Ответы к странице 63

236. Представьте числа $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$ в виде степени с основанием:
1) 2;
2) $\frac{1}{2}$.

Решение:

1) $1 = 2^0$
$2 = 2^1$
$4 = 2 * 2 = 2^2$
$8 = 2 * 2 * 2 = 2^3$
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2^4$
$32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5$
$64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6$
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2 * 2} = 2^{-2}$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2 * 2 * 2} = 2^{-3}$
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-4}$
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2 * 2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-5}$
$\frac{1}{64} = \frac{1}{2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-6}$

2) $1 = (\frac{1}{2})^0$
$2 = (\frac{1}{2})^{-1}$
$4 = (\frac{1}{2})^{-2}$
$8 = (\frac{1}{2})^{-3}$
$16 = (\frac{1}{2})^{-4}$
$32 = (\frac{1}{2})^{-5}$
$64 = (\frac{1}{2})^{-6}$
$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3$
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4$
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^5$
$\frac{1}{64} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^6$

237. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь:
1) $\frac{1}{49}$;
2) $\frac{1}{216}$;
3) $\frac{1}{625}$;
4) $\frac{1}{128}$.

Решение:

1) $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

2) $\frac{1}{216} = \frac{1}{6^3} = 6^{-3}$

3) $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$

4) $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$

238. Представьте в виде степени с основанием 10 число:
1) 0,1;
2) 0,01;
3) 0,0001;
4) 0,000001.

Решение:

1) $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$

2) $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$

3) $0,0001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$

4) $0,000001 = \frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}$

239. Представьте числа $1, 3, 9, 27, 81, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}$ в виде степени с основанием:
1) 3;
2) $\frac{1}{3}$.

Решение:

1) $1 = 3^0$
$3 = 3^1$
$9 = 3 * 3 = 3^2$
$27 = 3 * 3 * 3 = 3^3$
$81 = 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4$
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

2) $1 = (\frac{1}{3})^0$
$3 = (\frac{1}{3})^{-1}$
$9 = 3^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$
$27 = 3^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$
$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$
$\frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^{1}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^{2}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^{3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^{4}$

240. Вычислите:
1) $5^{-2}$;
2) $2^{-4}$;
3) $(-9)^{-2}$;
4) $0,2^{-3}$;
5) $1^{-24}$;
6) $(-1)^{-16}$;
7) $(-1)^{-17}$;
8) $(\frac{7}{8})^{0}$;
9) $(\frac{2}{3})^{-3}$;
10) $(-1\frac{1}{6})^{-2}$.

Решение:

1) $5^{-2} = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$

2) $2^{-4} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

3) $(-9)^{-2} = (\frac{1}{-9})^2 = \frac{1}{81}$

4) $0,2^{-3} = (\frac{2}{10})^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$

5) $1^{-24} = 1^{24} = 1$

6) $(-1)^{-16} = 1^{16} = 1$

7) $(-1)^{-17} = (-1)^{17} = -1$

8) $(\frac{7}{8})^{0} = 1$

9) $(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$

10) $(-1\frac{1}{6})^{-2} = (-\frac{7}{6})^{-2} = (-\frac{6}{7})^2 = \frac{36}{49}$

241. Найдите значение выражения:
1) $20^{-2}$;
2) $0,3^{-1}$;
3) $(-6)^{-3}$;
4) $(\frac{4}{7})^{-2}$;
5) $(-\frac{1}{6})^{-3}$;
6) $(3\frac{1}{3})^{-2}$.

Решение:

1) $20^{-2} = (\frac{1}{20})^2 = \frac{1}{400}$

2) $0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = (\frac{10}{3})^1 = 3\frac{1}{3}$

3) $(-6)^{-3} = (\frac{1}{-6})^3 = -\frac{1}{216}$

4) $(\frac{4}{7})^{-2} = (\frac{7}{4})^{2} = \frac{49}{16} = 3\frac{1}{16}$

5) $(-\frac{1}{6})^{-3} = (-6)^3 = -216$

6) $(3\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{10}{3})^{-2} = (\frac{3}{10})^{2} = \frac{9}{100}$

242. Вычислите значение выражения:
1) $3^{-1} - 4^{-1}$;
2) $2^{-3} + 6^{-2}$;
3) $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$;
4) $9 * 0,1^{-1}$;
5) $0,5^{-2} * 4^{-1}$;
6) $(2^{-1} - 8^{-1} * 16)^{-1}$.

Решение:

1) $3^{-1} - 4^{-1} = (\frac{1}{3})^1 - (\frac{1}{4})^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$

2) $2^{-3} + 6^{-2} = (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{36} = \frac{9 + 2}{72} = \frac{11}{72}$

3) $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2} = (\frac{7}{2})^1 + 1 - (\frac{1}{5})^2 = \frac{7}{2} + 1 - \frac{1}{25} = \frac{7 * 25 + 50 - 2}{50} = \frac{175 + 50 - 2}{50} = \frac{223}{50} = 4\frac{23}{50}$

4) $9 * 0,1^{-1} = 9 * (\frac{1}{10})^{-1} = 9 * 10 = 90$

5) $0,5^{-2} * 4^{-1} = (\frac{5}{10})^{-2} * (\frac{1}{4})^1 = (\frac{1}{2})^{-2} * \frac{1}{4} = 2^2 * \frac{1}{4} = 4 * \frac{1}{4} = 1$

6) $(2^{-1} - 8^{-1} * 16)^{-1} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8} * 16)^{-1} = (\frac{1}{2} - 2)^{-1} = (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})^{-1} = (-\frac{3}{2})^{-1} = -\frac{2}{3}$

243. Чему равно значение выражения:
1) $2^{-2} + 2^{-1}$;
2) $3^{-2} - 6^{-1}$;
3) $0,03^0 + 0,7^0$;
4) $(9 * 3^{-3} - 12^{-1})^{-1}$?

