3)
$60x + 180 - 60x = x^2 + 3x$
$-x^2 - 3x + 180 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 3x - 180 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-180) = 9 + 720 = 729 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 12 (км/ч) − первоначальная скорость всадника.
Ответ: 12 км/ч
807. Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 страниц. Однако он выполнил эту работу на 5 ч раньше срока, так как набирал на 3 страницы в час больше, чем планировал. Сколько страниц в час он должен был набирать?
Решение:
Пусть x (стр./ч) − должен был набирать наборщик, тогда:
x + 3 (стр./ч) − набирал наборщик;
$\frac{180}{x}$ (ч) − должен был работать наборщик;
$\frac{180}{x + 3}$ (ч) − работал наборщик.
Так как, наборщик выполнил работу на 5 ч раньше срока, можно составить уравнение:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 3} = 5$
x ≠ 0
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 3} = 5$ | * x(x + 3)
180(x + 3) − 180x = 5x(x + 3)
$180x + 540 - 180x = 5x^2 + 15x$
$-5x^2 - 15x + 540 = 0$ | : (−5)
$x^2 + 3x - 108 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-108) = 9 + 432 = 441 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{441}}{2 * 1} = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{441}}{2 * 1} = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ − не может быть решением, так как производительность не может быть отрицательной, тогда:
x = 9 (стр./ч) − должен был набирать наборщик.
Ответ: 9 страниц в час
808. Первый насос перекачивает 90 $м^3$ воды на 1 ч быстрее, чем второй 100 $м^3$. Сколько воды за 1 ч перекачивает каждый насос, если первый перекачивает за 1 ч на 5 $м^3$ воды больше, чем второй?
Решение:
Пусть x $(м^3/ч)$ − перекачивает первый насос, тогда:
x − 5 $(м^3/ч)$ − перекачивает второй насос;
$\frac{90}{x}$ (ч) − перекачивает 90 $м^3$ воды первый насос;
$\frac{100}{x - 5}$ (ч) − перекачивает 100 $м^3$ воды второй насос.
Так как, первый насос перекачивает 90 $м^3$ воды на 1 ч быстрее, чем второй 100 $м^3$, можно составить уравнение:
$\frac{100}{x - 5} - \frac{90}{x} = 1$
x ≠ 0
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{100}{x - 5} - \frac{90}{x} = 1$ | * x(x − 5)
100x − 90(x − 5) = x(x − 5)
$100x - 90x + 450 = x^2 - 5x$
$10x + 450 - x^2 + 5x = 0$
$-x^2 + 15x + 450 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 15x - 450 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 * 1 * (-450) = 225 + 1800 = 2025 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{2025}}{2 * 1} = \frac{15 + 45}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{2025}}{2 * 1} = \frac{15 - 45}{2} = \frac{-30}{2} = -15$ − не может быть решением, так как производительность не может быть отрицательной, тогда:
x = 30 $(м^3/ч)$ − перекачивает первый насос, значит:
x − 5 = 30 − 5 = 25 $(м^3/ч)$ − перекачивает второй насос;
Ответ: 30 $м^3/ч$ и 25 $м^3/ч$
809. Рабочий должен был за определенное время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?
Решение:
Пусть x (деталей) − в день должен был изготавливать рабочий, тогда:
x + 4 (деталей) − в день изготавливал рабочий;
$\frac{72}{x}$ (дней) − должен был работать рабочий;
$\frac{72}{x + 4}$ (дней) − работал рабочий.
Так как, рабочий закончил работу на 3 дня раньше срока, можно составить уравнение:
$\frac{72}{x} - \frac{72}{x + 4} = 3$
x ≠ 0
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{72}{x} - \frac{72}{x + 4} = 3$ | * x(x + 4)
72(x + 4) − 72x = 3x(x + 4)
$72x + 288 - 72x = 3x^2 + 12x$
$-3x^2 - 12x + 288 = 0$ | : (−3)
$x^2 + 4x - 96 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-96) = 16 + 384 = 400 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{400}}{2 * 1} = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{400}}{2 * 1} = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ − не может быть решением, так как производительность не может быть отрицательной, тогда:
x = 8 (деталей) − в день должен был изготавливать рабочий, значит:
$\frac{72}{x + 4} = \frac{72}{8 + 4} = \frac{72}{12} = 6$ (дней) − работал рабочий.
Ответ: за 6 дней
810. Катер прошел 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.
Решение:
Пусть x (км/ч) − собственная скорость катера, тогда:
x + 1 (км/ч) − скорость катера по течению реки;
x − 1 (км/ч) − скорость катера против течения реки;
$\frac{16}{x + 1}$ (ч) − шел катер по течению реки;
$\frac{30}{x - 1}$ (ч) − шел катер против течения реки;
1 ч 30 мин = $1\frac{30}{60}$ (ч) = $1\frac{1}{2}$ (ч) = $\frac{3}{2}$ (ч).
Так как, на весь путь катер затратил 1 ч 30 мин, можно составить уравнение:
$\frac{16}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = \frac{3}{2}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{16}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = \frac{3}{2}$ | * 2(x − 1)(x + 1)
32(x − 1) + 60(x + 1) = 3(x − 1)(x + 1)
$32x - 32 + 60x + 60 = 3(x^2 - 1)$
$92x + 28 = 3x^2 - 3$
$-3x^2 + 92x + 28 + 3 = 0$
$-3x^2 + 92x + 31 = 0$ | * (−1)
$3x^2 - 92x - 31 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-92)^2 - 4 * 3 * (-31) = 8464 + 372 = 8836 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{92 + \sqrt{8836}}{2 * 3} = \frac{92 + 94}{6} = \frac{186}{6} = 31$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{92 - \sqrt{8836}}{2 * 3} = \frac{92 - 94}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 31 (км/ч) − собственная скорость катера.
