Ответы к странице 10

25. Какое из равенств является тождеством:
1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$;
2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m - 5mn + 25n^2)$?

Решение:

1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$
Преобразим левую часть равенства:
$3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x^2 - 12xy + 36y^2) = 3(x^2 - 2 * x * 6y + (6y)^2) = 3(x - 6y)^2$
$3(x - 6y)^2 = 3(x - 6y)^2$ − равенство является тождеством.

2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m - 5mn + 25n^2)$
Преобразим левую часть равенства:
$4m^3 - 500n^6 = 4(m^3 - 125n^6) = 4(m^3 - (5n^2)^3) = 4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4)$
$4(m^3 - (5n^2)^3) = 4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4) ≠ 4(m - 5n)(m - 5mn + 25n^2)$ − равенство не является тождеством.

26. Даны два числа:
$a = \underbrace{44...4}_{m-цифр}$,
$b = \underbrace{33...3}_{n-цифр}$.
Можно ли подобрать такие m и n, чтобы:
1) число a было делителем числа b;
2) число b было делителем числа a?

Решение:

Из условия видно, что a − четное число (заканчивается на 4), b − нечетное (заканчивается на 3).
Нечетное на четное разделить нацело нельзя, следовательно число a не может быть делителем числа b.
Число b может быть делителем числа a, например при m = 6 и n = 2:
444444 : 33 = 13468
Ответ:
1) не может;
2) может.