Решение:

1) $2^{-2} + 2^{-1} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 1}{4} = \frac{3}{4}$

2) $3^{-2} - 6^{-1} = (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{6})^1 = \frac{1}{9} - \frac{1}{6} = \frac{2 - 3}{18} = \frac{-1}{18} = -\frac{1}{18}$

3) $0,03^0 + 0,7^0 = 1 + 1 = 2$

4) $(9 * 3^{-3} - 12^{-1})^{-1} = (9 * (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{12})^1)^{-1} = (9 * \frac{1}{27} - \frac{1}{12})^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{12})^{-1} = (\frac{4 - 1}{12})^{-1} = (\frac{3}{12})^{-1} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$

244. Какое из данных чисел записано в стандартном виде:
1) $12 * 10^4$;
2) $1,2 * 10^4$;
3) $0,12 * 10^4$?

Решение:

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a * 10^n$, где 1 ≤ a < 10 и n − целое число.
Тогда:
1) $12 * 10^4$ − нестандартный вид, так как 12 > 10;
2) $1,2 * 10^4$ − стандартный вид, так как 1 ≤ 1,2 < 10;
3) $0,12 * 10^4$ − нестандартный вид, так как 0,12 > 1.
Ответ: 2) $1,2 * 10^4$

245. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 3400;
2) 15;
3) 0,0046;
4) 0,000008;
5) 0,73;
6) $250 * 10^2$;
7) $0,86 * 10^3$;
8) $0,23 * 10^4$;
9) $9300 * 10^5$.

Решение:

1) $3400 = 3,4 * 1000 = 3,4 * 10^3$
3 − порядок числа

2) $15 = 1,5 * 10 = 1,5 * 10^1$
1 − порядок числа

3) $0,0046 = 4,6 : 1000 = 4,6 * \frac{1}{1000} = 4,6 * \frac{1}{10^3} = 4,6 * 10^{-3}$
−3 − порядок числа

4) $0,000008 = 8 : 1000000 = 8 * \frac{1}{1000000} = 8 * \frac{1}{10^6} = 8 * 10^{-6}$
−6 − порядок числа

5) $0,73 = 7,3 : 10 = 7,3 * \frac{1}{10} = 7,3 * \frac{1}{10^1} = 7,3 * 10^{-1}$
−1 − порядок числа

6) $250 * 10^2 = 2,5 * 100 * 100 = 2,5 * 10000 = 2,5 * 10^4$
4 − порядок числа

7) $0,86 * 10^3 = 8,6 : 10 * 1000 = 8,6 * \frac{1}{10} * 1000 = 8,6 * 100 = 8,6 * 10^2$
2 − порядок числа

8) $0,23 * 10^4 = 2,3 : 10 * 10000 = 2,3 * \frac{1}{10} * 10000 = 2,3 * 1000 = 2,3 * 10^3$
3 − порядок числа

9) $9300 * 10^5 = 9,3 * 1000 * 100000 = 9,3 * 100000000 = 9,3 * 10^8$
8 − порядок числа

246. Запишите числовые значения величин в стандартном виде:
1) скорость света в вакууме равна 300000 км/с;
2) длина реки Лена, самой протяженной реки России, равна 4400 км;
3) площадь озера Байкал составляет 32000 $км^2$;
4) расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн.км;
5) атмосферное давление на высоте 100 км составляет 0,032 Па;
6) диаметр молекулы воды равен 0,00000028 мм.

Решение:

1) $300000 = 3 * 100000 = 3 * 10^5$
Ответ: скорость света в вакууме равна $3 * 10^5$ км/с

2) $4400 = 4,4 * 1000 = 4,4 * 10^3$
Ответ: длина реки Лена, самой протяженной реки России, равна $4,4 * 10^3$ км

3) $32000 = 3,2 * 10000 = 3,2 * 10^4$
Ответ: площадь озера Байкал составляет $3,2 * 10^4$ $км^2$

4) 149,6 млн.км = 149,6 * 1000000 км = 1,496 * 100 * 1000000 км = 1,496 * 100000000 км = $1,496 * 10^8$ км
Ответ: расстояние от Земли до Солнца составляет $1,496 * 10^8$ км

5) $0,032 = 3,2 : 100 = 3,2 * \frac{1}{100} = 3,2 * \frac{1}{10^2} = 3,2 * 10^{-2}$
Ответ: атмосферное давление на высоте 100 км составляет $3,2 * 10^{-2}$ Па

6) $0,00000028 = 2,8 : 10000000 = 2,8 * \frac{1}{10000000} = 2,8 * \frac{1}{10^7} = 2,8 * 10^{-7}$
Ответ: диаметр молекулы воды равен $2,8 * 10^{-7}$ мм.