Ответ: 31 км/ч
811. Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.
Решение:
Пусть x (км/ч) − собственная скорость лодки, тогда:
x + 2 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
x − 2 (км/ч) − скорость лодки против течения реки;
$\frac{15}{x + 2}$ (ч) − плыла лодка по течению;
$\frac{15}{x - 2}$ (ч) − плыла лодка против течения.
Так как, на обратный путь лодка затратила на 1 ч больше, можно составить уравнение:
$\frac{15}{x - 2} - \frac{15}{x + 2} = 1$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
$\frac{15}{x - 2} - \frac{15}{x + 2} = 1$ | * (x − 2)(x + 2)
$15(x + 2) - 15(x - 2) = x^2 - 4$
$15x + 30 - 15x + 30 - x^2 + 4 = 0$
$-x^2 + 64 = 0$
$x^2 = 64$
$D = b^2 - 4ac = (-92)^2 - 4 * 3 * (-31) = 8464 + 372 = 8836 > 0$
$x_1 = 8$
$x_2 = -8$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 8 (км/ч) − собственная скорость лодки, значит:
x + 2 = 8 + 2 = 10 (км/ч) − скорость лодки по течению реки.
Ответ: 10 км/ч
812. По течению реки от пристани отплыл плот. Через 4 ч от этой пристани в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии 15 км от пристани. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость течения реки, тогда:
x + 12 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
$\frac{15}{x}$ (ч) − плыл до встречи с лодкой плот;
$\frac{15}{x + 12}$ (ч) − плыла до встречи с плотом лодка.
Так как, плот до встречи плыл на 4 часа дольше лодки, можно составить уравнение:
$\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 12} = 4$
x ≠ 0
и
x + 12 ≠ 0
x ≠ −12
$\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 12} = 4$ | * x(x + 12)
15(x + 12) − 15x = 4x(x + 12)
$15x + 180 - 15x = 4x^2 + 48x$
$-4x^2 - 48x + 180 = 0$ | : (−4)
$x^2 + 12x - 45 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * (-45) = 144 + 180 = 324 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 3 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 3 км/ч
813. Катер прошел 45 км по течению реки и 28 км против течения, потратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера составляет 18 км/ч.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость течения, тогда:
18 − x (км/ч) − скорость катера против течения;
18 + x (км/ч) − скорость катера по течению;
$\frac{45}{18 + x}$ (ч) − шел катер по течению;
$\frac{28}{18 - x}$ (ч) − шел катер против течения.
Так как, катер потратил на весь путь 4 часа, можно составить уравнение:
$\frac{45}{18 + x} + \frac{28}{18 - x} = 4$
18 + x ≠ 0
x ≠ −18
и
18 − x ≠ 0
x ≠ 18
$\frac{45}{18 + x} + \frac{28}{18 - x} = 4$ | * (18 + x)(18 − x)
$45(18 - x) + 28(18 + x) = 4(324 - x^2)$
$810 - 45x + 504 + 28x = 1296 - 4x^2$
$4x^2 - 17x + 1314 - 1296 = 0$
$4x^2 - 17x + 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 * 4 * 18 = 289 - 288 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{1}}{2 * 4} = \frac{17 + 1}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{1}}{2 * 4} = \frac{17 - 1}{8} = \frac{16}{8} = 2$
Ответ: скорость течения равна 2,25 км/ч или 2 км/ч
814. Турист проплыл $\frac{5}{8}$ всего пути на катере, а остальную часть проехал на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего турист преодолел 160 км.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость автомобиля, тогда:
x − 20 (км/ч) − скорость катера;
$160 * \frac{5}{8} = 20 * 5 = 100$ (км) − проплыл турист на катере;
160 − 100 = 60 (км) − проехал турист на автомобиле;
$\frac{100}{x - 20}$ (ч) − турист плыл на катере;
$\frac{60}{x}$ (ч) − ехал турист на автомобиле;
1 ч 30 мин = $1\frac{30}{60}$ (ч) = $1\frac{1}{2}$ (ч) = $\frac{3}{2}$ (ч).
Так как, на автомобиле турист ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере, можно составить уравнение:
$\frac{100}{x - 20} - \frac{60}{x} = \frac{3}{2}$
x − 20 ≠ 0
x ≠ 20
и
x ≠ 0
$\frac{100}{x - 20} - \frac{60}{x} = \frac{3}{2}$ | * 2x(x − 20)
$200x - 120(x - 20) = 3x(x - 20)$
$200x - 120x + 2400 = 3x^2 - 60x$
$80x + 2400 - 3x^2 + 60x = 0$
$-3x^2 + 140x + 2400 = 0$ | : (−1)
$3x^2 - 140x - 2400 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-140)^2 - 4 * 3 * (-2400) = 19600 + 28800 = 48400 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{140 + \sqrt{48400}}{2 * 3} = \frac{140 + 220}{6} = \frac{360}{6} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{140 - \sqrt{48400}}{2 * 3} = \frac{140 - 220}{6} = \frac{-80}{6} = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3}$ − не является решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 60 (км/ч) − скорость автомобиля, значит:
x − 20 = 60 − 20 = 40 (км/ч) − скорость катера.
Ответ: 60 км/ч − скорость автомобиля; 40 км/ч − скорость катера.
